【三维设计】高中数学 第四章 阶段质量检测 北师大版选修1-1

1 三维设计三维设计 高中数学高中数学 第四章第四章 阶段质量检测阶段质量检测 北师大版选修北师大版选修 1 11 1 时间 90 分钟 满分 120 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知函数y x 1 2 x 1 则x 1 是函数的 A 极大值点 B 极小值点 C 最小值点 D 最大值点 解析 y x3 x2 x 1 y 3x2 2x 1 3x 1 x 1 当x0 当 1 x 时 y 0 1 x 4x2 1 x 令f x 0 得x 1 2 f x 的单调递增区间为 1 2 答案 C 3 要做一个圆锥漏斗 其母线长为 20 cm 要使其体积最大 则其高应为 A cm B 100 cm 20 3 3 C 20 cm D cm 20 3 解析 设圆锥的高为h 底面圆的半径为R 则R2 h2 l2 其中h为圆锥的高 l为母线长 V R2h l2 h2 h V 400 3h2 1 3 1 3 1 3 2 令V 0 h 20 3 3 当 0 h0 当h 时V 0 20 3 3 20 3 3 h 是极大值点 也是最大值点 20 3 3 答案 A 4 在曲线y x3 x 2 的切线中 与直线 4x y 1 平行的切线方程是 A 4x y 0 B 4x y 4 0 C 2x y 2 0 D 4x y 0 或 4x y 4 0 解析 y 3x2 1 又y 4x 1 的斜率k 4 则 3x2 1 4 x 1 或x 1 过点 A 1 0 和B 1 4 各有一条切线 经检验 A B均不在 4x y 1 上 故有两条 答案 D 5 一点沿直线运动 如果经过t s 后与起点的距离为s t4 t3 2t2 那么速度为 1 4 5 3 零的时刻是 A 1 s 末 B 0 s C 4 s 末 D 0 1 4 s 末 解析 s 2t2 t3 5t2 4t 0 1 4t4 5 3t3 t 0 1 4 答案 D 6 函数y 2x3 3x2 12x 5 在 0 3 上的最大值与最小值分别是 A 5 15 B 5 4 C 4 15 D 5 16 解析 y 6x2 6x 12 令y 0 得x 1 2 又f 2 15 f 0 5 f 3 4 最大值 最小值分别是 5 15 答案 A 7 函数f x x3 ax2 3x 9 已知f x 在x 3 处取得极值 则a等于 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 f x 3x2 2ax 3 3 又f x 在x 3 处取得极值 f 3 30 6a 0 得a 5 答案 D 8 把长为 12 cm 的细铁丝锯成两段 各自围成一个正三角形 那么这两个正三角形 的面积之和的最小值是 A cm2 B 4 cm2 3 3 2 C 3 cm2 D 2 cm2 23 解析 设一个三角形的边长为x cm 则另一个三角形的边长为 4 x cm 两个三角 形的面积和为S x2 4 x 2 x2 2x 4 0 x 4 3 4 3 4 3 233 令S x 2 0 33 则x 2 且x 2 时 S 0 2 x0 所以x 2 时 S取最小值 2 3 答案 D 9 2011 浙江高考 设函数f x ax2 bx c a b c R 若x 1 为函数f x ex的一个极值点 则下列图像不可能为y f x 的图像的是 解析 f x ex f x ex f x ex f x f x ex 又x 1 为函数 f x ex的一个极值点 f 1 f 1 0 而选项D中f 1 0 f 1 0 故 D 中图像不可能为 y f x 的图像 答案 D 10 某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品 若该商品零售价定为p元 销售量 为Q 则销售量Q 单位 件 与零售价p 单位 元 有如下关系 Q 8 300 170p p2 则 最大毛利润为 毛利润 销售收入 进货支出 A 30 元 B 60 元 C 28 000 元 D 23 000 元 解析 设毛利润为L p 由题意知L p pQ 20Q Q p 20 8 300 170p p2 p 20 4 p3 150p2 11 700p 166 000 所以L p 3p2 300p 11 700 令L p 0 解得p 30 或p 130 舍去 此时 L 30 23 000 因为在p 30 附近的左侧L p 0 右侧L p 0 的单调减区间是 0 4 则k的值是 解析 f x 3kx2 6 k 1 x 由题意 0 4 为f x 3kx2 6 k 1 x 0 的两个 根 k 1 3 答案 1 3 12 已知函数f x x3 ax2 x 1 有极大值和极小值 则a的取值范围是 2 3 a 解析 令f x 3x2 2ax 0 此方程应有两个不相等的实数根 所以 2 3 a 0 即 4a2 12 0 2 3 a a2 3a 2 0 a 2 或a0 36 x2 216 x 5 则S 8x 令S 0 则x 3 216 x2 8 x3 27 x2 当x 3 时 S 0 当x 3 时 S 0 所以不存在实数a 使得f x 是 上的单调函数 16 本小题满分 12 分 已知f x ax3 bx2 2x c在x 2 时有极大值 6 在 x 1 时有极小值 求a b c的值 并求f x 在区间 3 3 上的最大值和最小值 解 1 f x 3ax2 2bx 2 由条件知 Error 解得a b c 1 3 1 2 8 3 2 f x x3 x2 2x 1 3 1 2 8 3 6 f x x2 x 2 x 1 x 2 列表如下 x 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 f x 0 0 f x 26 6 6 3 2 61 6 由上表知 在区间 3 3 上 当x 3 时 f x 取最大值 x 1 时 f x 取最小值 61 6 17 本小题满分 12 分 已知f x x 0 在 0 1 上是减少的 在 3 2 x2 ax b x 1 上为增加的 且f x 的最小值为 3 求a b的值 解 f x 在 0 1 上是减少的 在 1 上是增加的 f x 在x 1 处取极小值 也是最小值 f 1 0 f 1 3 而f x x a 1 b x b x2 f 1 1 b 0 b 1 又f 1 1 b a 3 a 1 故a 1 b 1 18 本小题满分 14 分 已知某厂生产x件产品的成本为G 25 000 200 x x2 元 1 40 请问 1 要使平均成本最低 应生产多少件产品 2 若产品以每件 500 元售出 要使利润最大 应生产多少件产品 解 1 设平均成本为y元 则 y 200 x 25 000 200 x 1 40 x2 x 25 000 x 1 40 y 25 000 1 x2 1 40 令y 0 得x 1 000 x 1 000 舍去 又当 0 x 1 000 时 y 1 000 时 y 0 当x 1 000 时 函数取得最小值 因此要使得平均成本最低 应生产 1 000 件产