高考数学好题速递400题（第301—350题有答案和解释）

精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 1 / 25高考数学好题速递 400 题（第 301350 题有答案和解释）好题速递 301已知正数满足，则的最大值为解：解法一：令，得则当且仅当，即时取得等号。解法二：令，则令，则原式当且仅当，即时取得等号好题速递 302设函数，则方程有个实数根解：令，问题化为观察与图像的交点有几个由于是偶函数，故是偶函数，只要考虑时的交点个数n=1 时，的图像是把的图像下移，再把 x 轴下的图像往上翻而得， ，有 1 个零点，精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 2 / 25以零点为界，呈“减增”状态，最后趋于，如图 1，有 2 个交点；n=2 时，的图像是把的图像下移，再把 x 轴下的图像往上翻而得， ，有 2 个零点，以 2 个零点为界，呈“减增减增”状态，最后趋于，如图 2，有个交点；n=n2 时， ，且有个零点以个零点为界，呈“减增减增减增”状态，最后趋于，故的每 1 个零点都对应产生 2 个两函数图像的交点，有个交点，再由对称性知 x0 时，也有个交点，故共有个交点，从而原方程有个实根好题速递 303已知数列满足设为均不等于 2 的且互不相等的常数，若数列为等比数列，则的值为解：因为数列为等比数列，所以， ，且公比为，故为方程的两不等实根，从而好题速递 304已知若关于的方程在上有两个实数解，则的取值范围是.解：可以转化为，记，则在上有两个实数解，可以转化为函数与的图象，结合图像和特殊点可知精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 3 / 25好题速递 305已知向量， ，满足，且与的夹角的正切为，与的夹角的正切为， ，则的值为解：易得评注：这个题要注意向量的夹角是共起点的，所以要特别留意取本身还是补角。好题速递 306如图，矩形 oABc 中，AB=1，oA=2，以 B 为圆心、BA 为半径在矩形内部作弧，点 P 是弧上一动点，PmoA，垂足为m，PNoc， ，垂足为 N，则四边形 omPN 的周长的最小值为解：如图，连 BP，则 BP=1，设cBP=， ，四边形 omPN 的周长当时，好题速递 307设、是关于的方程的两个不相等的实数根，那么过两点、的直线与圆的位置关系是（）精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 4 / 25(A)相离(B)相切(c)相交(D)随 m 的变化而变化解：，直线 AB：，即，即，圆心到 AB 的距离，由韦达定理，,，取 m=0，则 d=0相离，故选 D好题速递 308已知函数的图像关于垂直于轴的直线对称，则的取值集合是解：若，则，其图像呈“剑”形，如图，对称轴为 x=a，则同理，若时，对称轴是，若时，对称轴是，好题速递 309在中，若，则面积的最大值为解：在中延长到，使，所以，则已知变为。解法一：由极化恒等式知，故，所以，当且仅当时取得最大值。解法二：以边所在直线为轴，边的中点为坐标原点建立坐标系，由，则，所以，设。由，所以，则，所以，所以。解法三：，精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 5 / 25因为，故所以好题速递 310定义：x，y为实数 x，y 中较小的数已知，其中 a，b均为正实数，则 h 的最大值是解：因为 a，b 均为正实数，当，即时， ，即所以当时，综上，h 的最大值是好题速递 311已知共有项的数列， ，定义向量、 ，若，则满足条件的数列的个数有（）个A.2B.c.D.解：，,为等比数列，时， ，故当时， ，即始终有两种选择，有个好题速递 312精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 6 / 25若方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆，则的最小值为解：方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时，有，即，化简得，又， ，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，令，平移直线，当过时，好题速递 313已知四数 a1，a2，a3，a4 依次成等比数列，且公比 q 不为1将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数 q 的取值集合是解：因为公比 q 不为 1，所以不能删去 a1，a4设的公差为 d，则若删去 a2，则由 2a3a1a4 得 2a1q2a1a1q3，即，整理得 q2(q1)(q1)(q1)又 q1，则可得，又 q0 解得；若删去 a3，则由 2a2a1a4 得 2a1qa1a1q3，即2q1q3，整理得 q(q1)(q1)q1又 q1，则可得 q(q1)1，又 q0 解得综上所述， 精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 7 / 25好题速递 314如图，梯形 ABcD 中，AB/cD，AB6，ADDc2，若，则 解：转基底，以为基底，则，则所以，则BAD60o，则点评：本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择好题速递 315数列是等差数列，数列满足，设为的前 n 项和若，则当取得最大值时 n 的值等于_解：设的公差为 