【三维设计】2013届高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第六章 数学归纳法(理)教学案（含解析）新人教A版

1 第七节第七节数学归纳法数学归纳法 理理 知识能否忆起 数学归纳法 一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n0 n0 N N 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k N N 时命题成立 证明当n k 1 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明 方法叫做数学归纳法 小题能否全取 1 用数学归纳法证明 3n n3 n N N n 3 第一步应验证 A n 1 B n 2 C n 3 D n 4 答案 C 2 教材习题改编 已知n为正偶数 用数学归纳法证明 1 2 1 2 1 3 1 4 1 n 时 若已假设n k k 2 且k为偶数 时命题为真 则还需要用归纳 1 n 2 1 n 4 1 2n 假设再证 A n k 1 时等式成立 B n k 2 时等式成立 C n 2k 2 时等式成立 D n 2 k 2 时等式成立 解析 选 B 因为n为偶数 故假设n k成立后 再证n k 2 时等式成立 3 已知f n 则 1 n 1 n 1 1 n 2 1 n2 A f n 中共有n项 当n 2 时 f 2 1 2 1 3 B f n 中共有n 1 项 当n 2 时 f 2 1 2 1 3 1 4 C f n 中共有n2 n项 当n 2 时 f 2 1 2 1 3 2 D f n 中共有n2 n 1 项 当n 2 时 f 2 1 2 1 3 1 4 解析 选 D 由f n 可知 共有n2 n 1 项 且n 2 时 f 2 1 2 1 3 1 4 4 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 1 2n 2 1 n N N 的过程中 在验证n 1 时 左端计算所得的项为 答案 1 2 22 5 用数学归纳法证明 1 1 由n k k 1 不等式成立 1 2 1 3 1 2n 1 推证n k 1 时 左边应增加的项的项数是 解析 当n k时 不等式为 1 n N N 成立 其初始值最小应 1 2 1 4 1 2n 1 127 64 取 A 7 B 8 C 9 D 10 解析 选 B 可逐个验证 n 8 成立 3 2013 海南三亚二模 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 1 2n 1 n N N 8 的过程中 第二步n k时等式成立 则当n k 1 时 应得到 A 1 2 22 2k 2 2k 1 2k 1 1 B 1 2 22 2k 2k 1 2k 1 2k 1 C 1 2 22 2k 1 2k 1 2k 1 1 D 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 1 解析 选 D 由条件知 左边是从 20 21一直到 2n 1都是连续的 因此当n k 1 时 左边应为 1 2 22 2k 1 2k 而右边应为 2k 1 1 4 凸n多边形有f n 条对角线 则凸 n 1 边形的对角线的条数f n 1 为 A f n n 1 B f n n C f n n 1 D f n n 2 解析 选 C 边数增加 1 顶点也相应增加 1 个 它与和它不相邻的n 2 个顶点连接 成对角线 原来的一条边也成为对角线 因此 对角线增加n 1 条 5 在数列 an 中 a1 且Sn n 2n 1 an 通过求a2 a3 a4 猜想an的表达式 1 3 为 A B 1 n 1 n 1 1 2n 2n 1 C D 1 2n 1 2n 1 1 2n 1 2n 2 解析 选 C 由a1 Sn n 2n 1 an求得a2 a3 a4 1 3 1 15 1 3 5 1 35 1 5 7 猜想an 1 63 1 7 9 1 2n 1 2n 1 6 下列代数式 其中k N N 能被 9 整除的是 A 6 6 7k B 2 7k 1 C 2 2 7k 1 D 3 2 7k 解析 选 D 1 当k 1 时 显然只有 3 2 7k 能被 9 整除 2 假设当k n n N N 时 命题成立 即 3 2 7n 能被 9 整除 那么 3 2 7n 1 21 2 7n 36 这就是说 k n 1 时命题也成立 由 1 2 可知 命题对任何k N N 都成立 7 2012 徐州模拟 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 