中考复习专题(教师)——一元一次不等式及其应用

重庆书之香教育重庆书之香教育 董文亮董文亮 重庆书之香教育 1 中考数学复习教材回归知识讲解中考数学复习教材回归知识讲解 例题解析例题解析 强化训练强化训练 一元一次不等式及其应用一元一次不等式及其应用 知识讲解知识讲解 1 1 一元一次不等式的概念 一元一次不等式的概念 类似于一元一次方程 含有一个未知数 未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不 等式 2 2 不等式的解和解集 不等式的解和解集 不等式的解 与方程类似 我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的 解 不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式 它的所有的解的集合叫做这个不等式 的解集 它可以用最简单的不等式表示 也可以用数轴来表示 3 3 不等式的性质 不等式的性质 性质 1 不等式两边加上 或减去 同一个数 或式子 不等号的方向不变 即如 a b 那么 a c b c 性质 2 不等式两边乘以 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 即如果 a b c 0 那么 ac bc 或 a c b c 性质 3 不等式两边乘以 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 即如果 a b c 0 那么 ac b c 不等式的其他性质 若 a b 则 bb b c 则 a c 若 a b 且 b a 则 a b 若 a 0 则 a 0 4 4 一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似 但要特别注意不等式的两边都乘 以 或除以 同一个负数时 不等号要改变方向 5 5 一元一次不等式的应用 一元一次不等式的应用 列一元一次不等式解实际应用问题 可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧 不同的是 列不等式解应用题 寻求的是不等关系 因此 根据问题情境 抓住应用问题 中 不等 关系的关键词语 或从题意中体会 感悟出不等关系十分重要 例题解析例题解析 例例 1 1 解不等式 21101 36 xx 5 4 x 5 并把它的解集在数轴上表示出来 分析 一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同 不等式中含有分母 应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母 在去分母时不要漏乘没有分母的 项 再作其他变形 解答 去分母 得 4 2x 1 2 10 x 1 15x 60 去括号 得 8x 4 20 x 2 15x 60 移项合并同类项 得 27x 54 系数化为 1 得 x 2 在数轴上表示解集如图所示 2 o 点评 分数线兼有括号的作用 分母去掉后应将分子添上括号 同时 用分母去 乘不等式各项时 不要漏乘不含分母的项 不等式两边都乘以 或除以 同一个负数时 不等号的方向必须改变 在数轴上表示不等式的解集 当解集是 x时 不包括数 轴上 a 这一点 则这一点用圆圈表示 当解集是 x a 或 x a 时 包括数轴上 a 这一点 则这一点用黑圆点表示 解不等式 组 是中考中易考查的知识点 必须熟练掌握 重庆书之香教育重庆书之香教育 董文亮董文亮 重庆书之香教育 2 例例 2 2 若实数 aN M B M N P C N P M D M P N 分析 本题主要考查代数式大小的比较有两种方法 其一 由于选项是确定的 我 们可以用特值法 取 a 1 内的任意值即可 其二 用作差法和不等式的传递性可得 M N P 的关系 解答 方法一 取 a 2 则 M 2 N 4 3 P 5 3 由此知 M P N 应选 D 方法二 由 a 1 知 a 1 0 又 M P a 21 3 a 1 3 a 0 M P P N 21 3 a 2 3 a 1 3 a 0 P N M P N 应选 D 点评 应用特值法来解题的条件是答案必须确定 如 当 a 1 时 A 与 2a 2 的大小 关系不确定 当 1 a2a 2 当 a 2 时 a 2a 2 当 a 2 时 a0 的解集是 x 2 则不等式 3x n0 x 3 n 3 n 2 即 n 6 代入 3x n 0 得 3x 62 例例 4 4 某公司为了扩大经营 决定购进 6 台机器用于生产某种活塞 现有甲 乙两种机 器供选择 其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示 