2013高考数学三轮冲刺押题 基础技能闯关夺分必备 空间中的平行关系（含解析）

1 空间中的平行关系空间中的平行关系 考点导读 1 掌握直线和平面平行 两个平面平行的判定定理和性质定理 2 明确定义与定理的不同 定义是可逆的 既是判定也是性质 而判定定理与性质定理多 是不可逆的 3 要能灵活的对 线线平行 线面平行 和 面面平行 进行转化 基础练习 1 1 若为异面直线 直线c a 则c与b的位置关系是 异面或相交 ba 2 给出下列四个命题 垂直于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行 若直线与同一平面所成的角相等 则互相平行 12 l l 12 l l 若直线是异面直线 则与都相交的两条直线是异面直线 12 l l 12 l l 其中假命题的个数是 4 个 3 对于任意的直线l与平面a 在平面a内必有直线m 使m与l 垂直 4 4 m 和 n 是分别在两个互相垂直的面 内的两条直线 与 交于 l m 和 n 与 l 既 不垂直 也不平行 那么 m 和 n 的位置关系是 既不可能垂直 也不可能平行 5 5 已知a b c是三条不重合的直线 r是三个不重合的平面 下面六个命题 a c b ca b a r b ra b c c r r a c ca a r ra 其中正确的命题是 范例导析 例例 1 1 空间四边形 ABCD 中 P Q R 分别 AB AD CD 的中点 平面 PQR 交 BC 于 S 求证 四边形 PQRS 为平行四边形 证明 证明 PQ 为 AB AD 中点 PQ BD 又 PQ平面 BCD BD平面 BCD PQ 平面 BCD 又平面 PQR 平面 BCD RS PQ平面 RQR PQ RS R 为 DC 中点 S 为 BC 中点 PQ RS 且 PQ RS PQRS 为平行四边形 点评 点评 灵活运用线面平行的判定定理和性质定理 线线平行 与 线面平行 的转化是证 平行关系的常用方法 变式题 变式题 如图 在四面体 ABCD 中 截面 EFGH 是平行四边形 求证 AB 平面 EFG 证明证明 面 EFGH 是截面 2 b 点 E F G H 分别在 BC BD DA AC 上 EH 面 ABC GF 面 ABD 由已知 EH GF EH 面 ABD 又 EH 面 BAC 面 ABC 面 ABD AB EH AB AB 面 EFG 例例 2 2 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 N 在 BD 上 点 M 在 B1C 上 并且 CM DN 求证 MN 平面 AA1B1B 分析 分析 线线平行 线面平行 面面平行 是可以 互相转化的 本题可以采用任何一种转化方式 简证 简证 法 1 把证 线面平行 转化为证 线线平行 即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行 如图所示作平行线即可 法 2 把证 线面平行 转化为证 线线平行 连CN并延长交直线BA于点P 连B1P 就是所找直线 然后再设法证明MN B1P 法 3 把证 线面平行 转化为证 面面平行 过 M 作 MQ BB1交 BC 于 B1 连 NQ 则平面 MNQ 与平面ABB1A1平行 从而证得MN 平面ABB1A1 点评 点评 证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化 非常灵活 例例 3 3 已知 a b 是异面直线 a平面 b平面 a b 求证 证证法法 1 1 在 a 上任取点 P 显然点P不在直线 b 上 于是 b 和点 P 确定平面 且与有公共点 P b 且 b 和 a 交于 P b b b b 而 a 这样内相交直线 a 和 b 都平行于 A B C D N F E M A1 1 B1 1 D1 1 C1 1 3 证法证法 2 2 设 AB 是 a b 的公垂线段 过 AB 和 b 作平面 则 b 过 AB 和 a 作平面 则 a a a a b b b AB aAB a AB bAB b 于是 AB 且 AB 反馈演练 1 1 对于平面 M 与平面 N 有下列 条件 M N 都垂直于平面 Q M N 都平行于平面 Q M 内不共线的三点到 N 的距离相等 l M 内的两条直线 且l M m N l m 是异面直线 且l M m M l N m N 则可判定平面 M 与平面 N 平行的条件的 个数是 2 个 2 对于平面和共面的直线 下列命题中真命题是 3 m n 1 若则 2 若则 mmn n m n m n 3 若则 4 若 与所成的角相等 则 mn m nmn m n 3 3 设 a b 是两条异面直线 那么下列四个命题中的假命题是 2 1 经过直线 a有且只有一个平面平行于直线 b 2 经过直线 a 有且只有一个平面垂直于直线 b 3 存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相平行的平面 4 存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相垂直的平面 4 关于直线a b l及平面M N 下列命题中正确的是 4 1 若a M b M 则a b 2 若a M b a 则b M 3 若a M b M 且l a l b 则l M 4 若a M a N 则M N 5 任意的 均有 是 任意 均有 的 充要条件 a a b b 6 在正方体 AC1中 过 A1C 且平行于 AB 的截面是 面 A1B1CD 7 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 经过其对角线 BD1的平面分别与棱 AA1 CC1相交于 E F 两点 则四边形 EBFD 的形状为 平行四边形 8 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 点 M 是 BC 的中点 点 P 是平面ABCD 内的一个动点 4 且满足 PM 2 P 到直线A1D1的距离为 则点 P 的轨迹为 双曲线 5 9 已知某个几何体的三视图如下 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体 的体积是 3 8000 cm 3 10 10 已知 为平行四边形 所在平面外一点 为 的中点 求证 平面 证明证明 连 交 于 连 则 为 的中位线 平面 平面 平面 11 如图 已知是平行四边形所在平面外一点 分别是 的中点PABCDMNABPC 1 求证 平面 2 若 求异面直线与 MNPAD4MNBC 4 3PA PA 所成的角的大小MN 略证 略证 1 取 PD 的中点 H 连接 AH DCNHDCNH 2 1 为平行四边形AMNHAMNHAMNH PADAHPADMNAHMN PADMN 2 连接 AC 并取其中点为 O 连接 OM ON 则 OM平行且等于 BC 的一半 ON 平行且等 于 PA 的一半 所以就是异面直线与所成的角 由 ONM PAMN4MNBC 得 OM 2 ON 4 3PA 32 所以 即异面直线与成的角 0 30 ONMPAMN 0 30 12 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB M AC N FB 且AM FN 求证 MN 平面BCE 证法一证法一 作MP BC NQ BE P Q为垂足 则MP AB NQ AB MP NQ 又AM NF AC BF MC NB MCP NBQ 45 Rt MCP Rt NBQ MP NQ 故四边形MPQN为平行四边形 MN PQ PQ平面BCE MN在平面BCE外 Q P M N FE DC B A M N H AB C D P 20 20 正视图 20 侧视图