天津一中2013届高三数学下学期第二次月考试题 理（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年天津一中高三 下 第二次月考数学试卷 理科 学年天津一中高三 下 第二次月考数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一 选择题 共选择题 共 4040 分 每小题分 每小题 5 5 分 每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 分 每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 1 5 分 2012 蓝山县模拟 计算复数 1 i 2 等于 A 0B 2C 4iD 4i 考点 复数代数形式的混合运算 专题 计算题 分析 利用复数代数形式的混合运算 吧要求的式子化为 2i 进一步化简求得结果 解答 解 复数 1 i 2 2i 2i 4i 故选 D 点评 本题主要考查复数代数形式的混合运算 虚数单位 i 的幂运算性质 属于基础题 2 5 分 2009 山东 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 2 2B 4 2C 2 D 4 2 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 分析 由三视图及题设条件知 此几何体为一个上部是四棱锥 下部是圆柱其高已知 底 面是半径为 1 的圆 故分别求出两个几何体的体积 再相加既得组合体的体积 解答 解 此几何体为一个上部是正四棱锥 下部是圆柱 由于圆柱的底面半径为 1 其高为 2 故其体积为 12 2 2 棱锥底面是对角线为 2 的正方形 故其边长为 其底面积为 2 又母线长为 2 故其高为 由此知其体积为 故组合体的体积为 2 故选 C 点评 本题考点是由三视图求几何体的面积 体积 考查对三视图的理解与应用 主要考 查三视图与实物图之间的关系 用三视图中的数据还原出实物图的数据 再根据相 关的公式求表面积与体积 本题求的是组合体的体积 其方法是分部来求 再求总 体积 三视图的投影规则是 主视 俯视 长对正 主视 左视高平齐 左视 俯 视 宽相等 三视图是高考的新增考点 不时出现在高考试题中 应予以重视 3 5 分 极坐标方程 cos 和参数方程 t 为参数 所表示的图形分别是 A 圆 直线 B 直线 圆 C 圆 圆 D 直线 直线 考点 直线的参数方程 简单曲线的极坐标方程 专题 计算题 分析 极坐标方程 cos 化为直角坐标方程为 表示一个圆 参 数方程 t 为参数 消去参数 t 可得 3x y 1 0 表示一条直线 由此 得出结论 解答 解 极坐标方程 cos 即 2 cos 化为直角坐标方程为 x2 y2 x 即 表示一个圆 3 参数方程 t 为参数 消去参数 t 可得 3x y 1 0 表示一条直线 故选 A 点评 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法 把参数方程化为普通方程的 方法 直线的方程特征 圆的标准方程 属于基础题 4 5 分 若 ABC 的三个内角成等差数列 三边成等比数列 则 ABC 是 A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 钝角三角形 考点 三角形的形状判断 专题 计算题 解三角形 分析 先确定三角形必有一内角为 60 再根据对应三边成等比数列 结合余弦定理 即 可求得结论 解答 解 由题意不妨设 A B C 成等差数列 则 2B A C A B C B A C a b c 成等比数列 b2 ac b2 a2 c2 2accos60 a2 c2 ac a2 c2 ac ac a c 2 0 a c B 60 三角形为等边三角形 故选 C 点评 本题考查等差数列与等比数列 考查余弦定理 考查学生的计算能力 属于中档 题 5 5 分 2011 汕头一模 在 ABC 中 tanA 是以 4 为第 3 项 4 为第 7 项的等差数列 的公差 tanB 是以 为第 3 项 9 为第 6 项的等比数列的公比 则该三角形为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 考点 等比数列的通项公式 两角和与差的正切函数 专题 计算题 4 分析 首先 由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式 结合已知可得 tanA 2 tanB 