集合的概念与运算

第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 集合的概念与运算集合的概念与运算 导学目标 导学目标 1 能用自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述法 描述不同的具体问题 2 理解集合之间包含与相等的含义 能识别给定集合的子集 3 理解两个集合的并集与交集的含义 会求两个简单集合的并集与交集 4 理解在给定集 合中一个子集的补集的含义 会求给定子集的补集 5 能使用韦恩 Venn 图表达集合的关系及 运算 自主梳理自主梳理 1 集合元素的三个特征 确定性 互异性 无序性 2 元素与集合的关系是属于或不属于关系 用符号 或表示 3 集合的表示法 列举法 描述法 图示法 区间法 4 集合间的基本关系 对任意的 x A 都有 x B 则 A B 或 B A 若 A B 且在 B 中至少有一个元素 x B 但 xA 则 A B 或 B A 若 A B 且 B A 则 A B 5 集合的运算及性质 设集合 A B 则 A B x x A 且 x B A B x x A 或 x B 设全集为 U 则 UA x x U 且 xA A A B A A B B A B A A B A A A B A A B B A B B A B A UA A UA U 自我检测自我检测 1 2011 长沙模拟 下列集合表示同一集合的是 A M 3 2 N 2 3 B M x y x y 1 N y x y 1 C M 4 5 N 5 4 D M 1 2 N 1 2 答案 C 2 2009 辽宁 已知集合 M x 3 x 5 N x 5 x 5 则 M N 等于 A x 5 x 5 B x 3 x 5 C x 5 x 5 D x 3 x 5 答案 B 解析 画数轴 找出两个区间的公共部分即得 M N x 3 x 5 3 2010 湖北 设集合 A x y 1 B x y y 3x 则 A B 的子集的个 x2 4 y2 16 数是 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 A 解析 易知椭圆 1 与函数 y 3x的图象有两个交点 所以 A B 包含两个元素 x2 4 y2 16 故 A B 的子集个数是 4 个 4 2010 潍坊五校联考 集合 M y y x2 1 x R 集合 N x y x R 9 x2 则 M N 等于 A t 0 t 3 B t 1 t 3 C 1 1 D 22 答案 B 解析 y x2 1 1 M 1 又 y 9 x2 0 9 x2 N 3 3 M N 1 3 5 2011 福州模拟 已知集合 A 1 3 a B 1 a2 a 1 且 B A 则 a 答案 1 或 2 解析 由 a2 a 1 3 a 1 或 a 2 经检验符合 由 a2 a 1 a 得 a 1 但集合中有相同元素 舍去 故 a 1 或 2 探究点一 集合的基本概念 例 1 2011 沈阳模拟 若 a b R 集合 1 a b a 0 b 求 b a 的值 b a 解题导引 解决该类问题的基本方法为 利用集合中元素的特点 列出方程组求解 但解出后应注意检验 看所得结果是否符合元素的互异性 解 由 1 a b a 0 b 可知 a 0 则只能 a b 0 则有以下对应关系 b a Error 或Error 由 得Error 符合题意 无解 b a 2 变式迁移 1 设集合 A 1 a b B a a2 ab 且 A B 求实数 a b 解 由元素的互异性知 a 1 b 1 a 0 又由 A B 得Error 或Error 解得 a 1 b 0 探究点二 集合间的关系 例 2 设集合 M x x 5 4a a2 a R N y y 4b2 4b 2 b R 则下列 关系中正确的是 A M N B M N C M N D M N 解题导引 一般地 对于较为复杂的两个或两个以上的集合 要判断它们之间的关系 应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他 属性如何 然后将所给集合化简整理 弄 清每个集合中的元素个数或范围 再判断它们之间的关系 答案 A 解析 集合 M x x 5 4a a2 a R x x a 2 2 1 a R x x 1 N y y 4b2 4b 2 b R y y 2b 1 2 1 b R y y 1 M N 变式迁移 2 设集合 P m 1 m 0 Q m mx2 4mx 4 0 对任意实数 x 恒成立 且 m R 则下列关系中成立的是 A P Q B Q P C P Q D P Q 答案 A 解析 P m 1 m 0 Q Error 或 m 0 1 m 0 Q m 1 m 0 P Q 探究点三 集合的运算 例 3 设全集是实数集 R A x 2x2 7x 3 0 B x x2 a 0 1 当 a 4 时 求 A B 和 A B 2 若 RA B B 求实数 a 的取值范围 解题导引 解决含参数问题的集合运算 首先要理清题目要求 看清集合间存在的相 互关系 注意分类讨论 