d，由得，所以，从而可知 1n16 时， ，n17 时， 从而b1b2b140b17b18，b15a15a16a170，b16a16a17a180，故 S14S13S1，S14S15，S15S16因为， ，所以，所以 b15b16a16a17(a15a18)0，所以 S16S14，精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 8 / 25故 Sn 中 S16 最大点评：利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略此题借助了求等差数列前项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想好题速递 316在正方体 ABcDA1B1c1D1 中，E，F 分别为棱 AA1，cc1 的中点，则在空间中与三条直线 A1D1，EF，cD 都相交的直线条数为_条解：在 EF 上任意取一点 m，直线 A1D1 与 m 确定一个平面，这个平面与 cD 有且仅有 1 个交点 N，当 m 取不同的位置就确定不同的平面，从而与 cD 有不同的交点 N，而直线 mN 与直线 A1D1，EF，cD 均相交，故满足题意的直线有无数条好题速递 317已知， ，成等差数列，则；中，正确的是 （填入序号）解：2(ac)2=(bc)2+(ab)2=|bc|2+|ab|22|bc|ac|b2，、错，而，对精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 9 / 25好题速递 318已知函数在定义域上是单调函数,若对任意，都有,则不等式的解集为.解：因函数在定义域上是单调函数，故，即，从而有，又，所以从而，由.好题速递 319已知的内角的对边成等比数列，则的取值范围为。解：由且，得，得，得又，即，得，又，即。点评：本题是三角形里隐含的三边关系的应用，有时会成为高考大题第 2 小问中隐含的定义域要求，这个是值得注意的点。好题速递 320已知函数，则解：由对称性可知同理故精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 10 / 25点评：本题显然是倒序求和、首位求和的变式题，不过在处理过程中的拆角技巧还是比较难的。各省份的高考题中常有这类求具体角的三角函数值的问题，这类问题要多观察所给角与要求角之间的关系，特别关注这些特殊角。好题速递 321各项均为正偶数的数列 a1，a2，a3，a4 中，前三项依次成公差为 d（d0）的等差数列，后三项依次成公比为 q 的等比数列.若，则 q 的所有可能的值构成的集合为.解：设， ， ， ，其中，均为正偶数，则，整理得，(注意体会这里用“”而不用“”的好处)所以，即，所以的所有可能值为 24，26，28，当时， ， ；当时， （舍去） ；当时， ， ，所以 q 的所有可能值构成的集合为.好题速递 322曲线 c：与轴的交点关于原点的对称点称为“望点” ，以“望点”为圆心，凡是与曲线 c 有公共点的圆，皆称之为“望圆” ，则“望圆”面积的最小值为解：，令，得，所以望点为，精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 11 / 25设望圆的方程为，由得当，即时， ，所以圆的面积为好题速递 323已知数列满足，且，它的前项和为则解：，解得两式相减得，故，故数列为周期为 3 的数列好题速递 324定义在上的函数，当时， ，且对任意的满足（常数） ，则函数在区间上的最小值是（）解：， ，当时有最小值为好题速递 325已知，向量满足， ， ，则的最大值为。解法一：设，则由已知条件易知和共以为直径的外接圆。由是同一个点出发的两个向量作点积，且终点连线确定，显然用极化恒等式是一个不错的选择。故精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 12 / 25问题转化为求的最大值，如图所以解法二：如解法一画图，设，则在中由余弦定理得所以，所以解法三：如图建系， ， ，则， ，得则而横坐标，所以好题速递 326在ABc 中，已知 Bc=4，Ac=3，(AB)=，则ABc的面积为解：在角 A 中作出 AB，即在 Bc 上取一点 D，使 DB=DA，设 DB=x，则 Dc=4x在AcD 中，B)=，得 x=2则 DA=Dc=DB， ABc 的面积为好题速递 327若的外接圆是半径为 1 的圆，且，则的取值范围是。解法一：是同一个点出发的两个向量作点积，且终点连线确定，显精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 13 / 25然用极化恒等式是一个不错的选择。（其中为中点）点在圆上运动，故，即故又不与重合，所以，所以解法二：如图建系设点。 ， ，因为，所以解法三：基底角度，一问三不知转基底由于不与重合，所以好题速递 328如图，点是以为圆心，1 为半径的圆上任意三点，则的最小值是。解法一：固定点，极化角度设，则解法二：固定点，投影角度设，则所以故好题速递 329精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 14 / 25已知函数，若， ，则的取值范围是。解：关于对称，由得，即因为，所以，解得（这里是求定义域，函数没有定义域就没有意义，千万记得定义域优先）好题速递 330已知，若且，则的取值范围是_。解：，即解法一：不等式角度解题由基本不等式得，解得这个解法对不对呢？