3 然后利用两角和的正切公式可求出 tan A B 1 从而求出 C 再结合题意确定 A B 的范围 从而确定 ABC 的形状 解答 解 由题意可得 tanA 2 tanB 3 故 tan A B 1 0 A B A B C 又 tanA 0 tanB 0 0 A 0 B 0 A 0 B 故 ABC 为锐角三角形 故选 A 点评 本题通过解三角形问题 考查了等差数列和等比数列的通项公式 两角和的正切公 式 综合性较强 难度中等 6 5 分 为平面 m 为直线 如果 那么 m 是 m 的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 由 为平面 m 为直线 知 m m 反之 若 m 则 m 不一定成立 由此能求出结果 解答 解 由 为平面 m 为直线 知 m m 反之 若 m 则 m 不一定成立 m 是 m 的必要非充分条件 故选 B 点评 本题考查平面的性质定理及其推论 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 5 7 5 分 函数 f x sin2x 2sin2x 0 x 则函数 f x 的最小值为 A 1B 2C D 考点 二倍角的正弦 两角和与差的正弦函数 正弦函数的定义域和值域 专题 计算题 三角函数的图像与性质 分析 先利用二倍角公式 辅助角公式对已知函数进行化简 然后结合正弦函数的性质可 求函数的最小值 解答 解 f x sin2x 2sin2x 2sin 2x 1 0 x 2 f x 1 则函数 f x 的最小值为 2 故选 B 点评 本题主要考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用及正弦函数性质的简单应用 属于基础试题 8 5 分 函数 若方程 f x x a 恰有两个不等的 实根 则 a 的取值范围为 A 0 B 0 1 C 1 D 0 考点 根的存在性及根的个数判断 专题 计算题 分析 由题意可得 f x 的图象和函数 y x a 有两个不同的交点 结合图象 求出 a 的取 值范围 解答 解 由题意可得 f x 的图象和函数 y x a 有两个不同的交点 如图所示 故有 a 1 故选 C 6 点评 本题考查根的存在性及根的个数判断 以及函数与方程的思想 解答关键是运用数 形结合的思想 属于中档题 二二 填空题 共填空题 共 3030 分 每小题分 每小题 5 5 分 分 9 5 分 2010 青浦区二模 文科 非负实数 x y 满足 则 x 3y 的最大 值为 9 考点 简单线性规划 简单线性规划的应用 专题 计算题 分析 先根据约束条件画出可行域 再利用几何意义求最值 只需求出直线 z x 3y 过点 A 0 3 时 z 最大值即可 解答 解 根据约束条件画出可行域 直线 z x 3y 过点 A 0 3 时 z 最小值是 9 故答案为 9 点评 本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题 解题的关键是画出满足条件的 区域图 属于基础题 10 5 分 已知 A 0 B 0 1 坐标原点 O 在直线 AB 上的射影为点 C 则 7 考点 平面向量数量积的运算 平面向量的坐标运算 专题 平面向量及应用 分析 由已知中 A 0 B 0 1 可求出直线 AB 的方程 结合坐标原点 O 在直线 AB 上的射影为点 C 即 OC AB 可求出直线 OC 的方程 进而得到点 C 即向量的坐标 代入向量数量积公式 可得答案 解答 解 坐标原点 O 在直线 AB 上的射影点为 C 直线 OC AB 由 A 0 B 0 1 可得 直线 AB 的斜率 kAB AB 的方程为 y 1 x kAC OC 直线方程为 y x 由 和 x y 故答案为 点评 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算 直线的方程 直线的交点 其中根据 已知 求出点 C 即向量的坐标 是解答的关键 11 5 分 2012 佛山二模 几何证明选做题 如图 已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于 点 F E 是 AB 延长线上一点 且 AF FB BE 4 2 1 若 CE 与圆相切 则线 段 CE 的长为 考点 与圆有关的比例线段 专题 计算题 8 分析 设出 AF 4k BF 2k BE k 由 DF FC AF BF 求出 k 的值 利用切割定理求出 CE 解答 解 设 AF 4k BF 2k BE k 由 DF FC AF BF 得 2 8k2 