2018届高考理科数学热点题型：数列（附答案和解释）

精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 1 / 82018 届高考理科数学热点题型：数列（附答案和解释）数列热点一等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例 1】已知首项为 32 的等比数列an不是递减数列，其前 n 项和为 Sn(nN*)，且 S3a3，S5a5，S4a4 成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设 TnSn1Sn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值.解(1)设等比数列an的公比为 q，因为 S3a3，S5a5，S4a4 成等差数列，所以 S5a5S3a3S4a4S5a5，即 4a5a3，于是 q2a5a314.又an不是递减数列且 a132，所以 q12.故等比数列an的通项公式为 an3212n1(1)n132n.(2)由(1)得 Sn112n112n，n 为奇数，112n，n为偶数，精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 2 / 8当 n 为奇数时，Sn 随 n 的增大而减小，所以 1SnS132，故 0Sn1SnS11S1322356.当 n 为偶数时，Sn 随 n 的增大而增大，所以 34S2Sn1，故 0Sn1SnS21S23443712.综上，对于 nN*，总有712Sn1Sn56.所以数列Tn最大项的值为 56，最小项的值为712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】已知数列an是公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 Sn，满足 S52a225，且 a1，a4，a13 恰为等比数列bn的前三项.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设 Tn 是数列 1anan1 的前 n 项和，是否存在 kN*，使得等式 12Tk1bk 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由.解(1)设等差数列an的公差为 d(d0)，5a1542d2（a1d）25， （a13d）2a1（a112d） ，解得 a13，d2，an2n1.精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 3 / 8b1a13，b2a49，等比数列bn的公比 q3，bn3n.(2)不存在.理由如下：1anan11（2n1） （2n3）1212n112n3，Tn121315151712n112n3121312n3，12Tk2312k3(kN*)，易知数列 12k3 为单调递减数列，2312Tk1315，又 1bk13k0，13，不存在 kN*，使得等式 12Tk1bk 成立.热点二数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例 2】设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为 q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当 d1 时，记 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn.(1)解由题意有 10a145d100，a1d2，精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 4 / 8即 2a19d20，a1d2，解得 a11，d2 或 a19，d29.故 an2n1，bn2n1 或 an19（2n79） ，bn929n1.(2)解由 d1，知 an2n1，bn2n1，故 cn2n12n1，于是 Tn1325227239242n12n1，12Tn123225237249252n12n.可得12Tn21212212n22n12n32n32n，故 Tn62n32n1.【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列anbn是由等差数列an与等比数列bn(公比 q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设anbn的前 n 项和为 Tn，然后两边同乘以 q.第三步：(错位相减)乘以公比 q 后，向后错开一位，使含有 qk(kN*)的项对应，然后两边同时作差.第四步：(求和)精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 5 / 8将作差后的结果求和，从而表示出 Tn.【对点训练】设数列an的前 n 项和为 Sn，已知a11，a22，且 an23SnSn13，nN*.(1)证明：an23an；(2)求 S2n.(1)证明由条件，对任意 nN*，有an23SnSn13，因而对任意 nN*，n2，有 an13Sn1Sn3.两式相减，得 an2an13anan1，即 an23an，n2.又 a11，a22，所以 a33S1S233a1(a1a2)33a1，故对一切 nN*，an23an.(2)解由(1)知，an0，所以 an2an3.于是数列a2n1是首项 a11，公比为 3 的等比数列；数列a2n是首项 a22，公比为 3 的等比数列.因此 a2n13n1，a2n23n1.于是 S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1)32(3n1).热点三数列的综合应用热点 3.1数列与函数的综合问题精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 6 / 8数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.【例 31】设等差数列an的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)2x 的图象上(nN*).(1)若 a12，点(a8，4b7)在函数 f(x)的图象上，求数列an的前 n 项和 Sn；(2)若 a11，函数 f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在 x轴上的截距为 21ln2，求数列 anbn 的前 n 项和 Tn.解(1)由已知，b72a7，b82a84b7，有 2a842a72a72，解得 da8a72.所以，Snna1n（n1）2d2nn(n1)n23n.(2)函数 f(x)2x 在(a2，b2)处的切线方程为y2a2(2a2ln2)(xa2)，它在 x 轴上的截距为 a21ln2.由题意知，a21ln221ln2，解得 a22.所以，da2a11.从而 ann，bn2n，所以 Tn12222323n12n1n2n，2Tn1122322n2n1因此，2TnTn11212212n1n2n精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 7 / 8212n1n2n2n1n22n.所以，Tn2n1n22n.热点 3.2数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.【例 32】在等差数列an中，a26，a3a627.(1)求数列an的通项公式；(2)记数列an的前 n 项和为 Sn，且TnSn32n1，若对于一切正整数 n，总有 Tnm成立，求实数 m 的取值范围.解(1)设公差为 d，由题意得：a1d6，2a17d27，解得 a13，d3，an3n.