中考数学复习-一次函数与反比例函数综合题型-教案

第 1 页共 20 页 专题复习三专题复习三 一次函数与反比例函数综合题型一次函数与反比例函数综合题型 教学笔记教学笔记 1 求一次函数与反比例函数的解析式求一次函数与反比例函数的解析式 1 待定系数法 2 一次函数需要两个坐标点 反比例函数只需要一个坐标点 2 图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题 1 反比例函数 k 2 将大三角形面积看作几个小三角形面积之和 3 图形面积与坐标点之间的关系 3 交点问题交点问题 根据已知量求未知量 4 根据图象直接写出自变量的取值范围根据图象直接写出自变量的取值范围 数形结合的思想 典型例题典型例题 考点一 求一次函数与反比例函数的解析式考点一 求一次函数与反比例函数的解析式 例 1 2015 资阳 如图 10 直线 y ax 1 与 x 轴 y 轴分别相交于 A B 两点 与双曲线 y x 0 相交于点 P PC x 轴于点 C 且 PC 2 点 A 的坐标为 k x 2 0 1 求双曲线的解析式 2 若点Q为双曲线上点P右侧的一点 且QH x轴于H 当以点Q C H为顶点的三角形与 AOB 相似时 求点Q的坐标 解 解 1 把 A 2 0 代入 y ax 1 中 求得 a y x 1 由 PC 2 把 y 2 代入 y x 1 中 得 x 2 即 P 2 2 把 P 代入 y 得 k 4 第 2 页共 20 页 则双曲线解析式为 y 2 设 Q a b Q a b 在 y 上 b 当 QCH BAO 时 可得 即 a 2 2b 即 a 2 解得 a 4 或 a 2 舍去 Q 4 1 当 QCH ABO 时 可得 即 整理得 2a 4 解得 a 1 或 a 1 舍 Q 1 2 2 综上 Q 4 1 或 Q 1 2 2 例 2 2016 资阳 如图 在平行四边形ABCD 中 点 A B C 的坐标分别是 1 0 3 1 3 3 双曲线 y k 0 x 0 过点 D 1 求双曲线的解析式 2 作直线 AC 交 y 轴于点 E 连结 DE 求 CDE 的面积 解答 解 1 在平行四边形ABCD 中 点 A B C 的坐标 分别是 1 0 3 1 3 3 点 D 的坐标是 1 2 双曲线 y k 0 x 0 过点 D 2 得 k 2 即双曲线的解析式是 y 2 直线 AC 交 y 轴于点 E S CDE S EDA S ADC 即 CDE 的面积是 3 课后练习课后练习 1 2014 资资阳阳 如图 一次函数 y kx b k 0 的图象过点 P 0 且与反比例函数 y m 0 的图象相交于点 A 2 1 和点 B 1 求一次函数和反比例函数的解析式 第 3 页共 20 页 2 求点 B 的坐标 并根据图象回答 当 x 在什么范围内取值时 一次函数的函数值小于反比例函数的 函数值 解 解 1 一次函数 y kx b k 0 的图象过点 P 0 和 A 2 1 解得 一次函数的解析式为 y 2x 3 反比例函数 y m 0 的图象过点 A 2 1 解得 m 2 反比例函数的解析式为 y 2 解得 或 B 4 由图象可知 当 2 x 0 或 x 时 一次函数的函数值小于反比例函数的函数值 2 如图 一次函数 y kx b k 0 的图象与 x 轴 y 轴分别交于 A 1 0 B 0 1 两点 且与反比例 函数 y m 0 的图象在第一象限交于 C 点 C 点的横坐标为 2 m x 1 求一次函数的解析式 2 求 C 点坐标及反比例函数的解析式 解 解 1 由题意得解得一次函数的解析式为 k b 0 b 1 k 1 b 1 y x 1 2 当 x 2 时 y 2 1 1 所以 C 点坐标为 2 1 又 C 点 在反比例函数 y m 0 的图象上 1 解得 m 2 所以反比例函 m x m 2 数的解析式为 y 2 x 3 2016 乐山中考乐山中考 如图 反比例函数 y 与一次函数 y ax b 的图象交于点 A 2 2 B k x 1 2 n 第 4 页共 20 页 1 求这两个函数解析式 2 将一次函数 y ax b 的图象沿 y 轴向下平移 m 个单位长度 使平移后 的图象与反比例函数 y 