中考数学常见题型几何动点问题

1 8 中考数学压轴题型研究 一 中考数学压轴题型研究 一 动点几何问题动点几何问题 例例 1 在 在 ABC ABC 中 中 B 60 BA 24CM BC 16CM B 60 BA 24CM BC 16CM 1 1 求求 ABC ABC 的面积 的面积 2 2 现有动点现有动点 P P 从从 A A 点出发 沿射线点出发 沿射线 ABAB 向点向点 B B 方向运动 动点方向运动 动点 Q Q 从从 C C 点出发 沿射线点出发 沿射线 CBCB 也向点也向点 B B 方向运动 方向运动 如果点如果点 P P 的速度是的速度是 4CM 4CM 秒 点秒 点 Q Q 的速度是的速度是 2CM 2CM 秒 它们同时出发 几秒钟后 秒 它们同时出发 几秒钟后 PBQ PBQ 的面积是的面积是 ABC ABC 的面积的的面积的 一半 一半 3 3 在第 在第 2 2 问题前提下 问题前提下 P QP Q 两点之间的距离是多少 两点之间的距离是多少 例例 2 已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长是的边长是 1 1 E E为为CDCD边的中点 边的中点 P P为正方形为正方形ABCDABCD边上的一个动点 动点边上的一个动点 动点P P从从A A 点出发 沿点出发 沿A A B B C C E E运动 到达点运动 到达点E E 若点若点P P经过的路程为自变量经过的路程为自变量x x APEAPE的面积为函数的面积为函数y y 1 1 写出 写出 y y 与与 x x 的关系式的关系式 2 2 求当求当y y 时 时 x x的值等于多少 的值等于多少 1 3 例例 3 3 如图 如图 1 1 在直角梯形 在直角梯形 ABCDABCD 中 中 B 90 B 90 DC ABDC AB 动点 动点 P P 从从 B B 点出发 沿梯形的边由点出发 沿梯形的边由 B CB C D D A A 运动 设点运动 设点 P P 运动的路程为运动的路程为x x ABP ABP 的面积为的面积为y y 如果关于如果关于x x 的函数的函数y y的图象如图的图象如图 2 2 所示所示 那么 那么 ABC ABC 的面积为 的面积为 A A 3232B B 1818C C 1616 D D 1010 例例 4 4 直线 直线 3 6 4 yx 与坐标轴分别交于与坐标轴分别交于AB 两点 动点两点 动点PQ 同时从同时从 O点出发 同时到达点出发 同时到达A点 运动停止 点点 运动停止 点Q沿线段沿线段OA运动 速度为每秒运动 速度为每秒 1 1 个单位长度 点个单位长度 点P沿路线沿路线O B A运动 运动 1 1 直接写出 直接写出AB 两点的坐标 两点的坐标 2 2 设点 设点Q的运动时间为的运动时间为t秒 秒 OPQ 的面积为的面积为S 求出 求出S与与t之间的函数关系式 之间的函数关系式 3 3 当 当 48 5 S 时 求出点时 求出点P的坐标 并直接写出以点的坐标 并直接写出以点OPQ 为顶点的平行四边形的第四个顶点为顶点的平行四边形的第四个顶点M的的 坐标 坐标 例例 5 5 已知 等边三角形 已知 等边三角形的边长为的边长为 4 厘米 长为厘米 长为 1 厘米的线段厘米的线段在在的边的边上沿上沿方向方向ABCMNABC ABAB 以以 1 厘米厘米 秒的速度向秒的速度向点运动 运动开始时 点点运动 运动开始时 点与点与点重合 点重合 点到达点到达点时运动终止 时运动终止 过点 过点BMANB 分别作分别作边的垂线 与边的垂线 与的其它边交于的其它边交于两点 线段两点 线段运动的时间为运动的时间为 秒 秒 MN ABABC PQ MNt 1 线段 线段在运动的过程中 在运动的过程中 为何值时 四边形为何值时 四边形恰为矩形 并求出该矩形的面积 恰为矩形 并求出该矩形的面积 MNtMNQP 2 线段 线段在运动的过程中 四边形在运动的过程中 四边形的面积为的面积为 运动的时间为 运动的时间为 求四边形 求四边形的面积的面积MNMNQPStMNQP 随运动时间随运动时间 变化的函数关系式 并写出自变量变化的函数关系式 并写出自变量 的取值范围 的取值范围 Stt A C B x AOQ P B y C P Q B A MN 2 8 例例 6 6 如图 如图 3 在梯形 在梯形ABCD中 中 906DCABAAD 厘米 厘米 4DC 厘米 厘米 BC的坡度的坡度 3 4i 动点动点P从从A出发以出发以 2 厘米厘米 秒的速度沿秒的速度沿AB方向向点方向向点B运动 动点运动 动点Q从点从点B出发以出发以 3 厘米厘米 秒的速度沿秒的速度沿 BCD 方向向点方向向点D运动 两个动点同时出发 