四年级奥林匹克数学基础资料库 第17讲 数阵图（二）

用心 爱心 专心1 第第 1717 讲讲 数阵图 二 数阵图 二 例例 1 1 在右图的九个方格中填入不大于 12 且互不相同的九个自然数 其中已填好一 个数 使得任一行 任一列及两条对角线上的三个数之和都等于 21 解 解 由上一讲例 4 知中间方格中的数为 7 再设右下角的数为 x 然后根据任一行 任一列及每条对角线上的三个数之和都等于 21 如下图所示填上各数 含 x 因为九个数都不大于 12 由 16 x 12 知 4 x 由 x 2 12 知 x 10 即 4 x 10 考虑到 5 7 9 已填好 所以 x 只能取 4 6 8 或 10 经验证 当 x 6 或 8 时 九个数中均有两个数相同 不合题意 当 x 4 或 10 时可得两个解 见下图 这两个解实际上一样 只是方向不同而已 例例 2 2 将九个数填入右图的空格中 使得每行 每列 每条对角线上的三个数之和都 相等 则一定有 证明 证明 设中心数为 d 由上讲例 4 知每行 每列 每条对角线上的三个数之和都等 于 3d 由此计算出第一行中间的数为 2d b 右下角的数为 2d c 见下图 用心 爱心 专心2 根据第一行和第三列都可以求出上图中 处的数由此得到 3d c 2d b 3d a 2d c 3d c 2d b 3d a 2d c d c b d a c 2c a b a b c 2 值得注意的是 这个结论对于 a 和 b 并没有什么限制 可以是自然数 也可以 是分数 小数 可以相同 也可以不同 例例 3 3 在下页右上图的空格中填入七个自然数 使得每一行 每一列及每一条对角线 上的三个数之和都等于 90 解 解 由上一讲例 4 知 中心数为 90 3 30 由本讲例 2 知 右上角的数为 23 57 2 40 见左下图 其它数依次可填 见右下图 例例 4 4 在右图的每个空格中填入个自然数 使得每一行 每一列及每条对角线上的三 个数之和都相等 用心 爱心 专心3 解 解 由例 2 知 右下角的数为 8 10 2 9 由上一讲例 4 知 中心数为 5 9 2 7 见左下图 且每行 每列 每条对角线上的三数之和都等于 7 3 21 由此可得右下图的填法 例例 5 5 在下页上图的每个空格中填一个自然数 使得每行 每列及每条对角线上的三 个数之和都相等 解 解 由例 2 知 右下角的数为 6 12 2 9 左下图 因为左下图中两条虚线 上的三个数之和相等 所以 中心数 10 6 9 7 其它依次可填 见右下图 由例 3 5 看出 在解答 3 3 方阵的问题时 上讲的例 4 与本讲的例 2 很有用 处 练习练习 1717 1 在左下图的每个空格中填入一个数字 使得每行 每列及每条对角线上的三 个数之和都相等 2 在右上图的每个空格中填入一个数字 使得每行 每列及每条对角线上的三 个数之和都等于 24 用心 爱心 专心4 3 下列各图中的九个小方格内各有一个数字 而且每行 每列及每条对角线上 的三个数之和都相等 求 x 4 在左下图的空格中填入七个自然数 使得每行 每列 每条对角线上的三个 数之和都等于 48 5 在右上图的每个空格中填入一个自然数 使得每行 每列及每条对角线