【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）8.1 正弦定理第1课时 湘教版必修4

1 8 18 1 正弦定理正弦定理 第第 1 1 课时课时 正弦定理正弦定理 学习目标重点难点 1 能记住三角形的面积公式 2 能记住正弦定理 并且会推导正弦 定理 3 会利用正弦定理的各种变形解决简 单的问题 4 能够利用正弦定理解三角形 重点 利用正弦定理解三角形 难点 已知三角形的两边及其中一边的 对角解三角形 疑点 正弦定理的各种变形 1 解三角形 三条边和三个内角是三角形最基本的六个元素 由这六个元素中的 元素 其中 至少有一条边 去定量求出三角形的其余的边和角的过程叫做 2 三角形的面积 三角形的面积等于任意两边与它们的夹角的 之积的一半 即 3 正弦定理 在三角形中 各边与它所对角的 的比值相等 这个结论叫做三角形的正弦定理 即 预习交流预习交流 1 正弦定理的变形主要有哪些 预习交流预习交流 2 在 ABC中 若a b 能否推出 sin A sin B 4 正弦定理的简单应用 预习交流预习交流 3 运用正弦定理可以解决哪些解三角形问题 预习交流预习交流 4 已知三角形的两边及其中一边的对角 解三角形时 怎样讨论解的个数 5 扩充的正弦定理 在 ABC中 其中 2R是 ABC外接圆的直径 在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注 请在下列表格 中做个备忘吧 我的学困点我的学疑点 答案 答案 1 三个 解三角形 2 正弦值 S absin C bcsin A acsin B 1 2 1 2 1 2 2 3 正弦 a sin A b sin B c sin C 预习交流预习交流 1 提示 提示 正弦定理的主要变形有 1 a b c sin A sin B sin C 2 a 2Rsin A b 2Rsin B c 2Rsin C 3 sin A sin B sin C a 2R b 2R c 2R 预习交流预习交流 2 提示 提示 能 因为由a b结合正弦定理得 2Rsin A 2Rsin B 于是 sin A sin B 预习交流预习交流 3 提示提示 运用正弦定理可以解决以下两类问题 1 已知三角形的两角和一边 求其余的角和边 2 已知三角形的两边及其中一边的对角 求其余的角和边 预习交流预习交流 4 提示 提示 由于已知两边和其中一边的对角 不能唯一确定三角形的形状 因 此解这类三角形问题将出现两个解 一个解 无解三种情况 已知a b和角A 解三角形的 各种情况总结如下 1 A为锐角时 情况如图所示 2 A为直角或钝角时 情况如图所示 5 2R a sin A b sin B c sin C 一 对正弦定理的理解及简单应用 在 ABC中 若 sin A sin B sin C 4 5 6 且三角形周长等于 45 求三角形的各 边的长度 思路分析 由三内角的正弦之比 得出三边的长度之比 再由周长求出各边的长度 3 1 在 ABC中 sin A sin C sin B 填 2 在 ABC中 若a 3 b 5 c 6 则 sin A sin C sin B 利用正弦定理及其变形 可实现由角到边和由边到角的转化 利用 a 2Rsin A b 2Rsin B c 2Rsin C可以将边转化为角 利用 sin A sin a 2R B sin C 可以将角转化为边 b 2R c 2R 二 已知两角及一边解三角形 在 ABC中 A 45 C 30 c 10 解此三角形 思路分析 先由A B C 180 求出B的大小 再根据正弦定理 a sin A b sin B 求出a b c sin C 2012 广东高考 文 6 在 ABC中 若 A 60 B 45 BC 3 则AC 2 A 4 B 2 C D 3 3 3 3 2 1 已知三角形的两角和一边时 可先由三角形内角和定理求出第三个角 的大小 再根据正弦定理或其变形 求出其余的边 2 求非特殊角 75 105 等角的三角函数值时 可将非特殊角拆分为特殊角的和或差 然后利用两角和与差的三角函数公式计算其函数值 三 已知两边及一边的对角解三角形 已知在 ABC中 A 45 AB BC 2 解此三角形 6 思路分析 由于BC边及其对角A已知 由正弦定理先求出AB的对角C的正弦值 然后 根据角C的正弦值 通过讨论求出角C 再求出角B和边AC的长度 1 在 ABC中 