的图象有且只有一个交点 求 m 的值 k x 解 解 1 A 2 2 在反比例函数 y 的图象上 k 4 反比例函数的解析 k x 式为 y 又 点 B在反比例函数 y 的图象上 n 4 解得 n 8 4 x 1 2 n 4 x 1 2 即点 B 的坐标为 由 A 2 2 B在一次函数 y ax b 的图象上 得 1 2 8 1 2 8 解得 一次函数的解析式为 y 4x 10 2 将直线 2 2a b 8 1 2a b a 4 b 10 y 4x 10 向下平移 m 个单位长度得直线的解析式为 y 4x 10 m 直线 y 4x 10 m 与双曲线 y 有且只有一个交点 令 4x 10 m 得 4x2 m 10 x 4 0 m 10 2 64 0 解得 4 x 4 x m 2 或 18 4 如图 一次函数 为常数 且 的图像与反比例函数的图像交于 5 kxyk0 k x y 8 bA 2 两点 B 1 求一次函数的表达式 2 若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点 求的值 AB 0 mmm 解 1 将代入反比例函数 得 bA 2 x y 8 4 2 8 b 4 2 A 将代入一次函数 得 4 2 A5 kxy 4 2k 5 解得 2 1 k 一次函数的表达式为5 2 1 xy 2 直线向下平移个单位长度后的表达式为 AB 0 mm mxy 5 2 1 A B O y x 第 5 页共 20 页 由得 x y mxy 8 5 2 1 08 5 2 1 2 xmx 16 5 8 2 1 4 5 4 222 mmacb 平移个单位长度后的直线与反比例函数的图像有且只有一个公 0 mm 共点 0 即 解得 016 5 2 m9 1 21 mm m 的值为 1 或 9 5 2016 成都中考 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 正比例函数的图象与反比例函数直线ykx 的图象都经过点 A 2 2 m y x 1 分别求这两个函数的表达式 2 将直线 OA 向上平移 3 个单位长度后与 y 轴相交 于点 B 与反比例函数的图象在第四象限内的交点 为 C 连接 AB AC 求点 C 的坐标及 ABC 的面积 解析解析 1 正比例函数的图象与反比例函数直线的图象ykx m y x 都经过点 A 2 2 解得 y x y 22 2 2 k m 1 4 k m 4 x 2 直线 BC 由直线 OA 向上平移 3 个单位所得 B 0 3 kbc koa 1 设直线 BC 的表达式为 y x 3 由 解得 4 3 y x yx 1 1 4 1 x y 2 2 1 4 x y 因为点 C 在第四象限 点 C 的坐标为 4 1 解法一 如图 1 过 A 作 AD y 轴于 D 过 C 作 CE y 轴于 E S ABC S BEC S梯形 ADEC S ADB 4 4 2 4 1 2 5 8 3 5 6 1 2 1 2 1 2 解法二 如图 2 连接 OC OA BC S ABC S BOC OB xc 3 4 6 1 2 1 2 第 6 页共 20 页 考点二 图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题考点二 图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题 例 1 如图 在平面直角坐标系中 直线 y mx 与双曲线 y 相交于 A 1 a B 两点 BC x 轴 n x 垂足为 C AOC 的面积是 1 1 求 m n 的值 2 求直线 AC 的解析式 解 解 1 直线 y mx 与双曲线 y 相交于 A 1 a B 两点 B 点横坐标 n x 为 1 即 C 1 0 AOC 的面积为 1 A 1 2 将 A 1 2 代入 y mx y 可得 m 2 n 2 2 设直线 AC 的解析式为 y kx b n x 由题意得解得 k 1 b 1 直线 AC 的解析式为 y x 1 k b 2 k b 0 课后练习课后练习 1 2016 宜宾中考 如图 一次函数 y kx b 的图象与反比例函数 y x 0 的图象交于 