2012高考数学精英备考专题讲座 第九讲数学高考的创新试题解题指导 第一节需要抽象概括的创新试题 文

用心 爱心 专心 1 第一节第一节 需要抽象概括的创新试题需要抽象概括的创新试题 高考数学归纳抽象创新题的命题特点 加强创新意识的考查 有利于实现选拔功能 深 化课改 促进能力立意命题的实践和发展 其中新定义信息型创新题是近年高考出现频率最 高的创新题之一 因其背景新颖 构思巧妙 能有效甄别考生的思维品质 因而倍受高考命 题专家垂青 题型一题型一 定义新概念定义新概念 例例 1 1 设是一个数集 且至少含有两个数 若对任意 都有 PabP ab 除数 则称是一个数域 例如有理数集是数域 数集ab ab a b P 0b PQ 也是数域 有下列命题 2 FababQ 整数集是数域 若有理数集 则数集必为数域 QM M 数域必为无限集 存在无穷多个数域 其中正确的命题的序号是 把你认为正确的命题的序号填填上 点拨 点拨 本题定义了新的概念 数域 审题非常关键 解题时可采用排除法 代入特殊的 数值对选项进行排除筛选 此题是以高等数学中 群 环 域 的知识考查高中数学中有关 知识的问题 体现了高考数学与中学数学的和谐接轨 以高考数学知识为背景的问题 对已 有的知识改造 重组创造 新知识 的问题 也成为高考试题的一大亮点 定义一个新概念 要求学生面对陌生情境 迅速提取有用信息 要善于挖掘概念的内涵与本质 并合理迁移运 用已学的知识加以解决 这类问题较好地考查学生的转化能力 知识迁移能力以及学生探究 性学习的潜能 解析 解析 对于整数集 当 时 故 错 对于满足的集Z1a 2b 1 2 b Z a QM 合 不是数域 错 若是数域 则存在且 依 2MQ 12M PaP 0a 定义 均是中元素 故中有无数元素 正确 类似数集2a3a4a PP 也是数域 正确 故选 3 FababQ 易错点 易错点 审题不清 未能理解数域的定义所应满足的条件 变式与引申变式与引申 1 定义若平面点集中的任一个点 总存在正实数 使得集合A 00 xyr 称为一个开集 给出下列集合 22 00 x yxxyyrA A 用心 爱心 专心 2 22 1x yxy 20 x yxy 6x yxy 22 0 2 1x yxy 其中是开集的是 请写出所有符合条件的序号 题型二题型二 定义新数表定义新数表 根据以上排列规律 数阵中第 行的从左向右的第 3 个数是 n3 n 点拨 点拨 由数阵找到 行的最后一个数 数表其实是数列的一种分拆 不同的1n 3n 分拆方式就会产生不同的数表 本题中的数阵是对正整数数列的一种重排 只要找出其排列 规律便不难求得答案 本题以三角形数表为载体 考查了学生观察 归纳 猜想的思维能力 源 于杨辉三角的数表蕴含着丰富的性质 数表型试题在各地高考试卷中屡见不鲜 解析 解析 该数阵的第 1 行有 1 个数 第 2 行有 2 个数 第行有个数 则第 nn1n 行的最后一个数为 则第行的第 3 个数为3n 2 1 11 222 nnnn n 2 3 3 22 nn n 易错点 易错点 未能找到新的数阵的规律 解题无从入手 变式与引申变式与引申 2 将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表 n a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 用心 爱心 专心 3 7 a 8 a 9 a 10 a 记表中的第一列数构成的数列为 为数列的前 1247 aaaa n b 11 1ba n S n b 项和 且满足 n 2 2 1 2 n nnn b n b SS 证明数列成等差数列 并求数列的通项公式 1 n S n b 上表中 若从第三行起 第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列 且公比为 同一个正数 当时 求上表中第行所有项的和 81 4 91 a 3 k k 题型三题型三 定义新数列定义新数列 例例 3 3 若数列满足 为正常数 则称为 等方比数列 n a 2 1 2 n n a p a pn N n a 甲 数列是等方比数列 乙 