九年级数学上册知识点归纳(北师大版)

北师大版北师大版 1 九年级数学上册知识点归纳 北师大版 九年级数学上册知识点归纳 北师大版 第一章 特殊平行四边形 第二章 一元二次方程 第三章 概率的进一步认识 第四章 图形的相似 第五章 投影与视图 第六章 反比例函数 八下前情回顾 平行四边的定义 两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形不相邻 的两顶点连成的线段叫做它的对角线 平行四边形的性质 平行四边形的对边相等 对角相等 对角线互相平分 平行四边形的判别方法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行线之间的距离 若两条直线互相平行 则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等 这 个距离称为平行线之间的距离 北师大版北师大版 2 第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 菱形的定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的性质 具有平行四边形的性质 且四条边都相等 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一 组对角 菱形是轴对称图形 每条对角线所在的直线都是对称轴 菱形的判别方法 一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 2 矩形的性质与判定 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫矩形 矩形是特殊的平行四边形 矩形的性质 具有平行四边形的性质 且对角线相等 四个角都是直角 矩形是轴对称图形 有两条 对称轴 矩形的判定 有一个内角是直角的平行四边形叫矩形 根据定义 对角线相等的平行四边形是矩形 四个角都相等的四边形是矩形 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3 正方形的性质与判定 正方形的定义 一组邻边相等的矩形叫做正方形 正方形的性质 正方形具有平行四边形 矩形 菱形的一切性质 正方形是轴对称图形 有两条对称 轴 正方形常用的判定 有一个内角是直角的菱形是正方形 邻边相等的矩形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 正方形 矩形 菱形和平行边形四者之间的关系 如图 3 所示 梯形定义 一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形 一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形 北师大版北师大版 3 等腰梯形的性质 等腰梯形同一底上的两个内角相等 对角线相等 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半 夹在两条平行线间的平行线段相等 在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 平行四边形 菱形 矩形 正方形 一组邻边相等 一组邻边相等且一个内角为直角 或对角线互相垂直平分 一内角为直角 一邻边相等 或对角线垂直 一个内角为直角 或对角线相等 图 3 北师大版北师大版 4 第二章第二章 一元二次方程一元二次方程 1 认识一元二次方程 只含有一个未知数的整式方程 且都可以化为 a b c 为0 2 cbxax 常数 a 0 的形式 这样的方程叫一元二次方程 把 a b c 为常数 a 0 称为一元二次方程的一般形式 a 为二次项系数 b 为0 2 cbxax 一次项系数 c 为常数项 2 用配方法求解一元二次方程 配方法 0 2 mx 配方法解一元二次方程的基本步骤 把方程化成一元二次方程的一般形式 将二次项系数化成 1 把常数项移到方程的右边 两边加上一次项系数的一半的平方 把方程转化成的形式 0 2 mx 两边开方求其根 3 用公式法求解一元二次方程 公式法 注意在找 abc 时须先把方程化为一般形式 a acbb x 2 4 2 4 用因式分解法求解一元二次方程 分解因式法 把方程的一边变成 0 另一边变成两个一次因式的乘积来求解 主要包括 提公因式 和 十字相乘 5 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系 当 b2 4ac 0 时 方程有两个不等的实数根 当 b2 4ac 0 时 方程有两个相等的实数根 当 b2 4ac 0 时 方程无实数根 如果一元二次方程的两根分别为 x1 x2 则有 0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 一元二次方程的根与系数的关系的作用 1 已知方程的一根 求另一根 2 不解方程 求二次方程的根 x1 x2的对称式的值 特别注意以下公式 北师大版北师大版 5 21 2 21 2 2 2 1 2 xxxxxx 21 21 21 11 xx xx xx 21 2 21 2 21 4 xxxxxx 21 2 2121 4 xxxxxx 22 2121 2 21 2 21 xxxxxxxx 其他能用或表达的代数式 3 2121 3 21 3 2 3 1 xxxxxxxx 21 xx 21x x 3 已知方程的两根 x1 x2 可以构造一元二次方程 0 212 2 1 xxxxxx 4 已知两数 x1 x2的和与积 求此两数的问题 可以转化为求一元二次方程 的根0 212 2 1 xxxxxx 6 应用一元二次方程 在利用方程来解应用题时 主要分为两个步骤 设未知数 在设未知数时 大多数情况只要设问题 为 x 但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑 寻找等量关系 一般地 题目中会 含有一表述等量关系的句子 只须找到此句话即可根据其列出方程 处理问题的过程可以进一步概括为 解答 检验 求解 方程 抽象 分析 问题 北师大版北师大版 6 第三章第三章 概率的进一步认识概率的进一步认识 用树状图或表格求概率 相关知识点链接 频数与频率 频数 在数据统计中 每个对象出现的次数叫做频数 频率 每个对象出现的次数与总次数的比值为频率 概率的意义和大小 概率就是表示每件事情发生的可能性大小 即一个时间发生的可能性大小的数值 必然事件发生的概率为 1 不可能事件发生的概率为 0 不确定事件发生的概率在 0 与 1 之间 知识点 1 频率与概率的含义 在试验中 每个对象出现的频繁程度不同 我们称每个对象出现的次数为频数 而每个对象出现的次数 与总次数的比值为频率 即 频数 频率 总次数 把刻画事件 A 发生的可能性大小的数值 称为事件 A 发生的概率 知识点 2 通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率 在进行试验的时候 当试验的次数很大时 某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近 我们可以通过多次试验 用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率 知识点 3 利用画树状图或列表法求概率 重难点 第四章第四章 图形的相似图形的相似 北师大版北师大版 7 1 成比例线段 一 线段的比 1 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB