2017苏锡常镇高三数学一模试卷答案

1 一 填空题 1 已知集合 1 2 3 4 5 6 7U 2 650 ZMx xxx M U 2 若复数满足 为虚数单位 则 z 2i zi i iz 3 函数的定义域为 1 ln 43 f x x 4 下图是给出的一种算法 则该算法输出的结果是 5 某高级中学共有名学生 现用分层抽样的方法从该校学生中抽取 个容量为的900145 样本 其中高一年级抽人 高三年级抽人 则该校高二年级学生人数为 2010 6 已知正四棱锥的底面边长是 侧棱长是 则该正四棱锥的体积为 23 7 从集合中任取两个不同的数 则这两个数的和为的倍数的概率为 1 2 3 43 8 在平面直角坐标系中 已知抛物线的焦点恰好是双曲线的xOy 2 8yx 22 2 1 3 xy a 右 焦点 则双曲线的离心率为 9 设等比数列的前项和为 若成等差数列 且 则的 n an n S 396 S S S 25 4aa 8 a 值为 10 在平面直角坐标系中 过点的直线 与圆交于两点 xOy 1 0 Ml 22 5xy A B 其 中点在第一象限 且 则直线 的方程为 A2BMMA l 11 在 中 已知 若点满足 且ABC1 2 60ABACA PAPABAC 则实数的值为 1BP CP 1t 2i While4i tti 1ii EndWhlie Printt 2 12 已知 则 sin3sin 6 tan 12 13 若函数 则函数的零点个数为 2 1 1 1 2 ln 1 x x f x x x x 1 8 yf x 14 若正数满足 则的最小值为 x y1522xy 3322 xyxy 二 解答题 15 在 中 分别为角的对边 若 且ABC a b c A B Ccos3 cos1aBbA 6 AB 1 求边的长 2 求角的大小 cB 16 如图 在斜三棱柱中 侧面是菱形 与交于点 111 ABCABC 11 AAC C 1 AC 1 ACO E 是棱上一点 且 平面 ABOE 11 BCC B 1 求证 是中点 EAB 2 若 求证 11 ACAB 1 ACBC 3 17 某单位将举办庆典活动 要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 如图 BADC 设计要求彩门的面积为 单位 高为 单位 为常数 彩门的S 2 mhm S h 下底 固定在广场底面上 上底和两腰由不锈钢支架构成 设腰和下底的夹角为 不锈BC 钢 支架的长度和记为 l 1 请将 表示成关于的函数 l lf 2 问当为何值 最小 并求最小值 l 18 在平面直角坐标系中 已知椭圆的焦距为 离心率为xOy 22 22 1 0 xy ab ab 2 椭圆的右顶点为 2 2 A 1 求该椭圆的方程 2 过点作直线交椭圆于两个不同点 求证 直线的斜 2 2 D PQ P Q AP AQ 率之和为定值 4 19 已知函数 为正实数 且为常数 1 lnf xxxaxa a 1 若函数在区间上单调递增 求实数的取值范围 f x 0 a 2 若不等式恒成立 求实数的取值范围 1 0 xf x a 20 已知为正整数 数列满足 设数列满足n n a0 n a 22 1 4 1 0 nn nana n b 2 n n n a b t 1 求证 数列为等比数列 n a n 2 若数列是等差数列 求实数 的值 n bt 3 若数列是等差数列 前项和为 对任意的 均存在 使得 n bn n SNn Nm 5 成立 求满足条件的所有整数的值 242 11 816 nm a Sa nb 1 a 2016 2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 数 学 试 题 2017 3 1 已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量 并且矩阵对应M8 1 1 1 e M 的 变换将点变换成 1 2 2 4 1 求矩阵 M 2 求矩阵的另一个特征值 M 6 2 已知圆和圆的极坐标方程分别为 1 O 2 O 2 2 2 2 cos 2 4 1 把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程 1 O 2 O 2 求经过两圆交点的直线的极坐标方程 3 如图 已知正四棱锥中 点分别在上 PABCD 2PAAB M N PA BD 且 1 3 PMBN PABD 1 求异面直线与所成角的大小 MNPC 2 求二面角的余弦值 NPCB 4 设 为正整数 数列的通项公式 其前项和为 2 n n asintan 2 n n n a n n S 7 1 求证 当为偶数时 当为奇数时 n0 n a n 1 2 1 tan n n n a 2 求证 对任何正整数 n 12 2 1 sin2 1 1 tan 2 nn n S 2016 2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 数学数学参考答案参考答案 2017 3 一 填空题 1 2 3 4 6 710 3 11 4 24 5 300 6 7 8 4 3 1 3 2 9 10 11 或21yx 1 1 4 12 13 