云南省2010届高三数学二轮复学专题教案（五）

用心 爱心 专心 云南省云南省 2010 届高三二轮复习数学专题 五 届高三二轮复习数学专题 五 题目题目 高中数学复习专题讲座求解函数解析式的几种常用方法求解函数解析式的几种常用方法 高考要求高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一 需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理 解函数定义的基础上 掌握求函数解析式的几种方法 并形成能力 并培养考生的创新能 力和解决实际问题的能力 重难点归纳重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1 换元法 已知 xgf的表达式 欲求 xf 我们常设 xgt 从而求得 1 tgx 然后代入 xgf的表达式 从而得到 tf的表达式 即为 xf的表达式 2 待定系数法 若已知 xf 的结构时 可设出含参数的表达式 再根据已知条件 列方程或方程组 从 而求出待定的参数 求得 xf 的表达式 3 凑配法 若已知 xgf 的表达式 欲求 xf 的表达式 用换元法有困难时 如 xg 不存在反 函数 可把 xg 看成一个整体 把右边变为由 xg 组成的式子 再换元求出 xf 的式子 4 消元法 若已知以函数为元的方程形式 若能设法构造另一个方程 组成方程组 再解这个方程组 求出函数元 称这个方法为消元法 5 赋值法 在求某些函数的表达式或求某些函数值时 有时把已知条件中的某些变量赋值 使问题简 单明了 从而易于求出函数的表达式 另外 在解题过程中经常用到分类讨论 等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解典型题例示范讲解 例例 1 如果45 1 2 xxxf 那么 f x 例例 2 设二次函数 f x 满足 f x 2 f x 2 且图像在 y 轴上的截距为 1 被 x 轴截得的 线段长为22 求 f x 的解析式 例例 3 设 y f x 是实数函数 且x x fxf 1 2 求证 2 3 2 xf 例例 4 已知bxxfxaf nn 其中na 1 2 奇数 试求 xf 例例 5 已知 12 baabfbaf 且 1 0 f求 xf的表达式 用心 爱心 专心 解 令 0 b 由已知得 1 1 0 2 aaaafaf 1 2 xxxf 例例 6 1 已知函数 f x 满足 f logax 1 1 2 x x a a 其中 a 0 a 1 x 0 求 f x 的表达式 2 已知二次函数 f x ax2 bx c 满足 f 1 f 1 f 0 1 求 f x 的表达式 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域 值域和对应法则 以及计算 能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识 特别是对 f 的理解 用好等价转化 注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高 对定义域的考查 等价转化易出错 技巧与方法 1 用换元法 2 用待定系数法 解 1 令 t logax a 1 t 0 0 a 1 t1 x 0 0 a 1 x 0 2 由 f 1 a b c f 1 a b c f 0 c 得 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 fc ffb fffa 并且 f 1 f 1 f 0 不能同时等于 1 或 1 所以所求函数为 f x 2x2 1 或 f x 2x2 1 或 f x x2 x 1 或 f x x2 x 1 或 f x x2 x 1 或 f x x2 x 1 例例 7 设 f x 为定义在 R 上的偶函数 当 x 1 时 y f x 的图像是经过点 2 0 斜率为 1 的射线 又在 y f x 的图像中有一部分是顶点在 0 2 且过点 1 1 的一段抛物线 试写出函数 f x 的表达式 并在图中作出其图像 命题意图 本题主要考查函数基本知识 抛物线 射线的基本概念及其图像的作法 对分段函数的分析需要较强的思维能力 因此 分段函数是今后高考的热点题型 知识依托 函数的奇偶性是桥梁 分类讨论是关键 待定系数求出曲线方程是主线 错解分析 本题对思维能力要求很高 分类讨论 综合运用知识易发生混乱 技巧与方法 合理进行分类 并运用待定系数法求函数表达式 解 1 当 x 1 时 设 f x x b 射线过点 2 0 0 2 b 即 b 2 f x x 2 2 当 1 x1 时 f x 等 于 A f x x 3 2 1B f x x 3 2 1 C f x x 3 2 1D f x x 1 2 1 3 已知 f x 2f x 1 3x 求 f x 的解析式为 4 已知 f x ax2 