即 k AF 2 BF 1 BE AE 由切割定理得 CE2 BE EA CE 故答案为 点评 本题是基础题 考查直线与圆的位置关系 考查计算能力 基本知识掌握的情况 是常考题型 12 5 分 2009 长宁区一模 已知直线 m n 与平面 给出下列三个命题 若 m n 则 m n 若 m n 则 n m 若 m m 则 其中真命题的个数是 2 个 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 专题 综合题 分析 分别加以判断 若 m n 是平面 内的相交直线 且 则 m n 但 m 不平行于 n 故 不正确 若 m 则在 内可以找到直线 m 使 m m 再 结合 n 可得 n m 最终得到 n m 故 正确 若 m 则在 内可以找 到直线 m 使 m m 结合 m 得 m 经过 的垂线 所以 故 正确 解答 解 对于 设 m n 是平面 内的相交直线 且 m n 而 m 不平行于 n 故 不正确 对于 m 在 内可以找到直线 m 使 m m 又 n m n m 结合 m m 得到 n m 故 正确 对于 m 在 内可以找到直线 m 使 m m 又 m 得 m 经过 的垂线 故 正确 故答案为 2 个 9 点评 本题考查了空间两直线 直线与平面位置关系等知识点 属于中档题 熟练掌握直 线与平面平行垂直和平面与平面的平行与垂直的判定与性质 是解好本题的关键 13 5 分 等差数列 an 中 a1 1 a7 4 在等比数列 bn 中 b1 6 b2 a3 则满足 bna26 1 的最小正整数 n 是 6 考点 等差数列的通项公式 专题 等差数列与等比数列 分析 在等差数列 an 中 由 a1 1 a7 4 求出 a3和 a26 在等比数列 bn 中 b1 6 b2 a3求 出 bn 代入 bna26 1 可求最小正整数 n 解答 解 在等差数列 an 中 设其公差为 d 由 a1 1 a7 4 得 所以 又在等比数列 bn 中 b1 6 b2 a3 2 所以其公比 q 所以 由 得 35 n 1 则 n 5 所以 满足 bna26 1 的最小正整数 n 是 6 故答案为 6 点评 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式 考查了指数不等式的解法 是基础 题 14 5 分 设 则 m 与 n 的大小关系为 m n 考点 定积分的简单应用 专题 计算题 分析 根据 ex lnx 的导数等于 ex 得到原函数是 ex lnx 写出当自变量取两个不同 的值时 对应的函数值 让两个数字相减进而比较即可得到结果 解答 解 ex lnx 的导数等于 ex m ex e1 e0 e 1 10 n lnx lne ln1 1 而 e 1 1 m n 故答案为 m n 点评 本题主要考查了定积分 定积分运算是求导的逆运算 解题的关键是求原函数 也 可利用几何意义进行求解 属于基础题 三三 解答题 解答题 15 13 分 2011 孝感模拟 在 ABC 中 1 求的值 2 当 ABC 的面积最大时 求 A 的大小 考点 向量的模 向量在几何中的应用 专题 计算题 分析 1 变形出的表达式 求值即可 2 由面积公式表示出 ABC 的面积 根据其形式用基本不等式求出等号成立的条 件 即可 解答 解 1 得 2 4 故 2 4 又 2 所以 8 2 由面积公式 S ABC AB AC sin BAC 又 AB AC cos BAC 2 cos BAC sin BAC S ABC AB AC sin BAC 等号当且仅当 AB AC 时成立 又由 1 AB AC 2 时 三角形面积取到最大值 cos BAC 即 BAC 60 11 答 当 ABC 的面积最大时 求 A 的大小是 600 点评 考查向量的夹角公式 三角形中同角三角函数的基本关系以及基本不等式求最值 综合性与知识性较强 16 13 分 某机构向民间招募防爆犬 首先进行入围测试 计划考察三个项目 体能 嗅觉和反应 这三个项目中只要有两个通过测试 就可以入围 某训犬基地有 4 只优质犬 参加测试 已知它们通过体能测试的概率都是 通过嗅觉测试的概率都是 通过反应测 试的概率都是 求 1 每只优质犬能够入围的概率 2 若每入围 1 只犬给基地记 10 分 设基地的得分为随机变量 求 的数学期望 考点 离散型随机变量的期望与方差 相互独立事件的概率乘法公式 专题 概率与统计 分析 1 利用相互独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式即可得出 2 利用 1 求出优质犬入围的只数的随机变量的数学期望 