高考数学复习点拨 用空间向量解决立体几何的空间角问题

用心 爱心 专心1 用空间向量解决立体几何的空间角问题用空间向量解决立体几何的空间角问题 一 异面直线所成的角一 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为分别是的方向向量 注意到异面直线所成角的ab abab 范围是 则有 0 90 coscos a b ab a b 例 1已知正方形和矩形所在平面互相垂直 试在线段ABCDACEF21ABAF AC 上确定一点 使得与所成的角是 PPFCD60 解 如图 1 建立空间直角坐标系 则 Cxyz 2 0 0 221 CDF 设 得 0 02 P ttt 221 PFtt 又和所成的角是 PF CD60 22 2 2 cos60 2 2 12 t tt 解得或 舍去 即点是的中点 2 2 t 3 2 2 t PAC 评议 采用传统的平移法求异面直线所成角的大小 免不了要作辅助线和几何推理 这里 运用向量法 没有了这些手续 显得便当快捷 二 直线和平面所成的角二 直线和平面所成的角 如图 2 点在平面外 为内一点 斜线和平面所成的角为 为的一P M MP n 个法向量 注意到斜线和平面所太角的范围是 则有 0 90 结合向量的夹角公式便可求 2 MP n 例 2 在正三棱柱中 已知在棱上 111 ABCABC 1ABD 1 BB 且 若与平面所成的角为 则 1BD AD 11 AAC C 3 4 10 arcsin 4 6 arcsin 4 解 取中点 连结 则 如图 3 建立空间直角坐ACEBEBEAC 标系 则 则 Bxyz 3 1 0 0 01 22 AD 31 1 22 AD 用心 爱心 专心2 平面平面 ABC 11 AAC CBEAC 平面 BE 11 AAC C 为平面的一个法向量 3 0 0 2 BE 11 AAC C 6 cos 4 AD BE 选 6 sinsin 24 AD BE 评议 利用向量法求空间角 其操作只须按步骤进行 数值计算十分简单 对空间想象力 和几何的逻辑推理能力要求不高 显得简洁明了 三 二面角三 二面角 如图 4 分别在二面角的两个面内且垂直于棱 分别是的一OAO B l mn 个法向量 则可利用向量的夹角公式结合以下角度关系之一求二面角的大小 1 等于二面角的平面角 OAO B 2 与二面角的平面角相等或互补 mn 例 3 如图 5 在三棱锥中 是边长为 4 的正 SABCABC 三角形 平面平面 分别为SAC ABC2 3SASC MN 的中点 求二面角的大小 ABSB NCMB 解 取中点 连结 ACOOSOB SASCABBC 且 ACSO ACBO 又平面平面 SAC ABC 平面 SO ABCSOBO 如图 5 所示 建立空间直角坐标系 Oxyz 则 2 0 0 0 2 3 0 2 0 0 0 0 2 2 ABCS 13 0 032 33 0 MNCM 设为平面的一个法向量 则 102 MN xyz nCMN 用心 爱心 专心3 330 20 CMxy MNxz n n 取 则 1z 26xy 则 261 n 又为平面的一个法向量 0 0 2 2 OS ABC 1 cos 3 n OS OS OS n n 二面角的大小为 NCMB 1 arccos 3 评议 利用向量法求空间