2014高考数学一轮总复习 3.4 定积分与微积分基本定理教案 理 新人教A版

1 3 43 4 定积分与微积分基本定定积分与微积分基本定理理 典例精析 题型一 求常见函数的定积分 例 1 计算下列定积分的值 1 2 1 x 1 5dx 2 2 0 x sin x dx 解析 1 因为 x 1 6 x 1 5 1 6 所以 2 1 x 1 5dx 6 1 6 1 x 1 2 1 6 2 因为 cos x x sin x x2 2 所以 2 0 x sin x dx cos 2 2 x x 1 2 1 2 8 点拨 1 一般情况下 只要能找到被积函数的原函数 就能求出定积分的值 2 当被积函数是分段函数时 应对每个区间分段积分 再求和 3 对于含有绝对值符号的被积函数 应先去掉绝对值符号后积分 4 当被积函数具有奇偶性时 可用以下结论 若 f x 是偶函数时 则 a a f x dx 2 a 0 f x dx 若 f x 是奇函数时 则 a a f x dx 0 变式训练 1 求 5 5 3x3 4sin x dx 解析 5 5 3x3 4sin x dx 表示直线 x 5 x 5 y 0 和曲线 y 3x3 4sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和 且在 x 轴上方的面积取正号 在 x 轴下 方的面积取负号 又 f x 3 x 3 4sin x 3x3 4sin x f x 所以 f x 3x3 4sin x 在 5 5 上是奇函数 所以 5 0 3x3 4sin x dx 0 5 3x3 4sin x dx 所以 5 5 3x3 4sin x dx 5 0 3x3 4sin x dx 0 5 3x3 4sin x dx 0 题型二 利用定积分计算曲边梯形的面积 例 2 求抛物线 y2 2x 与直线 y 4 x 所围成的平面图形的面积 2 解析 方法一 如图 由 4 2 2 xy xy 得交点 A 2 2 B 8 4 则 S 0 2 dx 2 8 4 x dx 2x2x2x 0 2 2 3 3 24 x 2 8 3 22 2 4 2 32 x x x 18 16 3 38 3 方法二 S 4 2 4 y dy y2 2 4 2 6 1 2 1 4 32 yyy 18 点拨 根据图形的特征 选择不同的积分变量 可使计算简捷 在以 y 为积分变量时 应注意将曲线方程变为 x y 的形式 同时 积分上 下限必须对应 y 的取值 变式训练 2 设 k 是一个正整数 1 k 的展开式中 x3 的系数为 则函数 y x2 与 x k 1 16 y kx 3 的图象所围成的阴影部分 如图 的面积为 解析 Tr 1 C r 令 r 3 得 x3 的系数为 C 解得 k 4 由 34 2 xy xy 得 r k x k3 k 1 k3 1 16 函数 y x2 与 y 4x 3 的图象的交点的横坐标分 别为 1 3 所以阴影部分的面积为 S 1 3 4x 3 x2 dx 2x2 3x 1 3 3 1 3 x 4 3 题型三 定积分在物理中的应用 例 3 1 变速直线运动的物体的速度为 v t 1 t2 初始位置为 x0 1 求它在前 2 秒内所走过的路程及 2 秒末所在的位置 2 一物体按规律 x bt3 作直线运动 式中 x 为时间 t 内通过的距离 媒质的阻力正比于 速度的平方 试求物体由 x 0 运动到 x a 时阻力所做的功 解析 1 当 0 t 1 时 v t 0 当 1 t 2 时 v t 0 所以前 2 秒内所走过的路 程为 s 0 1 v t dt 1 2 v t dt 0 1 1 t2 dt 1 2 t2 1 dt 0 1 3 1 3 tt 1 2 3 1 3 tt 2 2 秒末所在的位置为 3 x1 x0 0 2 v t dt 1 0 2 1 t2 dt 1 3 所以它在前 2 秒内所走过的路程为 2 2 秒末所在的位置为 x1 1 3 2 物体的速度为 v bt3 3bt2 媒质阻力 F 阻 kv2 k 3bt2 2 9kb2t4 其中 k 为比例常数 且 k 0 当 x 0 时 t 0 当 x a 时 t t1 3 1 a b 又 ds vdt 故阻力所做的功为 W 阻 阻 F ds 0 1 t kv2 vdt k 0 1 t v3dt k 0 1 t 3bt2 3dt kb3t k 27 77 1 27 7 3 a7b2 点拨 定积分在物理学中的应用应注意 v t a b a t dt s t a b v t dt 和 W a b F x dx 这三个公式 变式训练 3 定义 F x y 1 x y x y 0 令函数 f x F 1 log2 x2 4x 9 的图象为曲线 C1 曲线 C1 与 y 轴交于点 A 0 m 过坐标原点 O 向曲线 C1 作切线 切点为 B n t n 0 设曲线 C1 在点 A B 之间的曲线段与线段 OA OB 所围成图形的面积为 S 求 S 的值 解析 因为 F x y 1 x y 所以 f x F 1 log2 x2 4x 9 94log 2 2 xx x2 4x 9 故 A 0 9 又过坐标原点 O 向曲线 C1 作切线 切点为 B n t n 0 f x 2x 4 所以 42 94 2 n n t nnt 解得 B 3 6 所以 S 0 3 x2 4x 9 2x dx 3x2 9x 0 3 9 x3 3 总结提高 1 定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数 2 定积分在物理学中的应用必须遵循相应的