CD 的长度分别是 m n 那么就说这两条线段的比 AB CD m n 或写成 n m B A 2 四条线段 a b c d 中 如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 即 那么这四条线段 a b c d d c b a 叫做成比例线段 简称比例线段 3 注意点 a b k 说明 a 是 b 的 k 倍 由于线段a b 的长度都是正数 所以 k 是正数 比与所选线段的长度单位无关 求出时两条线段的长度单位要一致 除了 a b 之外 a b b a 与互为倒数 b a a b 比例的基本性质 若 则 ad bc 若 ad bc 则 d c b a d c b a 2 平行线分线段成比例 1 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 如图 2 l1 l2 l3 则 EF BC DE AB 二 黄金分割 1 如图 1 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC 如果 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 点 C AC BC AB AC 叫做线段 AB 的黄金分割点 AC 与 AB 的比叫做黄金比 1 618 0 2 15 ABAC 2 黄金分割点是最优美 最令人赏心悦目的点 3 相似多边形 1 一般地 形状相同的图形称为相似图形 2 对应角相等 对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应边的比叫做相似比 1 在相似多边形中 最为简单的就是相似三角形 2 对应角相等 对应边成比例的三角形叫做相似三角形 相似三角形对应边的比叫做相似比 3 全等三角形是相似三角的特例 这时相似比等于 1 注意 证两个相似三角形 与证两个全等三角形一 样 应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 图 1 B C A 图 2 F E D C B A l 3 l 2 l 1 北师大版北师大版 8 4 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 5 相似三角形周长的比等于相似比 6 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似多边形的周长等于相似比 面积比等于相似比的平方 4 探索三角形相似的条件 1 相似三角形的判定方法 一般三角形直角三角形 基本定理 平行于三角形的一边且和其他两边 或两边的延长线 相交的直线 所 截得的三角形与原三角形相似 两角对应相等 两边对应成比例 且夹角相等 三边对应成比例 一个锐角对应相等 两条边对应成比例 a 两直角边对应成比例 b 斜边和一直角边对应成比例 2 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 如图 2 l1 l2 l3 则 EF BC DE AB 3 平行于三角形一边的直线与其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 5 相似三角形的判定定理的证明 6 利用相似三角形测高 7 相似三角形的性质 8 图形的位似 北师大版北师大版 9 第五章第五章 投影与视图投影与视图 A 三视图 主视图 从正面看到的图 左视图 从左面看到的图 俯视图 从上面看到的图 画物体的三视图时 要符合如下原则 大小 长对正 高平齐 宽相等 虚实 在画图时 看的见部分的轮廓通常画成实线 看不见部分的轮廓线通常画成虚线 B 投影 物体在光线的照射下 会在地面或墙壁上留下它的影子 这就是投影现象 太阳光线可以看成平行光线 像这样的光线所形成的投影称为平行投影 在同一时刻 物体高度与影子长度成比例 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线 垂直于投影面的平行光线 下的平行投影 探照灯 手电筒 路灯 和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线 像这样的光线所形成的投影称 为中心投影 皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子 它们是中心投影 C 视点 视线 盲区的定义以及在生活中的应用 眼睛所在的位置称为视点 由视点发出的光线称为视线 眼睛看不到的地方称为盲区 北师大版北师大版 10 第六章第六章 反比例函数反比例函数 知识点知识点 1 1 反比例函数的定义反比例函数的定义 一般地 形如 k 为常数 的函数称为反比例函数 它可以从以下几个方面来理解 x k y 0k x 是自变量 y 是 x 的反比例函数 自变量 x 的取值范围是的一切实数 函数值的取值范围是 0 x 0y 比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分 0k 反比例函数有三种表达式 x k y 0k 1 kxy 0k 定值 kyx 0k 函数 与 是等价的 所以当 y 是 x 的反比例函数时 x 也是 y 的 x k y 0k y k x 0k 反比例函数 k 为常数 是反比例函数的一部分 当 k 0 时 就不是反比例函数了 由于反比0k x k y 例函数 中 只有一个待定系数 因此 只要一组对应值 就可以求出 k 的值 从而确定 x k y 0k 反比例函数的表达式 知识点知识点 2 2 用待定系数法求反比例函数的解析式用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数 中 只有一个待定系数 因此 只要一组对应值 就可以求出 k 的 x k y 0k 值 从而确定反比例函数的表达式 知识点知识点 3 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线 它有两个分支 这两个分支分别位于第一 第三象限或第二 第四象 限 它们与原点对称 由于反比例函数中自变量函数中自变量 函数值 所以它的图像与 x0 x 0y 轴 y 轴都没有交点 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴 但永远达不到坐标轴 反比例的画法分三个步骤 列表 描点 连线 再作反比例函数的图像时应注意以下几点 列表时选取的数值宜对称选取 列表时选取的数值越多 画的图像越精确 连线时 必须根据自变量大小从左至右 或从右至左 用光滑的曲线连接 切忌画成折线 北师大版北师大版 11 画图像时 它的两个分支应全部画出 但切忌将图像与坐标轴相交 知识点知识点 4 4 反比例函数的性质反比例函数的性质 关于反比例函数的性质 主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况 如下表 反比例函数 x k y 0k 的k 符号 0k 0k 图像 性质 的取值范围是 y 的取x0 x 值范围是0y 当时 函数图像的两个分0k 支分别在第一 第三象限 在每个 象限内 y 随 x 的增大而减小 的取值范围是 y 的x0 x 取值范围是0y 当时 函数图像的两个0k 分支分别在第二 第四象限 在 每个象限内 y 随 x 的增大而增 大 注意 描述函数值的增减情况时 必须指出 在每个象限内 否则 笼统地说 当时 y 随 x0k 的增大而减小 就会与事实不符的矛盾 反比例函数图像的位置和函数的增减性 是有反比例函数系数 k 的符号决定的 反