不等式知识点不等式基础知识

不等式的知识要点不等式的知识要点 1 不等式的基本概念 2 不等式的基本性质 1 对称性 abba 2 传递性 cacbba 3 加法单调性 cbcaba 4 同向不等式相加 dbcadcba 5 异向不等式相减 dbcadcba 6 bcaccba 0 7 乘法单调性 bcaccba 0 8 同向不等式相乘 bdacdcba 0 0 异向不等式相除 9 0 0 ab abcd cd 倒数关系 11 10 0ab ab ab 11 平方法则 1 0 nZnbaba nn 且 12 开方法则 0 2 Nna n 3 几个重要不等式 1 非负式 0 0 2 aaRa则若 0 0 aa则若 2 当仅当 a b 时取等号 2 2 2 2222 ababbaabbaRba 或则 若 3 二元均值不等式 如果 a b 都是正数 那么 当仅当 a b 时取等号 2 ab ab 常用为 当仅当 a b 时取等号 当仅当 a b 时取等号 2abab 2 2 ab ab 极值定理 若则 x yRxyS xyP 如果 P 是定值 那么当 x y 时 S 的值最小 1 如果 S 是定值 那么当 x y 时 P 的值最大 2 利用极值定理求最值的必要条件 一正 二定 三相等 不等式链 如果 a b 都是正数 那么 当仅当 a b 时取等号 22 2 11 22 abab ab ab 当仅当 a b c 时取等号 3 3 abc abcRabc 4 三元均值不等式 若 则 当仅当 a b 时取等号 0 2 ba ab ab 5 若则 4 几个著名不等式 1 柯西不等式 时取等号当且仅当 则若 n n nnnn nn b a b a b a b a bbbbaaaababababa RbbbbRaaaa 3 3 2 2 1 1 22 3 2 2 2 1 22 3 2 2 2 1 2 332211 321321 2 琴生不等式 特例 与凸函数 凹函数 若定义在某区间上的函数 f x 对于定义域中任意两点有 1212 x xxx 12121212 2222 xxf xf xxxf xf x ff 或 则称 f x 为凸 或凹 函数 3 绝对值三角不等式 bababaRba 则 若 5 不等式的解法 1 整式不等式的解法 根轴法 步骤 正化 求根 标轴 穿线 偶重根打结 定解 特例 一元一次不等式 ax b 解的讨论 一元二次不等式 ax2 bx c 0 a 0 解的讨论 2 分式不等式的解法 先移项通分标准化 则 0 0 0 0 0 f x g x f xf x f x g x g xg xg x 3 无理不等式 转化为有理不等式求解 1 0 0 f x f xg xg x f xg x 定义域 2 0 0 0 0 2 xg xf xgxf xg xf xgxf或 3 2 0 0 xgxf xg xf xgxf 4 指数不等式 转化为代数不等式 1 01 0 0 lglg f xg xf xg x f x aaaf xg xaaaf xg x ab abf xab 5 对数不等式 转化为代数不等式 0 0 log log 1 0 log log 01 0 aaaa f xf x f xg x ag xf xg xag x f xg xf xg x 6 含一个绝对值不等式 应用零点分段讨论法 分类讨论思想去绝对值 应用分段函数 数形思想 1 2 应用几何意义 化归思想等价转化 公式法 3 0 0 0 0 xgxfxgxf xg xgxfxgxgxf xgxfxg xg xgxf 或 或不同时为 7 含两个或者两个以上绝对值的不等式 应用零点分段讨论法 分类讨论思想去绝对值 应用分段函数