数列是等比数列 则 n a n a A 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C 甲是乙的充要条件 D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 点拨 点拨 本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解 转换 等比数列 则公比应唯 一确定 数列是高考重点考查的内容 围绕数列问题创设情境 设计出一些新颖的题目是近几年 高考的一大亮点 如 2010 年上海卷的 对称数列 2009 年湖北卷的 等方比数列 2008 年江苏卷的 绝对差数列 2007 的北京卷的 等和数列 等 各种新数列精彩纷呈 此类 试题形式新颖 内容深远 能力要求广泛 解法多样 能够较好地考查考生的学习能力 逻 辑思维能力 应用能力和创新能力等 解析 解析 由等比数列的定义数列 若乙 是等比数列 公比为 即 n aq 则甲命题成立 反之 若甲 数列是等方比数列 即 2 2 11 2 1 nn nn aa qq aa n a 即公比不一定为 则命题乙不成立 故选 B 2 2 11 2 1 nn nn aa qq aa q 易错点 易错点 是由 得到的是两个等比数列 而命题乙是指一个等 2 11 2 nn nn aa pp aa 用心 爱心 专心 4 比数列 忽略等比数列的确定性 容易错选 C 变式与引申变式与引申 3 3 对于每项均是正整数的数列 定义变换 将数列变换成数 12n Aaaa 1 T 1 TA 列 1 T A 12 111 n naaa 对于每项均是非负整数的数列 定义变换 将数列各项从大 12m Bbbb 2 T 2 TB 到小排列 然后去掉所有为零的项 得到数列 2 T B 又定义 222 1212 2 2 mm S Bbbmbbbb 设是每项均为正整数的有穷数列 令 0 A 121 012 kk AT T Ak 如果数列为 5 3 2 写出数列 0 A 12 AA 对于每项均是正整数的有穷数列 证明 A 1 S T AS A 本节主要考查 本节主要考查 数学归纳抽象创新题的求解要求认真理解题意 透过 现象 把握问题的本质 并将它 抽象成数学如函数 数列问题 运用相应的数学知识求解 新定义问题的求解通常分三大步 骤进行 1 对新定义进行信息提取 确定化归方向 2 对新定义所提取的信息进行加工 探 究解决方法 3 对定义中提取知识进行转换 有效地输出 其中对定义信息的提取和化归转 化是求解的关键 也是一个难点 点评 点评 抽象是指舍弃事物非本质的属性 揭示其本质的属性 概括是指把仅仅属于某一 类对象的共同属性区分出来的思维过程 抽象和概括是相互联系的 没有抽象就不可能有概 括 而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论 抽象概括能力就是从具体的 生动的实例 在抽象概括的过程中 发现研究对象的本质 从给定的大量信息材料中 概括出一些结论 并能应用于解决问题或作出新的判断 平时的数学学习中要切实加强自主探究能力和创新意识的培养 从而不断提高自身的数 学素养 增强分析问题和解决问题的综合能力 如可以多订阅报刊杂志 从杂志中涉猎新题 有了新题还得用好新题 通过新题归纳解题的思维方法 激发学生的思维风暴 关注题型的 纵横发展 注重多元性 拓展发散思维 另外 还要注意强化数学建模 提高实践能力 发 展个性特长 重点抓好运用高中数学知识解决生活中的实际问题的能力的培养与训练 注重 数学知识和技能应用的灵活性 综合性 发散性和迁移性 以提高数学阅读能力为起点 建 立数学模型为核心 寻找或自行编制一些贴近生活的实际应用题 特别是概率与统计应用题 习题 9 1 1 2011 年高考江西卷 文 如图 9 1 1 一个 凸轮 放置于直角坐标系 X 轴上方 其 底端 落在源点 O 处 一顶点及中心 M 在 Y 轴的正半轴上 它的外围由以正三角形的 用心 爱心 专心 5 顶点为圆心 以正三角形的边长为半径的三段等弧组成 今使 凸轮 沿 X 轴正向滚动有进 在滚动过程中 凸轮 每时每刻都有一个 最高 点 