看似正确，其实这里的最大值 6 取不到，因为解法中并没有用到的限制条件这里介绍一种方法，可以来处理有限制条件的问题（类似于极化恒等式的变形）因为即，得因为，故，故即解得【点评】这里要注意以前我们所学的“两个字母一个方程”的问题或者“基本不等式”的问题，在没有其余限制条件精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 15 / 25时不等式和法都适用，但多了限制条件就不确定是在区域边界还是内部取得最值，故需要验证或者另寻他法了。解法二：规划角度解题，即表示圆所以点所满足的条件为画出可行域即个圆弧，目标函数为故当时， ；当时，但最大最小值都无限接近，取不到，所以解法三：图像角度解题很多同学是画出图像，观察发现因为部分的图像比部分的图像变化快，故当的直线向上平移时，虽然向左变小，向右变大，但显然变得多，故变大，即的中点向右上方运动因此当，即时，当，即时，但最大最小值都无限接近，取不到，所以好题速递 331设，是夹角为的两个单位向量，若，是以为直角顶点的直角三角形，则。解法一：， ，因为，精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 16 / 25即解法二：反向延长到，使因为，故由中线等于斜边的一半可得是直角三角形，即，因为，所以三点共线，故好题速递 332已知，则的最大值是_。解法一：令， ，则，目标函数为画出点所在的可行域如图为抛物线一部分上的点，如图，目标函数与相切时当且仅当，即时取得解法二：令， ，则，所以解法三：三角换元， ，则，令，故解法四：令， ，则则，点评：本方法用的是不等式中的“极化恒等式”思想，即，这在 12 月 18 日每日一题的第一种解法中也有体现。精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 17 / 25好题速递 333已知函数是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x0，都有，则=解：必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为，与单调函数矛盾所以可设则将 c 代入，得，即是单调增函数，当时，成立，则好题速递 334设直角的三个顶点都在单位圆上，点，则的最大值是解：设是以为直角顶点的直角三角形，则所以所以（这里可以理解为三角形两边之和大于第三边，也可以理解为圆外一点（）到圆上一点距离，同时连最小值也可以求出）当且仅当三点共线且点在第三象限时，好题速递 335函数， ，当时， ，且的最大值为 2，则解：因为的最大值为 2，所以由由精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 18 / 25所以故题目变为对恒成立。此时注意到，是一个零点由于对， ，故是个偶重零点，故也是的根，所以，点评：这又是一个二次函数的好题，解法中用到的零点奇穿偶回法很值得回味。“零点是个守门员，负责正负分界线，奇次零点穿过去，偶次零点弹回来”好题速递 336已知对任意恒成立，则解：用两边夹逼的方法，令，解得故，即所以对任意恒成立，所以故点评：这又是夹逼形式的好题，解法中让不等号两边同时取到，求出临界点的方法要注意。好题速递 337已知非零向量与向量的夹角为钝角， ，当时，取最小值，则精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 19 / 25解法一：由当时，取最小值，可知本题是“神图”的应用，如图所示，设，则即故解法二：当且仅当时，所以且，得故好题速递 338已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是解：故好题速递 339已知函数， ，若存在实数使得，且，则实数的取值范围是解：因为是增函数，且，故，所以原条件等价于在区间上有解，即在上有解因为的值域为，所以实数的取值范围是精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 20 / 25好题速递 340在中， ， ，若椭圆以为长轴，且过点，则椭圆的离心率是解：如图，作于，则，设，则，所以，所以设椭圆的方程为，将与代入可得，故好题速递 341实数满足，则的最大值为解：因为，所以相加得即当且仅当同时满足，即或时上式取等号。点评：本题是三元均值不等式的问题，难点在于每个均值不等式的系数配凑。这里其实是用待定系数法来确定系数。，故因此，解得精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 21 / 25好题速递 342已知数列的前项和为，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是解：，因为，故， （即奇数项为负，偶数项为正）又因为，所以这个数列是震荡数列，奇数项恒负且递增，偶数项恒正且递减所以条件转化为存在正整数，使得只要，即好题速递 343已知为实数，且，则的最小值为解法一：令，则，且所以解法二：齐次化转函数求值域精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 22 / 25令，好题速递 344 题已知是单位圆的内接三角形，是圆的直径，若满足，则解：如图，因为是圆的直径，所以同理（其实就是投影，点积转投影记得吗？）所以所以，则是直径，所以好题速递 345 题已知正四面体的棱长为，是棱上任意一点（不与重合） ，且点到面和面的距离分别为，则的最小值为解：棱长为的正四面体，体高所以如图作面，则在中，得同理所以所以所以精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家