bx c 若 f 0 0 且 f x 1 f x x 1 则 f x 5 设二次函数 f x 满足 f x 2 f x 2 且其图像在 y 轴上的截距为 1 在 x 轴上截得 的线段长为2 求 f x 的解析式 6 设 f x 是在 上以 4 为周期的函数 且 f x 是偶函数 在区间 2 3 上时 f x 2 x 3 2 4 求当 x 1 2 时 f x 的解析式 若矩形 ABCD 的两个顶点 A B 在 x 轴上 C D 在 y f x 0 x 2 的图像上 求这个矩形面积的最大值 7 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次经过 B C D 再回到 A 设 x 表示 P 点的行程 f x 表示 PA 的长 g x 表示 ABP 的面积 求 f x 和 g x 并作出g x 的简图 8 已知函数 y f x 是定义在 R 上的周期函数 周期T 5 函数 y f x 1 x 1 是奇函数 又知 y f x 在 0 1 上是一次函数 在 1 4 上是二次函数 且在 x 2 时 函数取得最小值 最小值为 5 1 证明 f 1 f 4 0 2 试求 y f x x 1 4 的解析式 3 试求 y f x 在 4 9 上的解析式 参考答案 1 解析 f x 34 x mx D P C P BA 用心 爱心 专心 f f x 3 34 4 34 x mx x mx m x 整理比较系数得 m 3 答案 A 2 解析 利用数形结合 x 1 时 f x x 1 2 1 的对称轴为 x 1 最小值为 1 又 y f x 关于 x 1 对称 故在 x 1 上 f x 的对称轴为 x 3 且最小值为 1 答案 B 3 解析 由 f x 2f x 1 3x 知 f x 1 2f x 3 x 1 由上面两式联立消去 f x 1 可得 f x x 2 x 答案 f x x 2 x 4 解析 f x ax2 bx c f 0 0 可知 c 0 又 f x 1 f x x 1 a x 1 2 b x 1 0 ax2 bx x 1 即 2a b x a b bx x 1 故 2a b b 1 且 a b 1 解得 a 2 1 b 2 1 f x 2 1 x2 2 1 x 答案 2 1 x2 2 1 x 5 解 利用待定系数法 设 f x ax2 bx c 然后找关于 a b c 的方程组求解 f x 1 7 8 7 2 2 xx 6 解 1 设 x 1 2 则 4 x 2 3 f x 是偶函数 f x f x 又因为 4 是 f x 的周期 f x f x f 4 x 2 x 1 2 4 2 设 x 0 1 则 2 x 2 3 f x f x 2 2 x 1 2 4 又由 1 可知 x 0 2 时 f x 2 x 1 2 4 设 A B 坐标分别为 1 t 0 1 t 0 0 t 1 则 AB 2t AD 2t2 4 S矩形 2t 2t2 4 4t 2 t2 令 S矩 S 8 2 S 2t2 2 t2 2 t2 3 222 222 ttt 3 27 64 当且仅当 2t2 2 t2 即 t 3 6 时取等号 S2 27 864 即 S 9 616 Smax 9 616 7 解 1 如原题图 当 P 在 AB 上运动时 PA x 当 P 点在 BC 上运动时 由 Rt ABD 可得 PA 2 1 1 x 当 P 点在 CD 上运动 时 由 Rt ADP 易得 PA 2 3 1x 当 P 点在 DA 上运动时 PA 4 x 故 f x 的表达式为 D P C P BA 用心 爱心 专心 f x 43 4 32 106 21 22 10 2 2 xx xxx xxx xx 2 由于 P 点在折线 ABCD 上不同位置时 ABP 的形状各有特征 计算它们的面积也 有不同的方法 因此同样必须对 P 点的位置进行分类求解 如原题图 当 P 在线段 AB 上时 ABP 的面积 S 0 当 P 在 BC 上时 即 1 x 2 时 S ABP 2 1 AB BP 2 1 x 1 当 P 在 CD 上时 即 2 x 3 时 S ABP 2 1 1 1 2 1 当 P 在 DA 上时 即 3 x 4 时 S ABP 2 1 4 x 故 g x 43 4 2 1 32 2 1 21 1 2 1 10 0 xx x xx x 8 1 证明 y f x 是以 5 为周期的周期函数 f 4 f 4 5 f 1 又 y f x 1 x 1 是奇函数 f 1 f 1 f 4 f 1 f 4 0 2 解 当 x 1 4 时 由题意 可设 f x a x 2 2 5 a 0 由 f 1 f 4 0 得 a 1 2 2 5 a 4 2 2 5 0 解得 a 2 f x 2 x 2 2 5 1 x 4 3 解 y f x 1 x 1 是奇函数 f 0 f 0 f 0 0 又 y f x 0 x 1 是一次函数 可设 f x kx 0 x 1 f 1 2 1 2 2 5 3 f 1 k