其中心也在不断移动位置 则在 凸轮 滚动一周的过程中 将其 最高点 和 中心点 所形成的图形按上 下放置 应大致为 2 设函数的定义域为 若存在常数 使 对一切实数均成立 xfR0M f xM x x 则称为 倍约束函数 现给出下列函数 xf xxf2 1 2 xxf xxxfcossin 3 2 xx x xf 是定义在实数集 R 上的奇函数 xf 且对一切 均有 其中是 倍约束函数 的有 21 x x 1212 2 f xf xxx A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 如图 9 1 2 坐标纸上的每个单元格的边长为 1 由下往上的六个点 1 2 3 4 5 6 的横纵坐标分别对应数列的 n anN 前 12 项 如下表所示 按如此规律下去 则 200920102011 aaa 4 图 9 1 3 展示了一个由区间到实数集的映射过程 区间中的实数对应数 0 1R 0 1m 轴上的点 如图 9 2 中的图 将线段围成一个圆 使两端点 恰好重合 MABAB 如图 再将这个圆放在平面直角坐标系中 使其圆心在轴上 点的坐标为 yA 0 1 如图 图 中直线与轴交于点 则的象就是 记作 AMx 0N nmn f mn 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3 y 4 x 4 y 5 x 5 y 6 x 6 y 图 9 1 2 用心 爱心 专心 6 方程的解是 0f x x 下列说法中正确命题的序号是 填出所有正确命题的序号 1 1 4 f 是奇函数 f x 在定义域上单调递增 的图像关于点 对称 f x f x 1 0 2 答案答案 变式与引申变式与引申 1 提示 提示 本题将大学拓扑学的基本概念引入 下面画图进行判断 对于 如图 9 1 1 用心 爱心 专心 7 图 9 1 2 显然存在面集面集 该集合符合题目要求 对于 如图 9 1 3 2 解 解 证明 由已知 当时 2n 2 2 1 n nnn b b SS 又 所以 即 12nn Sbbb 1 2 1 2 1 nn nnnn SS SSSS 1 1 2 1 nn nn SS SS 用心 爱心 专心 8 所以 又 所以数列是首项为 1 公差为的等差数 1 111 2 nn SS 111 1Sba 1 n S 1 2 列 由上可知 即 111 1 1 22 n n n S 2 1 n S n 所以当时 因此2n 1 222 1 1 nnn bSS nnn n 11 2 2 1 n n b n n n 解 设上表中从第三行起 每行的公比都为 且 q0q 因为 所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列的前 78 项 12 13 121278 2 n a 故在表中第 31 行第三列 因此 又 所以 81 a 2 8113 4 91 abq A 13 2 13 14 b 2q 记表中第行所有项的和为 则 3 k k S 1 2 1 2 2 1 2 3 1 1 1 2 1 kk k k bq Sk qk kk k A 3 解 解 05 3 2 A 10 3 4 21T A 1210 4 3 21AT T A 11 4 3 210T A 2211 4 3 21AT T A 设每项均是正整数的有穷数列为 A 12n aaa 则为 1 T An 1 1a 2 1a 1 n a 从而 112 2 2 1 3 1 1 1 n S T Anaana 2222 12 1 1 1 n naaa 又 222 1212 2 2 nn S Aaanaaaa 所以 1 S T AS A 12 2 23 1 2 n nnaaa 2 12 2 n naaan 2 1 0n nnn 故 1 S T AS A 用心 爱心 专心 9 习题习题 9 19 1 1 A 2 C 提示 提示 显然存在符合题目要求 所以它是 倍约束函数 xxf2 M 当时 此时不可能存在符合题目要求 所以不是 倍约0 x1 0 fM1 2 xxf 束函数 此时不可能存在符合题目要求 所以不是 倍约束函数 1 0 fMxxxfcossin