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2017 届高三第一轮复习专题训练之极值点偏移问题届高三第一轮复习专题训练之极值点偏移问题 什么是极值点偏移什么是极值点偏移 我们知道二次函数 f x 的顶点就是极值点 若 f x c 的两根的中点为 0 x 则刚好有 即极值点在两根的正中间 也就是极值点没有偏移 而函数 2 21 xx 2 21 xx 0 x 的极值点 1 刚好在两根的中点的左边 我们称之为极值点左偏 x e x xg 0 x 2 21 xx 例例 1 已知函数 其中为自然对数的底数 证明 当 且 x f xex 2 71828e 12 xx 时 12 f xf x 12 0 xx 解 解 的定义域为 由 解得 当 x f xex 1 x fxe 10 x fxe 0 x 变化时 变化情况如下表 x fx f x 且 则 不妨设 设函数 12 xx 12 f xf x 12 0 xx 12 xx 当时 1 2 0 xxx x F xf xfxexexex x e 1 2 x x F xe e 0 x 当时 函数在上单调递增 01 x e 1 2 x x e e 0 x 0F x F x 0 即当时 又 0 0F xF 0 x f xfx 1 0 x 11 f xfx 12 f xf x 在上单调递增 且 又 21 f xfx f x 0 2 0 x 1 0 x 21 f xfx 21 xx 12 0 xx 反思 反思 本题中极值点 即有如下判断极值点偏移的定理 0a 12 0 xx 12 2 xxa x 0 0 0 fx 0 f x单调递减极小值单调递增 例例 2 解 解 运用判定定理判定极值点偏移的方法为 运用判定定理判定极值点偏移的方法为 口诀为 极值偏离对称轴 构造函数觅行踪 四个步骤环相扣 两次单口诀为 极值偏离对称轴 构造函数觅行踪 四个步骤环相扣 两次单 调紧跟随 调紧跟随 例例 3 已知函数 1 求函数 f x 的单调区间和极值 2 若 Rxxexf x 1 x 2 x 且 f f 证明 2 1 x 2 x 1 x 2 x 例例 4 已知函数 若 且 f f 证明 4 2 lnf xx x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 证明 例例 5 已知函数有两个零点 设是的两个零点 证明 2 21 x f xxea x 12 x x f x 12 2xx 解解 不妨设由题意知 要证不等式成立 只需证当时 原不 12 xx 12 0f xf x 12 1xx 等式成立即可 令 则 当时 11F xfxfx 11xx Fxx ee 0 x 0Fx 即 令 00F xF 11fxfx 1 1xx 则 即 而 21111 11112f
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