【三维设计】2014高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十五）空间点、直线、平面间的位置关系 理 新人教A版

1 课时跟踪检测课时跟踪检测 四十五四十五 空间点 直线 平面间的位置关系空间点 直线 平面间的位置关系 1 2013 杭州模拟 若a b c d是空间四条直线 如果 a c b c a d b d 则 A a b且c d B a b c d中任意两条可能都不平行 C a b D a与b c与d中至少有一对直线互相平行 2 l1 l2 l3是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 A l1 l2 l2 l3 l1 l3 B l1 l2 l2 l3 l1 l3 C l1 l2 l3 l1 l2 l3共面 D l1 l2 l3共点 l1 l2 l3共面 3 设四棱锥P ABCD的底面不是平行四边形 用平面 去截此四棱锥 如图 使得截 面四边形是平行四边形 则这样的平面 A 不存在 B 只有 1 个 C 恰有 4 个 D 有无数多个 4 2012 广州模拟 在正四棱锥V ABCD中 底面正方形ABCD的边长为 1 侧棱长 为 2 则异面直线VA与BD所成角的大小为 A B 6 4 C D 3 2 5 如图为正方体表面的一种展开图 则图中的四条线段AB CD EF GH在原正方体中 互为异面的对数为 A 1 B 2 2 C 3 D 4 6 2012 重庆高考 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 和a 且长为a的棱 2 与长为的棱异面 则a的取值范围是 2 A 0 B 0 23 C 1 D 1 23 7 已知E F G H是空间四点 甲 E F G H四点不共面 乙 直线EF和GH不 相交 则甲是乙成立的 条件 8 如图是一几何体的平面展开图 其中ABCD为正方形 E F分别为PA PD的中 点 在此几何体中 给出下面四个结论 直线BE与CF异面 直线BE与AF异面 直线EF 平面PBC 平面BCE 平 面PAD 其中正确的有 个 9 2012 佛山模拟 如图所示 在三棱锥C ABD中 E F分别是AC和BD的中点 若CD 2AB 4 EF AB 则EF与CD所成的角是 10 已知空间四边形ABCD中 E H分别是边AB AD的中点 F G分别是边BC CD 的中点 1 求证 BC与AD是异面直线 2 求证 EG与FH相交 11 已知空间四边形ABCD中 AB CD 3 E F分别是BC AD上的点 并且 BE EC AF FD 1 2 EF 求AB和CD所成角的余弦值 7 3 12 2012 许昌调研 如图 平面ABEF 平面ABCD 四边形ABEF与ABCD都是直角梯 形 BAD FAB 90 BC綊AD BE綊FA G H分别为FA FD的中点 1 2 1 2 1 求证 四边形BCHG是平行四边形 2 C D F E四点是否共面 为什么 1 将图 1 中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD 如图 2 则在四面体ABCD中 AD与BC的位置关系是 A 相交且垂直 B 相交但不垂直 C 异面且垂直 D 异面但不垂直 2 2012 哈尔滨模拟 若两条异面直线所成的角为 60 则称这对异面直线为 黄 金异面直线对 在连接正方体各顶点的所有直线中 黄金异面直线对 共有 对 3 2012 潮州模拟 正方形ABCD中 点E F分别在AB CD上 且 4 AE 2EB CF 2FD 将直角梯形AEFD沿EF折起到A EFD 的位置 使点A 在平面ABCD 上的射影G恰好落在BC上 1 判断直线AA 与DD 的位置关系 并证明 2 证明平面A AE 平面A BC 3 求异面直线AB与FD 所成角的大小 答 案 课时跟踪检测 四十五 A 级 1 选 D 1 若a b c d在同一平面内 则a b c d 2 若a b c d不在同一平面内 若a b相交 则a b确定平面 此时c d 故c d 若a b异面 则可平移a与b相交确定平面 此时 c d c d 若a b平行 则c d关系不定 同理 若c d相交 异面也可推出a b 若c d平行 则a b关系不确定 综上知 a b c d中至少有一对直线互相平行 2 选 B 在选项 A 中 l1 l2 l2 l3 l1与l3可以平行也可相交或异面 借助正 方体的棱很容易理解 在 B 中 l1 l2 l2 l3 由异面直线所成角的定义可以推出l1 l3 l1 l2 l3 三直线不一定共面 如三棱柱的三条侧棱不共面 