14 1 2 34 4 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 15 解 1 法一 法一 在 中 由余弦定理 ABC 则 得 2 分分cos3aB 222 3 2 acb a ac 222 6acbc 则 得 4 分分cos1bA 222 1 2 bca b bc 222 2bcac 得 7 分分 2 28cc 4c 法二 法二 因为在 中 ABC ABC 则 8 2 分分sincossincossin sin sinABBAABCC 由得 代入上式得 4 分分 sinsinsin abc ABC sin sin aC A c sin sin bC B c 7 分分coscos3 14caBbA 2 由正弦定理得 10 分分 cossincostan 3 cossincostan aBABA bABAB 又 12 分分 2 tantan2tan3 tan 1tantan13tan3 ABB AB ABB 解得 14 分分 3 tan 3 B 0 B 6 B 16 1 连接 因为 平面 1 BCOE 11 BCC B 平面 平面平面 所以 4 分分OE 1 ABC 11 BCC BI 11 ABCBC OE 1 BC 因为侧面是菱形 所以是中点 5 分分 11 AAC C 11 ACACO O 1 AC 所以 E 是 AB 中点 7 分分 1 1 AEAO EBOC 2 因为侧面是菱形 所以 9 分分 11 AAC C 1 AC 1 AC 又 面 所以面 12 分分 11 ACAB 111 ACABA 11 AC AB 1 ABC 1 AC 1 ABC 因为平面 所以 14 分分BC 1 ABC 1 ACBC 17 解 1 过作于点 则 设DDHBC HDCB 0 2 DHh ADx C B DA 第 17 题图 H P Q D 第 18 题图 A xO y E C1 A1 C B A O 第 16 题图 1 B 9 则 3 分分 sin h DC tan h CH 2 tan h BCx 因为 S 则 5 分分 12 2tan h xxh tan Sh x h 则 7 分分 21 2 sintan S lfDCADh h 0 2 2 8 分分 222 2cos112cos sinsinsin fhh 令 得 9 分分 2 12cos 0 sin fh 3 0 3 3 3 2 f 0 f 减极小值增 所以 12 分分 min 3 3 S lfh h 答 1 l 表示成关于的函数为 21 sintan S lfh h 0 2 2 当时 l 有最小值为 14 分分 3 3 S h h 18 解 1 由题所以 21c 2 2 c e a 2a 1b 分分 所以椭圆 C 的方程为 4 分分 2 2 1 2 x y 2 当直线 PQ 的斜率不存在时 不合题意 5 分分 当直线 PQ 的斜率存在时 设直线 PQ 的方程为 6 分分2 2 yk x 代入 得 8 分分 22 22xy 2222 12 4 2 4820kxkk xkk 设 则 11 P x y 22 Q xy 9 分分4 81 0k 1 8 k 2 1 2 2 4 2 2 12 kk x k 所以 2 12 2 4 2 12 kk xx k 2 12 2 482 12 kk xx k 11 分分 10 11 分分 又 1212 1212 2 2 2 2 2222 APAQ yyk xk x kk xxxx 1 2 2 12 22 121 22 4 2 24 2 4 12 22 2 24824 2 22 1212 kk xx k kk x xxxkkkk kk 所以直线 AP AQ 的斜率之和为定值 1 16 分分 19 解 1 1 分分 1 lnf xxxaxa 1 ln x fxxa x 因在上单调递增 则 恒成立 f x 0 0fx 1 ln 1ax x 令 则 2 分分 1 ln 1g xx x 2 1 x g x x x 0 1 1 1 g x 0 g x 减极小值增 因此 即 6 分分 min 1 2gxg 02a 2 当时 由 1 知 当时 单调递增 7 分分02a 0 x f x 又 当 当时 9 分分 1 0f 0 1 x 0f x 1 x 0f x 故不等式恒成立 10 分分 1 0 xf x 若 2a ln 1 1 xxa x fx x 设 令 则 12 分分 ln 1 1p xxxa x ln20p xxa 2 e1 a x 当时 单调递减 则 2 1 e a x 0p x p x 1 20p xpa 则 所以当时 单调递减 14 分分 0 p x fx x 2 1 e a x f x 则当时 此时 矛盾 15 2 1 e a x 1 0f xf 1 0 xf x 分分 分 分 11 因此 16 分分02a 20 解 1 由题意得 因为数列各项均正 22 1 4 1 nn nana n a 得 所以 2 分分 22 1 4 1 nn aa nn 1 2 1 nn aa nn 因此 所以是以为首项公比为 2 的等比数列 4 分分 1 1 2 n n a n a n n a n 1 a 2 由 1 得 5 分分 1 1 2n n a a n 1 12 n n aan 