当其中一个动点到达终点时 运动 两个动点同时出发 当其中一个动点到达终点时 另一个动点也随之停止 设动点运动的时间为另一个动点也随之停止 设动点运动的时间为t秒 秒 1 求边 求边BC的长 的长 2 当 当t为何值时 为何值时 PC与与BQ相互平分 相互平分 3 连结 连结PQ 设设PBQ 的面积为的面积为y 探求探求y与与t的函数关系式 求的函数关系式 求t为何值为何值 时 时 y有最大值 最大值是多少 有最大值 最大值是多少 二 利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质 或所求图形面积 直接转化为函数或方二 利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质 或所求图形面积 直接转化为函数或方 程 程 例例 7 7 如图 已知如图 已知中 中 厘米 厘米 厘米 点厘米 点为为ABC 10ABAC 8BC D 的中点 的中点 AB 1 如果点 如果点 P 在线段在线段 BC 上以上以 3 厘米厘米 秒的速度由秒的速度由 B 点向点向 C 点运动 同时 点点运动 同时 点 Q 在线段在线段 CA 上由上由 C 点向点向 A 点运动 点运动 若点若点 Q 的运动速度与点的运动速度与点 P 的运动速度相等 经过的运动速度相等 经过 1 秒后 秒后 与与BPD 是否全等 请说明理由 是否全等 请说明理由 CQP 若点若点 Q 的运动速度与点的运动速度与点 P 的运动速度不相等 当点的运动速度不相等 当点 Q 的运动速度为多少时 能够使的运动速度为多少时 能够使与与BPD 全等 全等 CQP 2 若点 若点 Q 以以 中的运动速度从点中的运动速度从点 C 出发 点出发 点 P 以原来的运动速度从点以原来的运动速度从点 B 同时出发 都逆时针沿同时出发 都逆时针沿 三边运动 求经过多长时间点三边运动 求经过多长时间点 P 与点与点 Q 第一次在第一次在的哪条边上相遇 的哪条边上相遇 ABC ABC 例例 8 8 如图 在梯形 如图 在梯形中 中 动点动点从从点点ABCD354 245ADBCADDCABB MB 出发沿线段出发沿线段以每秒以每秒 2 2 个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点运动 动点运动 动点同时从同时从点出发沿线段点出发沿线段以每秒以每秒 1 1 个单位个单位BCCNCCD 长度的速度向终点长度的速度向终点运动 设运动的时间为运动 设运动的时间为 秒 秒 Dt 1 1 求 求的长 的长 BC 2 2 当 当时 求时 求 的值 的值 MNAB t 3 3 试探究 试探究 为何值时 为何值时 为等腰三角形 为等腰三角形 tMNC 例例 9 9 如图 在直角梯形 如图 在直角梯形 ABCD 中 中 AD BC ABC 90 AB 12cm AD 8cm BC 22cm AB 为为 O 的的 直径 动点直径 动点 P 从点从点 A 开始沿开始沿 AD 边向点边向点 D 以以 1cm s 的速度运动 动点的速度运动 动点 Q 从点从点 C 开始沿开始沿 CB 边向点边向点 B 以以 2cm s 的的 图 3 C c D c A c B c Q c P c E c A Q C D B P 3 8 A B O C DP Q 速度运动 速度运动 P Q 分别从点分别从点 A C 同时出发 当其中一点到达端同时出发 当其中一点到达端 点时 另一个动点也随之停止运动 设运动时间为点时 另一个动点也随之停止运动 设运动时间为 t s 1 当当 t 为何值时 四边形为何值时 四边形 PQCD 为平行四边形 为平行四边形 2 当当 t 为何值时 为何值时 PQ 与与 O 相切 相切 例例 10 10 如图 在矩形如图 在矩形 ABCD 中 中 BC 20cm P Q M N 分别从分别从 A B C D 出发沿出发沿 AD BC CB DA 方方 向在矩形的边上同时运动 当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时 运动即停止 已知在相同时间内 向在矩形的边上同时运动 当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时 运动即停止 已知在相同时间内 若若 BQ xcm 则 则 AP 2xcm CM 3xcm DN x2cm 0 x 1 当 当 x 为何值时 以为何值时 以 PQ MN 为两边为两边 以矩形的边 以矩形的边 AD 或或 BC 的一部分为第三边构成一个三角形 的一部分为第三边构成一个三角形 2 当 当 x 为何值时 以为何值时 以 P Q M N 为顶点的四边形是平行四边形 