共点的三条直线不一定共面 如三棱 锥中共顶点的三条棱不共面 3 选 D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m n 直线m n确定了一个平面 作与 平行的平面 与四棱锥的各个侧面相截 则截得的四边形必为平行四边形 而这样的平面 有无数多个 4 选 D 如图所示 设AC BD O 连接VO 由于四棱锥V ABCD是正四棱锥 所以 VO 平面ABCD 故BD VO 又四边形ABCD是正方形 所以BD AC 所以BD 平面VAC 所 5 以BD VA 即异面直线VA与BD所成角的大小为 2 5 选 C AB CD EF和GH在原正方体中如图所示 显然AB与CD EF与GH AB与 GH都是异面直线 而AB与EF相交 CD与GH相交 CD与EF平行 故互为异面的直线有 且只有三对 6 选 A 如图所示的四面体ABCD中 设AB a 则由题意可得CD 其他边的长 2 都为 1 故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形 显然a 0 取CD 中点E 连接AE BE 则AE CD BE CD且AE BE 显然A B E三点 1 2 2 2 2 2 能构成三角形 应满足任意两边之和大于第三边 可得 2 a 解得 0 a 2 22 7 解析 E F G H四点不共面时 EF GH一定不相交 否则 由于两条相交直线 共面 则E F G H四点共面 与已知矛盾 故甲可以推出乙 反之 EF GH不相交 含有EF GH平行和异面两种情况 当EF GH平行时 E F G H四点共面 故乙不能推 出甲 即甲是乙的充分不必要条件 答案 充分不必要 8 解析 如图 易得EF AD AD BC EF BC 即B E F C四点共面 则 错误 正确 正确 不一定正确 答案 2 9 解析 取CB的中点G 连接EG FG 6 EG AB FG CD EF与CD所成角即为 EFG 又 EF AB EF EG 在 Rt EFG中 EG AB 1 1 2 FG CD 2 1 2 sin EFG EFG 1 2 6 EF与CD所成的角为 6 答案 6 10 证明 1 假设BC与AD共面 不妨设它们所共平面为 则B C A D 所以四边形ABCD为平面图形 这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾 所以BC与AD 是异面直线 2 如图 连接AC BD 则EF AC HG AC 因此EF HG 同理EH FG 则EFGH为 平行四边形 又EG FH是 EFGH的对角线 所以EG与HF相交 11 解 如图 在BD上取点G 使BG GD 1 2 连接EG FG 在 BCD中 BE EC BG GD EG CD 7 同理 FG AB EGF或其补角为异面直线AB和CD所成的角 在 BCD中 EG CD CD 3 EG CD 1 3 EG 1 在 ABD中 FG AB AB 3 FG AB 2 3 FG 2 在 EFG中 EG 1 FG 2 EF 7 由余弦定理 得 cos EGF EG2 FG2 EF2 2EG FG 1 2 异面直线所成角 的范围是 0 90 cos 0 AB与CD所成角的余弦值为 1 2 12 解 1 证明 由题设知 FG GA FH HD 所以GH綊AD 又BC綊AD 1 2 1 2 故GH綊BC 所以四边形BCHG是平行四边形 2 C D F E四点共面 理由如下 由BE綊AF G是FA的中点知 1 2 BE綊GF 所以EF綊BG 由 1 知BG CH 所以EF CH 故EC FH共面 又点D在直线FH上 所以 C D F E四点共面 B 级 1 选 C 在图 1 中的等腰直角三角形ABC中 斜边上的中线AD就是斜边上的高 则 AD BC 翻折后如图 2 AD与BC变成异面直线 而原线段BC变成两条线段BD CD 这两 条线段与AD垂直 即AD BD AD CD 故AD 平面BCD 所以AD BC 2 解析 正方体如图 若要出现所成角为 60 的异面直线 则直线需为面对角线 以AC为例 与之构成黄金异面直线对的直线有 4 条 分别是A B BC A D C D 8 正方体的面对角线有 12 条 所以所求的黄金异面直线对共有 24 对 每一对被计 12 4 2 算两次 所以要除以 2 答案 24 3 解 1 AA DD 设直线AD与EF相交于点O 翻折后直线A D 仍过O点 A A D D 四点共面于平面OAA 又FD AE FD 平面A AE AE 平面A AE FD 平面A AE 同理 FD 平面A AE 而FD FD F 平面D