A 2 1 B m x 两点 直线 y 2 与 y 轴交于点 C 1 2 n 1 求一次函数与反比例函数的解析式 2 求 ABC 的面积 解 1 把 A 2 1 代入反比例解析式得 1 即 m 2 反比 m 2 例解析式为 y 把 B代入反比例解析式得 n 4 即 B 2 x 1 2 n 1 2 4 把 A 与 B 的坐标代入 y kx b 中得 解得则一次函数的解析式为 y 2x 5 2 设 2k b 1 1 2k b 4 k 2 b 5 直线 AB 与 y 轴交于点 E 则点 E 的坐标为 0 5 点 C 的坐标为 0 2 CE 2 5 7 点 A 到 第 7 页共 20 页 y 轴的距离为 2 点 B 到 y 轴的距离为 S ABC S ACE S BCE 7 2 7 7 1 2 1 2 1 2 1 2 7 4 21 4 2 2016 泸州中考 如图 一次函数 y kx b k0 的图象交于点 P 1 4 m x 过点 P 作 PB x 轴于点 B 且 AC BC 1 求点 P 的坐标和反比例函数 y2的解析式 2 请直接写出 y1 y2时 x 的取值范围 3 反比例函数 y2图象上是否存在点 D 使四边形 BCPD 为菱形 如果存在 求出点 D 的坐标 如果不存 在 说明理由 解 1 一次函数 y1 x 1 的图象与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 1 4 C A 4 0 C 0 1 又 AC BC CO AB O 为 AB 的中点 即 OA OB 4 且 BP 2OC 2 点 P 的坐标为 4 2 将点 P 4 2 代入 y2 得 m 8 m x 反比例函数的解析式为 y2 8 x 2 x 4 解法提示 由图象可知 当 y1 y2时 即是直线位于双曲线上方的部分 所对应的自变量 x 的取值范围是 x 4 3 存在 假设存在这样的 D 点 使四边形 BCPD 为菱形 如解图 连接 DC 与 PB 交于点 E 四边形 BCPD 为菱形 CE DE 4 CD 8 D 点的坐标为 8 1 将 D 8 1 代入反比例函数 D 点坐标满足函数关系式 即反 8 y x 比例函数图象上存在点 D 使四边形 BCPD 为菱形 此时 D 点坐标为 8 1 课后作业课后作业 1 20132013 四川凉山 四川凉山 二次函数的图象如图所示 反比列函数与正比列函数 2 yaxbxc a y x 在同一坐标系内的大致图象是 ybx 第 12 页共 20 页 第 12 题 O x y O y x A O y x B O y x D O y x C 解答 解 二次函数 y ax2 bx c 的图象开口方向向下 a 0 对称轴在 y 轴的左边 x 0 b 0 a b 2 反比例函数的图象在第二四象限 正比例函数 y bx 的图象在第二四象限 故选 B x a y 2 2015 2015 成都成都 一次函数的图像不经过 12 xy A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 根据一次函数的图像即可判断函数所经过一 二 三象限 不经过第20 10kb 四象限 选 D 3 3 2014 2014 成都成都 在平面直角坐标系中 已知一次函数的图像经过 两 12 xy 111 yxP 222 yxP 点 若 则 填 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 k 0 时 y 随 x 的增大而减小 解 y 随 x 的增大而增大 当时 故答案为 12 xy 21 xx 1 y 2 y 4 2016 2016 成都成都 已知 P1 x1 y1 P2 x2 y2 两点都在反比例函数的图象上 且 x1 x2 y2 填 或 A 点坐标 2a c 2b A E 在双曲线上 k 2a c 2b ab 2a c a c 平行四边形 AOBC 的面积为 18 c2b 3ab 3k k 6 1212 2015 2015 成都成都 如图 一次函数的图象与反比例 为常数 且 的 4yx k y x k0k 图象交于 两点 1 Aa B 1 求反比例函数的表达式及点的坐标 B 2 在轴上找一点 使的值最小 