2014高考数学一轮总复习 2.8 函数与方程教案 理 新人教A版

1 2 82 8 函数与方程函数与方程 典例精析 题型一 确定函数零点所在的区间 例 1 已知函数 f x x log2x 问方程 f x 0 在区间 4 上有没有实根 为什么 1 4 解析 因为 f log2 2 0 1 4 1 4 1 4 1 4 7 4 f 4 4 log24 4 2 6 0 f f 4 0 又 f x x log2x 在区间 4 是连续 1 4 1 4 的 所以函数 f x 在区间 4 上有零点 即存在 c 4 使 f c 0 1 4 1 4 所以方程 f x 0 在区间 4 上有实根 1 4 点拨 判断函数 f x 的零点是否在区间 a b 内 只需检验两条 函数 f x 在区间 a b 上是连续不断的 f a f b 0 变式训练 1 若 x0 是函数 f x x 2x 8 的一个零点 则 x0 表示不超过 x0 的最大 整数 解析 因为函数 f x x 2x 8 在区间 上是连续不间断的单调递增函数 且 f 2 f 3 0 所以函数 f x 在区间 2 3 上存在唯一的零点 x0 所以 x0 2 题型二 判断函数零点的个数 例 2 判断下列函数的零点个数 1 f x x2 mx m 2 2 f x x 4 log2x 解析 1 由 m2 4 m 2 m 2 2 4 0 得知 f x x2 mx m 2 0 有两 个不同的零点 2 因为函数 f x x 4 log2x 在区间 0 上是连续不间断的单调递增函数 且 f 2 f 3 0 所以函数 f x 在区间 0 上存在唯一的零点 点拨 判断函数的零点个数有以下两种方法 1 方程 f x 0 的根的个数即为函数 f x 的零点个数 2 函数 f x 与 x 轴的交点个数 即为函数 f x 的零点个数 特殊情况下 还可以将方程 f x 0 化为方程 g x h x 然后再看函数 y g x 与 y h x 的交点个数 变式训练 2 问 a 为何值时 函数 f x x3 3x a 有三个零点 二个零点 一个零点 解析 f x 3x2 3 0 得 x1 1 x2 1 此时 f x 有极大值 f 1 2 a 极 小值 f 1 2 a 由图象 图略 得知 当 2 a 2 时 函数 f x 有三个零点 当 a 2 或 a 2 时 函数 f x 有两个零点 当 a 2 或 a 2 时 函数 f x 有一个零点 题型三 利用导数工具研究函数零点问题 2 例 3 设函数 f x x3 2x2 4x 2a 1 求函数 f x 的单调区间 2 关于 x 的方程 f x a2 在 3 2 上有三个相异的零点 求 a 的取值范围 解析 1 f x 3x2 4x 4 由 f x 0 得 x 2 或 x 由 f x 0 得 2 x 2 3 2 3 故 f x 的递增区间为 2 2 3 f x 的递减区间为 2 2 3 2 由 f x a2 x3 2x2 4x a2 2a 0 令 g x x3 2x2 4x a 2 2a 所以 g x 3x2 4x 4 由 1 可知 g x 在 2 和 上递增 在 2 上递减 故 g x 在 2 3 2 3 3 2 和 2 上为增函数 在 2 上为减函数 2 3 2 3 关于 x 的方程 f x a2 在 3 2 上有三个不同的零点 则 解得 2 a 1 或 3 a 4 点拨 1 先求 f x 由 f x 0 求出极值点 再讨论单调性 2 利用 1 及函数 f x 的大致图形 找到满足题设的 a 的条件 变式训练 3 已知函数 f x ax2 2bx c 的两个极值分别为 f x1 和 f x2 若 x3 3 1 2 x1 和 x2 分别在区间 0 1 与 1 2 内 则的取值范围为 b 2 a 1 A 1 B 1 1 4 1 4 C 1 D 2 1 4 1 4 解析 因为 f x x2 ax 2b 由题意可知 0 224 2 021 1 02 0 baf baf bf 画出 a b 满足的可行域 如图中的阴影部分 不包括边界 所示 表示可行域内 b 2 a 1 的点与点 D 1 2 的连线的斜率 记为 k 观察图形可知 kCD k kBD 而 kCD 3 kBD 1 所以 1 故选 C 2 1 1 3 1 4 2 0 1 1 1 4 b 2 a 1 总结提高 函数的零点就是方程的实数根 也就是函数的图象与 x 轴的交点的横坐标 注意零点不是 点 并不是所有的函数都有零点 或者说不是所有的函数图象都与 x 轴有交点 二分法 是求一般函数零点的一种通法 但要注意使用二分法的条件 二分法是