进而求出得分 的 数学期望 解答 解 1 每只优质犬入围概率相等 若一只优质犬能够入围 则包括三项测试都通 过或其中的任意两项通过两类 因此每只优质犬能够入围的概率 P 2 设随机变量 表示优质犬入围的只数 则 的取值为 0 1 2 3 4 则服从 B 4 10 E E 10E 点评 熟练掌握相互独立事件的概率乘法公式 互斥事件的概率公式 离散型随机变量的 期望计算公式是解题的关键 17 13 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面为直角梯 ABCD AD BC BAD 90 PA 底面 ABCD 且 PA AD AB 2BC M N 分别为 PC PB 的中点 1 求证 PB DM 2 求 CD 与平面 ADMN 所成角的正弦值 3 在棱 PD 上是否存在点 E PE ED 使得二面角 C AN E 的平面角为 60 存在 求出 值 12 考点 用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面垂直的判定 直线与平面所成的角 二面角的平面角及求法 专题 空间位置关系与距离 空间角 分析 1 建立空间直角坐标系 利用 即可证明 2 先求出平面 ADMN 的法向量 利用斜线段 CD 的方向向量与平面的法向量的夹角 即可得出 3 利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角 解答 解 1 如图以 A 为原点建立空间直角坐标系 不妨设 AB 2 则 A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 1 0 D 0 2 0 M 1 1 N 1 0 1 P 0 0 2 2 0 2 1 1 0 PB DM 2 由 1 可得 2 1 0 0 2 0 1 0 1 设平面 ADMN 法向量 x y z 则得到 令 x 1 则 z 1 y 0 1 0 1 设 CD 与平面 ADMN 所成角 则 3 假设在棱 PD 上存在点 E 0 m 2 m 满足条件 设平面 ACN 法向量 x y z 由 可得 令 x 1 则 y 2 z 1 1 2 1 设平面 AEN 的法向量 x0 y0 z0 由 可得 令 x0 1 则 z0 1 13 cos60 得 化为 化为 23m2 52m 20 0 又 m 0 2 解得 满足 m 0 2 PE ED m 2 m 点评 熟练掌握通过建立空间直角坐标系 利用 斜线的方向向量与 平面的法向量的夹角求线面角 利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关 键 18 13 分 数列 an 满足 4a1 1 an 1 1 nan 1 2 an n 2 1 试判断数列 1 n 是否为等比数列 并证明 2 设 an2 bn 1 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 考 点 数列的求和 等比关系的确定 专 题 综合题 等差数列与等比数列 分 析 1 由 an 1 1 nan 1 2 an n 2 两边取倒数 整理即可证明 2 由 1 及已知 an2 bn 1 可求 bn 结合数列的通项的特点 考虑利用分组求和 结合等比数列与等差数列的求和公式即可求解 解 答 解 1 数列 1 n 是等比数列 证明如下 14 由 即 a1 3 另 是首项为 3 公比为 2 的等比数列 则 2 由 6 20 2 22 2n 1 1 1 1 3 4n 6 2n n 9 n N 点 评 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列 等比数列的通项公式及求和公式 的应用 19 13 分 设 n N 不等式组所表示的平面区域为 Dn 把 Dn内的整点 横 纵坐标均为整数的点 按其到原点的距离从近到远排列成点列 x1 y1 x2 y2 xn yn 1 求 xn yn 15 2 设数列 an 满足 求证 n 2 时 3 在 2 的条件下 比较与 4 的大小 考点 数列与函数的综合 专题 综合题 分析 1 由 nx 2n 0 及 x 0 得 0 x 2 因为 x N 所以 x 1 从而 x 1 与 y nx 2n 的交点为 1 n 即所以 Dn内的整点 xn yn 为 1 n 2 先化简为 两式相减即可证得 3 先猜想 n N 时 再利用 2 的 结论可以证明 解答 解 1 由 nx 2n 0 及 x 0 得 0 x 2 因为 x N 所以 x 1 又 x 1 与 y nx 2n 的交点为 1 n 所以