数形结合思想的应用以及空集的特殊性 解 1 A x x 3 1 2 当 a 4 时 B x 2 x 2 A B x x 2 1 2 A B x 2 x 3 2 RA x x3 1 2 当 RA B B 时 B RA 即 A B 当 B 即 a 0 时 满足 B RA 当 B 即 a 0 时 B x x a a 要使 B RA 需 a 1 2 解得 a 0 1 4 综上可得 a 的取值范围为 a 1 4 变式迁移 3 2011 阜阳模拟 已知 A x x a 3 1 若 a 1 求 A B 2 若 A B R 求实数 a 的取值范围 解 1 当 a 1 时 A x 3 x 5 B x x5 A B x 3 x 1 2 A x a 4 x a 4 B x x5 且 A B R Error 1 a2m 1 即 m 2 时 B 满足 B A 8 分 若 B 且满足 B A 如图所示 则Error 即Error 2 m 3 10 分 故 m 2 或 2 m 3 即所求集合为 m m 3 12 分 突破思维障碍突破思维障碍 在解决两个数集关系问题时 避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与 求解 另外 在解含有参数的不等式 或方程 时 要对参数进行讨论 分类时要遵循 不 重不漏 的分类原则 然后对于每一类情况都要给出问题的解答 易错点剖析易错点剖析 1 容易忽略 a 0 时 S 这种情况 2 想当然认为 m 1 或 两种情况 解答集合问题时应注意五点 1 注意集合中元素的性质 互异性的应用 解答时注意检验 2 注意描述法给出的集合的元素 如 y y 2x x y 2x x y y 2x 表示不同的 集合 3 注意 的特殊性 在利用 A B 解题时 应对 A 是否为 进行讨论 4 注意数形结合思想的应用 在进行集合运算时要尽可能借助 Venn 图和数轴使抽象 问题直观化 一般地 集合元素离散时用 Venn 图表示 元素连续时用数轴表示 同时注 意端点的取舍 5 注意补集思想的应用 在解决 A B 时 可以利用补集思想 先研究 A B 的 情况 然后取补集 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 满足 1 A 1 2 3 的集合 A 的个数是 A 2 B 3 C 4 D 8 答案 B 解析 A 1 B 其中 B 为 2 3 的子集 且 B 非空 显然这样的集合 A 有 3 个 即 A 1 2 或 1 3 或 1 2 3 2 2011 杭州模拟 设 P Q 为两个非空集合 定义集合 P Q a b a P b Q 若 P 0 2 5 Q 1 2 6 则 P Q 中元素的个数是 A 9 B 8 C 7 D 6 答案 B 解析 P Q 1 2 3 4 6 7 8 11 故 P Q 中元素的个数是 8 3 2010 北京 集合 P x Z 0 x 3 M x Z x2 9 则 P M 等于 A 1 2 B 0 1 2 C 1 2 3 D 0 1 2 3 答案 B 解析 由题意知 P 0 1 2 M 3 2 1 0 1 2 3 P M 0 1 2 4 2010 天津 设集合 A x x a 1 x R B x 1 x 5 x R 若 A B 则 实数 a 的取值范围是 A a 0 a 6 B a a 2 或 a 4 C a a 0 或 a 6 D a 2 a 4 答案 C 解析 由 x a 1 得 1 x a 1 即 a 1 x4 N x 1 则右图中阴影部分所表示 2 x 1 的集合是 A x 2 x 1 B x 2 x 2 C x 1 x 2 D x x2 或 x 2 集合 N 为 x 1 x 3 由集合的运算 知 UM N x 1 x 2 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 2011 绍兴模拟 设集合 A 1 2 则满足 A B 1 2 3 的集合 B 的个数是 答案 4 解析 由题意知 B 的元素至少含有 3 因此集合 B 可能为 3 1 3 2 3 1 2 3 7 2009 天津 设全集 U A B x N lg x 1 若 A UB m m 2n 1 n 0 1 2 3 4 则集合 B 答案 2 4 6 8 解析 A B x N lg x0 求 A B 和 A B 解 A x x2 5x 6 0 x 6 x 1 3 分 B x x2 3x 0 x x0 6 分 如图所示 A B x 6 x 1 x x0 R 9 分 A B x 6 x 1 x x0 x 6 x 3 或 0 x 1 12 分 10 12 分 已知集合 A x 0 ax 1 5 集合 B x x 2 若 B A 求实数 a 1 2 的取值范围 解 当 a 0 时 显然 B A 2 分 当 a 0 时 若 B A 如图 则Error 5 分 Error a0 时 如图 若 B A 则Error 9 分 Error 0 a 2 11 分 综上知 当 B A 时 a 2 12 分 1 2 11 14 分 2011 岳阳模拟 已知集合 A x 0 B x x2 2x m 0 x 5 x 1 1 当 m 3 时 求