为顶点的四边形是平行四边形 3 以 以 P Q M N 为顶点的四边形能否为等腰梯形为顶点的四边形能否为等腰梯形 如果能 求如果能 求 x 的值 如果不能 请说明理由 的值 如果不能 请说明理由 练习练习 1 1 如图 正方形 如图 正方形的边长为的边长为 在对称中心 在对称中心处有一钉子 动点处有一钉子 动点 同时从点同时从点出发 点出发 点沿沿ABCD2cmOPQAP 方向以每秒方向以每秒的速度运动 到点的速度运动 到点停止 点停止 点沿沿方向以每秒方向以每秒的速度运动 到点的速度运动 到点ABC 2cmCQAD 1cm 停止 停止 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结 设两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结 设秒后橡皮筋扫过的面积为秒后橡皮筋扫过的面积为 DPQx 2 cmy 1 当 当时 求时 求与与之间的函数关系式 之间的函数关系式 01x yx 2 当橡皮筋刚好触及钉子时 求 当橡皮筋刚好触及钉子时 求值 值 x 3 当 当时 求时 求与与之间的函数关系式 并写出橡皮筋从触及钉子之间的函数关系式 并写出橡皮筋从触及钉子12x yx 到运动到运动 停止时停止时的变化范围 的变化范围 POQ 4 当 当时 请在给出的直角坐标系中画出时 请在给出的直角坐标系中画出与与之间的函数图之间的函数图02x yx 象 象 解解 1 当 当时 时 01x 2APx AQx 2 1 2 yAQ APx A 即即 2 yx 2 当 当时 橡皮筋刚好触及钉子 时 橡皮筋刚好触及钉子 1 2 ABCDABPQ SS 正方形四边形 22BPx AQx 2 11 2222 22 xx 4 3 x O APD BQ C A B D C P QM N 第 25 题 B C P O D Q A B PC O D Q A y 3 2 1 O1 2x 4 8 3 当 当时 时 4 1 3 x 2AB 22PBx AQx 22 232 22 AQBPxx yABx A 即即 32yx 作作 为垂足 为垂足 OEAB E 当当时 时 4 2 3 x 22BPx AQx 1OE 即 即 BEOPOEAQ ySS 梯形梯形 1221 11 22 xx 3 2 x 3 2 yx 或或90180POQ 180270POQ 4 如图所示 如图所示 2 2 如图如图 平面直角坐标系中平面直角坐标系中 直线直线ABAB与与轴轴 轴分别交于轴分别交于A A 3 0 3 0 B B 0 0 两点两点 点点C C为线段为线段ABAB上的一动上的一动xy3 点点 过点过点C C作作CDCD 轴于点轴于点D D x 1 1 求直线求直线ABAB的解析式的解析式 2 2 若若S S梯形 梯形 OBCDOBCD 求点求点C C的坐标的坐标 4 3 3 3 3 在第一象限内是否存在点在第一象限内是否存在点P P 使得以使得以P O BP O B为顶点的为顶点的 三角形与三角形与 OBAOBA相似相似 若存在若存在 请求出所有符合条件请求出所有符合条件 的点的点P P的坐标的坐标 若不存在若不存在 请说明理由请说明理由 解解 1 直线 直线 AB 解析式为 解析式为 y x 3 3 3 2 方法一 设点 坐标为 方法一 设点 坐标为 x x 那么 那么 OD x CD x 3 3 3 3 3 3 OBCD S梯形 2 CDCDOB 3 6 3 2 x 由题意 由题意 解得 解得 舍去 舍去 3 6 3 2 x 3 34 4 2 21 xx 3 3 方法二 方法二 2 33 2 1 OBOAS AOBOBCD S梯形 3 34 6 3 ACD S 由由 OA OB 得 得 BAO 30 AD CD 33 3 2 1 O 12x y 4 3 5 8 CD AD 可得 可得 CD ACD S 2 1 2 2 3 CD 6 3 3 3 AD OD C 3 3 当 当 OBP Rt 时 如图时 如图 若若 BOP OBA 则 则 BOP BAO 30 BP OB 3 3 3 1 P 3 3 若若 BPO OBA 则 则 BPO BAO 30 OP OB 1 3 3 1 2 P3 当当 OPB Rt 时时 过点过点 P 作作 OP BC 于点于点 P 如图如图 此时 此时 PBO OBA BOP BAO 30 过点过点 P 作作 PM OA 于点于点 M 方法一 方法一 在在 Rt PBO 中 中 BP OB OP BP 2 1 2 3 3 2 3 在在 Rt P O 中 中 OPM 30 OM OP PM OM 2 1 4 3 3 4 33 3 P 4 3 4 33 方法二 设 方法二 设 x x 得 得 OM x