经过预算 本 次购买机器所耗资金不能超过 34 万元 甲乙 价格 万元 台 7 5 每台日产量 个 10060 1 按该公司要求可以有几种购买方案 2 若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不低于 380 个 那么为了节约资金应选择 哪种购买方案 解析 1 可设购买甲种机器 x 台 然后用 x 表示出购买甲 乙两种机器的实际 费用 根据 本次购买机器所耗资金不能超过 24 万元 列不等式求解 2 分别算出 1 中各方案每天的生产量 根据 日生产能力不低于 380 个 与 节约资金 两个条件选择购买方案 解 1 设购买甲种机器 x 台 则购买乙种机器 6 x 台 则 7x 5 6 x 34 解得 x 2 又 x 0 0 x 2 整数 x 0 1 2 可得三种购买方案 方案一 购买乙种机器 6 台 方案二 购买甲种机器 1 台 乙种机器 5 台 方案三 购买甲种机器 2 台 乙种机器 4 台 2 列表如下 日生产量 个总购买资金 万元 重庆书之香教育重庆书之香教育 董文亮董文亮 重庆书之香教育 3 方案一 360 30 方案二 400 32 方案三 440 34 由于方案一的日生产量小于 380 个 因此不选择方案一 方案三比方案二多耗资 2 万 元 故选择方案二 点评 部分实际问题的解通常为整数 方案的各种情况可以用表格的形式表 达 例例 5 5 某童装加工企业今年五月份 工人每人平均加工童装 150 套 最不熟练的工人加 工的童装套数为平均套数的 60 为了提高工人的劳动积极性 按照完成外商订货任务 企业计划从六月份起进行工资改革 改革后每位工人的工资分两部分 一部分为每人每月 基本工资 200 元 另一部分为每加工 1 套童装奖励若干元 1 为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准 450 元 按五月份工人加工的童装套数计算 工人每加工 1 套童装企业至少应奖励多少元 精 确到分 2 根据经营情况 企业决定每加工 1 套童装奖励 5 元 工人小张争取六月份工资 不少于 1200 元 问小张在六月份应至少加工多少套童装 分析 1 五月份工人加工的最少套数为 150 60 若设平均每套奖励 x 元 则 该工人的新工资为 200 150 60 x 由题意得 200 150 60 x 450 2 六月份的工资由基本工资 200 元和奖励工资两部分组成 若设小张六月份加工 了 y 套 则依题意可得 200 5y 1200 解答 1 设企业每套奖励 x 元 由题意得 200 60 150 x 450 解得 x 2 78 因此 该企业每套至少应奖励 2 78 元 2 设小张在六月份加工 y 套 由题意得 200 5y 1200 解得 y 200 点评 本题重点考查学生从生活实际中理解不等关系的能力 对关键词 不低于 至少 不少于 的理解是解本例的关键 强化训练强化训练 一 填空题一 填空题 1 若不等式 ax1 则 a 的取值范围是 2 不等式 x 3 1 2 x 的负整数解是 3 不等式 5x 9 3 x 1 的解集是 4 不等式 4 x 1 6x 3 的正整数解为 5 已知 3x 4 6 2 x 2 则 x 1 的最小值等于 6 若不等式 a x 1 x 2a 1 的解集为 x0 B ab 0 C a b0 13 如图所示 一次函数 y kx b 的图象经过 A B 两点 则不 等式 kx b 0 的解集是 A x 0 B x 2 C x 3 D 3 x 1 3 ax 的解集是 x5 B a 5 C a 5 D a 5 15 关于 x 的不等式 2x a 1 的解集如图所示 则 a 的取值是 A 0 B 3 C 2 D 1 16 初中九年级一班几名同学 毕业前合影留念 每人交 0 70 元 一张彩色底片 0 68 元 扩印一张照片 0 50 元 每人分一张 将收来的钱尽量用掉的前提下 这张照片上的同 学最少有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 17 四个小朋友玩跷跷板 他们的体重分别为 P Q R S 如图所示 则他们的体重大小 关系是 A P R S Q B Q S P R C S P Q R D S P R Q 18 某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表 三好学生优秀学生干部优秀团员 市级 3 2 3 校级 18 6 12 已知该班共有 28 人获得奖励 其中只获得两项奖励的有 13 人 那么该班获得奖励最 多的一位同学可能获得的奖励为 A 3 项 B 4 项 C 5 项 D 