221 14 n n n nn aan b tt 如果数列是等差数列 则 6 分分 n b 213 2bbb 得 即 则 22 12023 1 111 23 2 444 2 3aaa ttt 23 16148 ttt 2 16480tt 解得 7 分分 1 4t 2 12t 当时 1 4t 2 1 4 n a n b 数列是等差数列 符合题意 8 分分 222 111 1 1 444 nn ana na bb n b 当 12 时 2 t 2 1 4 3 n n a n b 222 2 111 241 244 242211 4 34 34 3162 aaa bba 2 1 3 2 1 3 3 4 2 8 2 31 b aa 数列不是等差数列 12 不符合题意 9 分分 243 2bbb n b 2 t 综上 如果数列是等差数列 10 分分 n b4t 3 由 2 得 对任意的N 均存在N 使 2 1 4 n a n b n m 242 11 816 nm a Sa nb 则 所以 12 分分 42 42 11 1 1 816 424 an na m a n 2 1 4 na m 当 N 此时 对任意的N 符合题意 14 分分 1 2ak k 2 2 4 4 k n mk n n 当 N 当时 不合题意 15 分分 1 21ak k 1n 2 2 4411 44 kk mkk 综上 当N 对任意的 1 2 ak k N 均存在N 使n m 12 242 11 816 nm a Sa nb 16 分分 第 第 卷卷 理科附加卷 理科附加卷 21 选做题 本题包括 四小题 每小题 10 分 ABCD A 选修 选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 解 连结 OC 由于 l 是圆的切线 故 OCl 因为 所以 2 分分ADl ADOC 因为是圆 O 的直径 AB6AB 3BC 所以 60 ABCBCO 则 4 分分DAC 906030ACO 7 分分2 3cos303 3AC 3 3 sin30 2 DCAC 9 cos30 2 DAAC 由切割线定理知 9 分分 2 DCDA DE 所以 则 10 分分 3 2 DE 3AE B 选修 选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 解 设 M M M 3 分分 ab cd 11 8 11 ab cd 122 242 ab cd 解得 即 M 5 分分 8 8 22 24 ab cd ab cd 6 2 4 4 a b c d 62 44 2 则令特征多项式 8 分分 62 6 4 80 44 f 解得 矩阵 M 的另一个特征值为 10 分分 12 82 2 C 选修 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 解 1 圆的直角坐标方程为 3 分分 1 O 22 4xy 由 得 4 分分 2 2 2 cos 2 4 2 2 cossin 2 A B C D O A 第 21 A 题图 E 13 22 2 2xyxy 故圆的直角坐标方程为 6 分分 2 O 22 2220 xyxy 2 得经过两圆交点的直线为 8 分分10 xy 该直线的极坐标方程为 10 分分cossin10 D 选修 选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 解 因为 7 分分 2 313131 1 1 1 313131 abcabc 由于 故 3abc 313131 6abc 当且仅当时 取到最大值 6 10 分分1abc 313131abc 必做题 第 22 23 题 每小题 10 分 计 20 分 22 解 1 设 交于点 在正四棱锥中 平面 又ACBDOPABCD OP ABCD 所以 以为坐标原点 方向分别是轴 轴2PAAB 2OP ODA AB xy 正方向 建立空间直角坐标系 如图 1 分分Oxyz 则 1 1 0 A 1 1 0 B 1 1 0 C 1 1 0 D 0 0 2 P 故 3 分分 211 2 2 3333 OMOAAMOAAP 11 1 0 33 3 ONOB 所以 22 2 0 33 MN 1 1 2 PC 3 cos 2 MNPC MN PC MN PC 所以与所成角的大小为 5 分分MNPC 6 2 1 1 2 PC 2 0 0 CB 4 2 0 3 3 NC 设是平面的一个法向量 则 x y z mPCB0PC m0CB m 可得 令 20 0 xyz x 0 x 即 2y 1z 0 2 1 m D N M A B C P 第 22 题图 O x y z 14 7 分分 设是平面的一个法向量 则 111 x y z nPCN0PC n0CN n 可得 令 即 9 分分 111 11 20 20 xyz xy 1 2x 1 4y 1 2z 2 4 2 n 5 25 33 cos 33322 m n m n m n 则二面角的余弦值为 10 分分NPCB 5 33 33 23 证明 1 因为 sintan 2 n n n a 当 n 为偶数时 设 12nk 22 2 2 sintansin tan0