2014高考数学一轮总复习 6.3 等比数列教案 理 新人教A版

1 6 36 3 等比数列等比数列 典例精析 题型一 等比数列的基本运算与判定 例 1 数列 an 的前 n 项和记为 Sn 已知 a1 1 an 1 Sn n 1 2 3 求证 n 2 n 1 数列 是等比数列 2 Sn 1 4an Sn n 解析 1 因为 an 1 Sn 1 Sn an 1 Sn n 2 n 所以 n 2 Sn n Sn 1 Sn 整理得 nSn 1 2 n 1 Sn 所以 2 Sn 1 n 1 Sn n 故 是以 2 为公比的等比数列 Sn n 2 由 1 知 4 n 2 Sn 1 n 1 Sn 1 n 1 4an n 1 于是 Sn 1 4 n 1 4an n 2 Sn 1 n 1 又 a2 3S1 3 故 S2 a1 a2 4 因此对于任意正整数 n 1 都有 Sn 1 4an 点拨 运 用等比数列的基本公式 将已知条件转化为关于等比数列的特征量 a1 q 的 方程是求解等比数列问题的常用方法之一 同时应注意在使用等比数列前 n 项和公式时 应充分讨论公比 q 是否等于 1 应用定义判断数列是否是等比数列是最直接 最有依据 的方法 也是通法 若判断一个数列是等比数列可用 q 常数 恒成立 也可用 a an 1 an an an 2 恒成立 若判定一个数列不是等比数列则只需举出反例即可 也可以用 2n 1 反证法 变式训练 1 等比数列 an 中 a1 317 q 记 f n a1a2 an 则当 f n 最大时 1 2 n 的值为 A 7B 8C 9D 10 解析 an 317 n 1 易知 a9 317 1 a10 0 0 a11 1 又 1 2 1 256 a1a2 a9 0 故 f 9 a1a2 a9 的值最大 此时 n 9 故选 C 题型二 性质运用 例 2 在等比数列 an 中 a1 a6 33 a3a4 32 an an 1 n N 1 求 an 2 若 Tn lg a1 lg a2 lg an 求 Tn 解析 1 由等比数列的性质可知 a1a6 a3a4 32 又 a1 a6 33 a1 a6 解得 a1 32 a6 1 2 所以 即 q5 所以 q a6 a1 1 32 1 32 1 2 所以 an 32 n 1 26 n 1 2 2 由等比数列的性质可知 lg an 是等差数列 因为 lg an lg 26 n 6 n lg 2 lg a1 5lg 2 所以 Tn lg 2 lg a1 lg an n 2 n 11 n 2 点拨 历年高考对性质考查较多 主要是利用 等积性 题目 小而巧 且背景不断更 新 要熟练掌握 变式训练 2 在等差数列 an 中 若 a15 0 则有等式 a1 a2 an a1 a2 a29 n n 29 n N 成立 类比上述性质 相应地在等 比数列 bn 中 若 b19 1 能得到什么等式 解析 由题设可知 如果 am 0 在等差数列中有 a1 a2 an a1 a2 a2m 1 n n 2m 1 n N 成立 我们知道 如果 m n p q 则 am an ap aq 而对于等比数列 bn 则有若 m n p q 则 aman apaq 所以可以得出结论 若 bm 1 则有 b1b2 bn b1b2 b2m 1 n n 2m 1 n N 成立 在本题中则有 b1b2 bn b1b2 b37 n n 37 n N 题型三 综合运用 例 3 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 其中 an 0 a1 为常数 且 a1 Sn an 1 成等 差数列 1 求 an 的通项公式 2 设 bn 1 Sn 问是否存在 a1 使数列 bn 为等比数列 若存在 则求出 a1 的值 若 不存在 说明理由 解析 1 由题意可得 2Sn an 1 a1 所以当 n 2 时 有 11 11 2 2 aaS aaS nn nn 两式相减得 an 1 3an n 2 又 a2 2S1 a1 3a1 an 0 所以 an 是以首项为 a1 公比为 q 3 的等比数列 所以 an a1 3n 1 2 因为 Sn a1 a1 3n 所 以 bn 1 Sn 1 a1 a1 3n a1 1 qn 1 q 1 2 1 2 1 2 1 2 要使 bn 为等比数列 当且仅当 1 a1 0 即 a1 2 此时 bn 3n 1 2 所以 bn 是首项为 3 公比为 q 3 的等比数列 所以 bn 能为等比数列 此时 a1 2 变式训练 3 已知命题 若 an 为等差数列 且 am a an b m n m n N 则 am n 现在已知数列 bn bn 0 n N 为等比数列 且 bn am n m bm a bn b m n m n N 类比上述结论得 bm n 3 解析 n m bn am 总结提高 1 方程思想 即等比数列 an 中 五个量 a1 n q an Sn 一般可 知三求二 通过求 和与通项两公式列方程组求解 2 对于已知数列 an 递推公式 an 与 Sn 的混合关系式 利用公式 an Sn Sn 1 n 2 再引入辅助数列 转化为等比数列问题求解