6 项 三 解答题三 解答题 19 解下列不等式 并把解集在数轴上表示出来 1 3421 63 xx 2 x 3 35 4 x 20 王女士看中的商品在甲 乙两商场以相同的价格销售 两商场采用的促销方式不同 在甲商场一次性购物超过 100 元 超过的部分八折优惠 在乙商场一次性购物超过 50 元 超过的部分九折优惠 那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠 重庆书之香教育重庆书之香教育 董文亮董文亮 重庆书之香教育 5 21 甲 乙两家超市以相同的价格出售同样的商品 为了吸引顾客 各自推出不同的优惠 方案 在甲超市累计购买商品超出 300 元之后 超出部分按原价 8 折优惠 在乙超市 累计购买商品超出 200 元之后 超过部分按原价 8 5 折优惠 设顾客预计累计购物 x 元 x 300 1 请用含 x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用 2 试比较顾客到哪家超市购物更优惠 说明你的理由 22 福林制衣厂现有 24 名制作服装工人 每天都制作某种品牌衬衫和裤子 每人每天可 制作衬衫 3 件或裤子 5 条 1 若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等 则应安排制作衬衫和裤子各多少人 2 已知制作一件衬衫可获得利润 30 元 制作一条裤子可获得利润 16 元 若该厂要 求每天获得利润不少于 2100 元 则至少需要安排多少名工人制作衬衫 23 某零件制造车间有工人 20 名 已知每名工人每天可制造甲种零件 6 个或乙种零件 5 个 且每制造一个甲种零件可获利 150 元 每制造一个乙种零件可获利 260 元 在这 20 名工人中 车间每天安排 x 名工人制造甲种零件 其余工人制造乙种零件 1 请写出此车间每天所获利润 y 元 与 x 人 之间的关系式 2 若要使每天所获利润不低于 24000 元 你认为至少要派多少名工人去制造乙种零 件才合适 重庆书之香教育重庆书之香教育 董文亮董文亮 重庆书之香教育 6 24 足球比赛的记分规则为 胜 1 场得 3 分 平 1 场得 1 分 负 1 场得 0 分 一支足球队 在某个赛季中共需比赛 14 场 现已比赛 8 场 负了 1 场 得 17 分 请问 1 前 8 场比赛中 这支球队共胜了多少场 2 这支球队打满了 14 场比赛 最高能得多少分 3 通过对比赛情况的分析 这支球队打满 14 场比赛得分不低于 29 分 就可以达到 预期目标 请你分析一下 在后面的 6 场比赛中这支球队至少要胜几场 才能达到 预期目标 25 宏志高中高一年级近几年招生人数逐年增加 去年达到 550 名 其中面向全省招收的 宏志班 学生 也有一般普通班学生 由于场地 师资等限制 今年招生最多比去 年增加 100 人 其中普通班学生可以招 20 宏志班 学生可多招 10 问今年最 少可招收 宏志班 学生多少名 答案答案 1 a 0 2 5 4 3 2 1 3 x 6 4 1 2 3 5 1 6 a100 就比在乙商场购物优惠 由题意得 100 0 8 x 100 150 答 她在甲商场购物超过 150 元就比在乙商场购物优惠 21 1 在甲超市购物所付的费用是 300 0 8 x 300 0 8x 60 元 在乙超市购物所付的费用是 200 0 85 x 200 0 85x 30 元 2 当 0 8x 60 0 85x 30 时 解得 x 600 当顾客购物 600 元时 到两家超市购物所付费用相同 重庆书之香教育重庆书之香教育 董文亮董文亮 重庆书之香教育 7 当 0 8x 60 0 85x 30 时 解得 x300 300 x 600 即顾客购物超过 300 元且不满 600 元时 到乙超市更优惠 当 0 8x 60600 即当顾客购物超过 600 元时 到甲超市更优 惠 22 1 设应安排 x 名工人制作衬衫 由题意得 3x 5 24 x x 15 24 x 24 15 9 答 应安排 15 名工人制作衬衫 9 名工人制作裤子 2 设应安排 y 名工人制作衬衫 由题意得 3 30y 5 16 24 y 2100 y 18 答 至少应安排 18 名工人制作衬衫 23 1 依题意 得 y 150 6x 260 5 20 x 400 x 26000 0 x 20 2 依题意得 400 x 26000 24000 解得 x 5 20 x 20 5 15 答 至少要派 15 名工人去制作乙种零件才合适 24 1 设这支球队胜 x 场 则平了 8 1 x 场 依题意得 3x 8 1 x 17 解得 x 5 答 前 8 场比赛中这支球队共胜了 5 场 2 最高分即后面的比赛全胜 因此最高得