求满足条件的点的坐标及的面积 xPPAPB PPAB 解析 1 由已知可得 143a 11 33ka 反比例函数的表达式为 3 y x 联立解得或 所以 4 3 yx y x 1 3 x y 3 1 x y 3 1B x y A B O O x y A B 2 y x y 4 1 C O x y C B E A 第 14 页共 20 页 2 如答图所示 把 B 点关于 x 轴对称 得到 3 1B 连接交 x 轴于点 连接 则有 AB P P B 当 P 点和点重合时取 PAPBPAPBAB P 到等号 易得直线 令 AB25yx 0y 得 即满足条件的 P 的坐标为 5 2 x 5 0 2 P 5 0 2 设交 x 轴于点 C 则 4yx 4 0C 1 2 PABAPCBPCAB SSSPCyy 即 153 43 1 222 PAB S 1313 2014 2014 宜宾宜宾 如图 一次函数 y x 2 的图象与反比例函数 y 3 x 的图象交于 A B 两点 与 x 轴交于 D 点 且 C D 两点关于 y 轴对称 1 求 A B 两点的坐标 2 求 ABC 的面积 解 解 1 根据题意得 2 3 yx y x 解方程组得 1 3 x y 或 3 1 x y A 1 3 B 3 1 2 把 y 0 代入y x 2 得 x 2 0 解得 x 2 D 2 0 C D 两点关于 y 轴对称 C 2 0 S ABC S ACD S BCD 1 2 2 2 3 1 2 2 2 1 8 1414 2014 甘孜 如图 在 AOB 中 ABO 90 OB 4 AB 8 反比例函数 y k x 在第一 象限内的图象分别交 OA AB 于点 C 和点 D 且 BOD 的面积 S BOD 4 1 求反比例函数解析式 2 求点 C 的坐标 解 1 由 S BOD 4 得 k 8 反比例函数解析式为 y 8 x x y CP B A B O P 第 15 页共 20 页 2 OB 4 AB 8 ABO 90 A 点坐标为 4 8 设直线 AO 的解析式为 y kx 则 4k 8 解得 k 2 即直线 AO 的解析式为 y 2x 联立方程组 8 2 y x yx 解得 1 1 2 4 x y 或 2 2 2 4 x y 舍去 点 C 的坐标为 2 4 15 2014 四川雅安 如图 过轴上点 A 的一次函数与反比例函数相交于 B D 两点 y 3 2 B 于 C 四边形 OABC 面积为 4 轴xBC 1 求反比例函数和一次函数的解析式 2 求点 D 的坐标 3 当在什么取值范围内 一次函数的值大于反比例函数的值 直接x 写出结果 解答 解答 1 设反比例函数解析式为 y 将代入得 x k 3 2 B 3 k 6 2 k 所以反比例函数解析式为 y x 6 设 A 0 a 由 四边形 OABC 面积为 4 得 4 解得 a 1 2 3 2 a 设一次函数的解析式 y mx b 将 A 0 1 代入得 解得 3 2 B 32 10 mb b 1 1 m b 所以一次函数的解析式为 y x 1 2 由 得 y x 1 所以点 D 的坐标为 3 2 6 1 y x yx 1 1 x2 y3 2 2 x3 y 2 3 x 2 或 0 x 3 16 2013 四川攀枝花 四川攀枝花 如图 已知反比例函数 y m 是常数 m 0 一次函数 y ax b a b 为常数 x m a 0 其中一次函数与 x 轴 y 轴的交点分别是 A 4 0 B 0 2 1 求一次函数的关系式 2 反比例函数图象上有一点 P 满足 PA x 轴 PO O 为坐标原点 求反比例函数的关17 第 16 页共 20 页 系式 3 求点 P 关于原点的对称点 Q 的坐标 判断点 Q 是否在该反比例函 数的图象上 解答解答 解 1 一次函数 y ax b 与 x 轴 y 轴的交点分别是 A 4 0 B 0 2 4a b 0 b 2 a 一次函数的关系式为 y x 2 2 1 2 1 2 设 P 4 n 解得 n 1 174 22 n 由题意知 n 1 n 1 舍去 把 P 4 1 代入反比例函数 y x m m 4 反比例函数的关系式为 y x 4 3 P 4 1 关于原点的对称点 Q 的坐标为 Q 4 1 把 Q 4 