PM x 3 3 3 3 3 3 由由 BOP BAO 得得 POM ABO tan POM tan ABOC OM PM x x3 3 3 OB OA 3 x x 解得 解得 x 此时 此时 3 3 33 4 3 3 P 4 3 4 33 若若 POB OBA 如图如图 则 则 OBP BAO 30 POM 30 PM OM 3 3 4 3 由对称性也可得到点 由对称性也可得到点的坐标 的坐标 4 P 4 3 4 3 4 P 当当 OPB Rt 时 点时 点 P 在 轴上在 轴上 不符合要求不符合要求 综合得 符合条件的点有四个 分别是综合得 符合条件的点有四个 分别是 6 8 3 1 1 P 3 3 2 P3 3 P 4 3 4 33 4 P 4 3 4 3 3 3 如图所示 在平面直角坐标中 四边形 如图所示 在平面直角坐标中 四边形 OABCOABC 是等腰梯形 是等腰梯形 BC OABC OA OA 7OA 7 AB 4AB 4 COA 60 COA 60 点 点 P P 为为 x x 轴轴 上的上的 个动点 点个动点 点 P P 不与点不与点 0 0 点 点 A A 重合 连结重合 连结 CPCP 过点 过点 P P 作作 PDPD 交交 ABAB 于点于点 D D 1 1 求点求点 B B 的坐标 的坐标 2 2 当点当点 P P 运动什么位置时 运动什么位置时 OCP OCP 为等腰三角形 求这时点为等腰三角形 求这时点 P P 的坐标 的坐标 3 3 当点当点 P P 运动什么位置时 使得运动什么位置时 使得 CPD OAB CPD OAB 且 且 求这时点 求这时点 P P 的坐标 的坐标 AB BD 8 5 解解 1 作作 BQ x 轴于轴于 Q 四边形四边形 ABCD 是等腰梯形是等腰梯形 BAQ BAQ COA COA 60 60 在在 Rt BQARt BQA 中中 BA 4 BA 4 BQ AB sin BAO 4 sin60 BQ AB sin BAO 4 sin60 32 AQ AB cos BAO 4 cos60 AQ AB cos BAO 4 cos60 2 OQ OA AQ 7 2 5 OQ OA AQ 7 2 5 点点 B B 在第一象限内在第一象限内 点点 B B 的的坐标为的的坐标为 5 5 32 2 若若 OCP 为等腰三角形为等腰三角形 COP 60 COP 60 此时此时 OCP OCP 为等边三角形或是顶角为为等边三角形或是顶角为 120 120 的等腰三角形的等腰三角形 若若 OCP OCP 为等边三角形为等边三角形 OP OC PC 4 OP OC PC 4 且点且点 P P 在在 x x 轴的正半轴上轴的正半轴上 点点 P P 的坐标为的坐标为 4 0 4 0 若若 OCP OCP 是顶角为是顶角为 120 120 的等腰三角形的等腰三角形 则点则点 P P 在在 x x 轴的负半轴上轴的负半轴上 且且 OP OC 4OP OC 4 点点 P P 的坐标为的坐标为 4 0 4 0 点点 P P 的坐标为的坐标为 4 0 4 0 或或 4 0 4 0 3 3 若若 CPD OAB CPD OAB CPA OCP COP CPA OCP COP 而而 OAB COP 60 OAB COP 60 OCP DPA OCP DPA 此时此时 OCP ADP OCP ADP AP OC AD OP 8 5 AB BD 7 8 2 5 8 5 ABBD AD AB BD 4 AD AB BD 4 2 5 2 3 AP OA OP 7 OPAP OA OP 7 OP OP OP 7 4 2 3 得得 OP 1OP 1 或或 6 6 点点 P P 坐标为坐标为 1 0 1 0 或或 6 0 6 0 4 已知 如图已知 如图 在 在 Rt ABC 中 中 C 900 AC 4cm BC 3cm 点 点 P 由由 B 出发沿出发沿 BA 方向向点方向向点 A 匀速运动 匀速运动 速度为速度为 1cm s 点 点 Q 由由 A 出发沿出发沿 AC 方向向点方向向点 C 匀速运动 速度为匀速运动 速度为 2cm s 连接 连接 PQ 若设运动的时间为 若设运动的时间为 t s 0 t 2 解答下列问题 解答下列问题 1 当 当 t 为何值时 为何值时 PQ BC 2 设 设 AQP 的面积为的面积为 y cm2 求 求 y 与与 t 之间的函数关系式 之间的函数关系式 3 是否存在某一时刻 是否存在某一时刻 t 使线段 使线段 PQ 恰好把恰好把 Rt ABC 的周长和面积同时平分 若存的周长和面积同时平分 若存 在 求出此时在 求出此时 t 的值 若不存在 说明理由 的值 若不存在 说明理由 4 如图 如图 连接 连接 PC 并把 并把 PQC 沿沿