A 60 a b 则B等于 32 A 45 或 135 B 60 C 45 D 135 2 在 ABC中 已知a 2 b 6 A 30 解三角形 3 1 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时 首先由正弦定理求 出另一边所对角的正弦值 然后要对这个角的取值情况进行讨论 2 如果已知的角为大边所对的角 由三角形中大边对大角 大角对大边可知另一边所 对的角一定为锐角 由正弦值可以求出该锐角唯一 3 如果已知的角为小边所对的角 则不能判断另一边所对的角为锐角 这时可先由正 弦值求出两个角 再进行讨论 最后判断解的个数 1 在 ABC中 sin A sin B 则 ABC是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 2 在 ABC中 与式子的值相等的是 sin A a A B C D b c sin B sin A sin C c b sin B 3 在 ABC中 角A B C的对边分别是a b c 若A B C 1 2 3 则a b c 等于 4 A 1 2 3 B 2 3 4 C 3 4 5 D 1 2 3 4 2012 福建高考 文 13 在 ABC中 已知 BAC 60 ABC 45 BC 则 3 AC 5 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 已知A 60 a b 1 则 3 c 提示 用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技 能的要领部分写下来并进行识记 知识精华技能要领 答案 答案 活动与探究活动与探究 1 解 解 由正弦定理 及已知 sin A sin B sin a sin A b sin B c sin C C 4 5 6 可得a b c 4 5 6 因此可设a 4m b 5m c 6m 于是 a b c 15m 所以 15m 45 m 3 从而三角形的各边的长度分别为 a 12 b 15 c 18 迁移与应用 迁移与应用 1 解析 解析 由三角形的性质知a c b 于是根据正弦定理可得 2Rsin A 2Rsin C 2Rsin B 所以 sin A sin C sin B 2 解析 解析 由正弦定理可得 3 5 sin A sin C sin B a 2R c 2R b 2R a c b 3 6 5 3 5 活动与探究活动与探究 2 解 解 由A 45 C 30 可得B 105 由 所 a sin A b sin B c sin C 以 而 sin 105 sin 60 45 a sin 45 b sin 105 10 sin 30 3 2 2 2 1 2 2 2 所以可得a 10 b 5 5 6 2 4262 迁移迁移与应用 与应用 B 解析解析 由正弦定理得 即 解得AC 2 BC sin A AC sin B 3 2 sin 60 AC sin 45 3 活动与探究活动与探究 3 解 解 由 sin C AB sin C BC sin A AC sin B ABsin A BC 6 2 2 2 3 2 当C 60 时 B 75 AC 1 BCsin B sin A3 当C 120 时 B 15 AC 1 BCsin B sin A3 5 迁移与应用 迁移与应用 1 C 解析 解析 由 得 sin a sin A b sin B B a b A B B 60 B 45 bsin A a 2sin 60 3 2 2 2 解 解 a 2 b 6 a b A 30 90 3 又因为bsin A 6sin 30 3 a bsin A 所以本题有两解 由正弦定理得 sin B 故B 60 或 120 bsin A a 6sin 30 2 3 3 2 当B 60 时 C 90 c 4 a2 b23 当B 120 时 C 30 c a 2 所以B 60 C 90 c 4或B 120 33 C 30 c 2 3 当堂检测当堂检测 1 D 解析 解析 由 sin A sin B及正弦定理可得a b 所以三角形是等腰三角形 2 C 解析 解析 由正弦定理可得 故选 C sin A a sin C c 3 D 解析 解析 由A B C 1 2 3 可得A 30 B 60 C 90 所以 a b c sin A sin B sin C 1 1 2 故选 D 1 2