1 代入反比例函数关系 式符合题意 Q 在该反比例函数的图象上 17 2014 四川泸州 四川泸州 如图 已知函数 y x 0 的图象与一次函数 y kx b 的图象交于点 A 1 m x 6 B n 2 两点 1 求一次函数的解析式 2 将一次函数 y kx b 的图象沿 x 轴负方向平移 a a 0 个单位长度得到新图象 求这个新图象与函 数 y x 0 的图象只有一个交点 M 时 a 的值及交点 M 的坐标 x 6 解答解答 解 1 点 A 1 m B n 2 在反比例函数的图象上 m 6 2 n 6 解得 m 6 n 3 一次函数 y kx b 的图象交于点 A 1 6 B 3 2 两点 6 k b 2 3k b 解得 k 2 b 8 一次函数的解析式是 y 2x 8 2 一次函数 y kx b 的图象沿 x 轴负方向平移 a a 0 个单位长度得到新图象的解析式是 y 2 x a 8 根据题意 得 y 2 x a 8 y x2 a 4 x 3 0 x 6 这个新图象与函数 y x 0 的图象只有一个交点 a 4 2 12 0 解得 a 4 2 x 6 3 第 17 页共 20 页 当 a 4 2时 解方程组 得 x 3 y 2 M 3 2 333 当 a 4 2时 解方程组 得 x 3 y 2 M 3 2 333 综上所述 a 4 2 M 3 2 或 M 3 2 333 18 2015 资阳 如图 直线 y ax 1 与 x 轴 y 轴分别相交于 A B 两点 与双曲线 y x 0 相交 k x 于点 P PC x 轴于点 C 且 PC 2 点 A 的坐标为 2 0 1 求双曲线的解析式 2 若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点 且 QH x 轴于 H 当以点 Q C H 为顶点的三角形与 AOB 相似时 求点 Q 的坐标 解 1 把 A 2 0 代入 y ax 1 中 求得 a y x 1 由 PC 2 把 y 2 代入 y x 1 中 得 1 2 1 2 1 2 x 2 即 P 2 2 把 P 代入 y 得 k 4 则双曲线解析式为 y 2 设 Q a b Q a b 在 y 上 k x 4 x 4 x b 当 QCH BAO 时 可得 即 a 2 2b 即 a 2 解得 a 4 或 4 a CH AO QH BO a 2 2 b 1 8 a a 2 舍去 Q 4 1 当 QCH ABO 时 可得 即 整理得 2a 4 解得 CH BO QH AO a 2 1 b 2 4 a a 1 或 a 1 舍 Q 1 2 2 综上 Q 4 1 或 Q 1 2 2 333333 19 如图 在平面直角坐标系中 一次函数的图象与反比例函数的xOy 0 kbkxy 0 m x m y 图象交于二 四象限内的 两点 与轴交于点 点的坐标为 线段 为轴ABxCB n 65 OAEx 上一点 且 5 4 sin AOE 1 求该反比例函数和一次函数的解析式 2 求的面积 AOC 答案答案 解 1 过点作轴于点 如图 AxAD D x y O A C E B 第 18 页共 20 页 5 4 sin AOE5 OA 5 4 5 sin AD OA AD AOE 4 AD 345 2222 ADAODO 而点在第二象限A 点的坐标为A 4 3 将代入 得 4 3 A x m y 12 m 反比例函数的解析式为 x y 12 将代入 得 nB 6 x y 12 2 n 2 6 B 将和分别代入 得 4 3 A 2 6 Bbkxy 解得 26 43 bk bk 2 3 2 b k 一次函数的解析式为 2 3 2 xy 2 在中 令 即 解得 2 3 2 xy0 y02 3 2 x3 x 点坐标为 即C 3 03 OC 643 2 1 2 1 ADOCS AOC 20 如图 在平面直角坐标系中 一次函数的图象与反比例函数的图象 0 kbkxy 0 m x m y 相交于 两点 求 AB 1 根据图象写出 两点的坐标并分别求出反比例函数AB 和一次函数的解析式 2 根据图象写出 当为何值时 一次函数值大于反比例x 函数值 答案答案 解 1 由图象可知 点 的坐标分别为 AB 2 1 2 1 1 x y