当第二步假设n 2k 1 k N N 命题为真时 进而需证n 时 命题亦真 解析 n为正奇数 假设n 2k 1 成立后 需证明的应为n 2k 1 时成立 答案 2k 1 9 8 2012 济南模拟 用数学归纳法证明 1 2 3 n2 则当n k 1 n4 n2 2 时左端应在n k的基础上加上的项为 解析 当n k时左端为 1 2 3 k k 1 k 2 k2 则当n k 1 时 左端为 1 2 3 k2 k2 1 k2 2 k 1 2 故增加的项为 k2 1 k2 2 k 1 2 答案 k2 1 k2 2 k 1 2 9 设数列 an 的前n项和为Sn 且对任意的自然数n都有 Sn 1 2 anSn 通过计 算S1 S2 S3 猜想Sn 解析 由 S1 1 2 S得 S1 2 1 1 2 由 S2 1 2 S2 S1 S2得 S2 2 3 由 S3 1 2 S3 S2 S3得 S3 3 4 猜想Sn n n 1 答案 n n 1 10 用数学归纳法证明 12 32 52 2n 1 2 n 4n2 1 1 3 证明 1 当n 1 时 左边 12 1 右边 1 4 1 1 等式成立 1 3 2 假设当n k k N N 时等式成立 即 12 32 52 2k 1 2 k 4k2 1 1 3 则当n k 1 时 12 32 52 2k 1 2 2k 1 2 k 4k2 1 2k 1 1 3 2 k 4k2 1 4k2 4k 1 1 3 k 4 k 1 2 1 k 4 2k 1 4k2 4k 1 1 3 1 3 k 4 k 1 2 1 12k2 12k 3 8k2 4k 1 3 1 3 k 4 k 1 2 1 4 k 1 2 1 1 3 1 3 10 k 1 4 k 1 2 1 1 3 即当n k 1 时等式也成立 由 1 2 可知 对一切n N N 等式都成立 11 已知点Pn an bn 满足an 1 an bn 1 bn 1 n N N 且点P1的坐标为 bn 1 4a2n 1 1 1 求过点P1 P2的直线l的方程 2 试用数学归纳法证明 对于n N N 点Pn都在 1 中的直线l上 解 1 由题意得a1 1 b1 1 b2 a2 1 P2 1 1 4 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 直线l的方程为 即 2x y 1 y 1 1 3 1 x 1 1 3 1 2 当n 1 时 2a1 b1 2 1 1 1 成立 假设n k k 1 且k N N 时 2ak bk 1 成立 则 2ak 1 bk 1 2ak bk 1 bk 1 2ak 1 bk 1 4a2k 1 bk 1 2ak 1 2ak 1 2ak 当n k 1 时 2ak 1 bk 1 1 也成立 由 知 对于n N N 都有 2an bn 1 即点Pn在直线l上 12 设数列 an 的前n项和为Sn 且方程x2 anx an 0 有一根为 Sn 1 n 1 2 3 1 求a1 a2 2 猜想数列 Sn 的通项公式 并给出严格的证明 解 1 当n 1 时 x2 a1x a1 0 有一根为S1 1 a1 1 于是 a1 1 2 a1 a1 1 a1 0 解得a1 1 2 当n 2 时 x2 a2x a2 0 有一根为S2 1 a2 于是 1 2 2 a2 a2 0 解得a2 a2 1 2 a2 1 2 1 6 2 由题设 Sn 1 2 an Sn 1 an 0 即S 2Sn 1 anSn 0 2n 11 当n 2 时 an Sn Sn 1 代入上式得Sn 1Sn 2Sn 1 0 由 1 得S1 a1 1 2 S2 a1 a2 1 2 1 6 2 3 由 可得S3 由此猜想Sn n 1 2 3 3 4 n n 1 下面用数学归纳法证明这个结论 n 1 时已知结论成立 假设n k k 1 k N N 时结论成立 即Sk k k 1 当n k 1 时 由 得Sk 1 1 2 Sk 即Sk 1 故n k 1 时结论也成立 k 1 k 2 综上 由 可知Sn 对所有正整数n都成立 n n 1 1 利用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n N N 时 从 n k 变到 n k 1 时 左边应增乘的因式是 A 2k 1 B 2 2k 1 C D 2k 1 k 1 2k 3 k 1 解析 选 B 当n k k N N 时 左式为 k 1 k 2 k k 当n k 1 时 左式为 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 则左边应增乘的式子是 2 2k 1 2k 1 2k 2 k 1 2 对大于或等于 2 的自然数 m的n 次方幂有如下分解方式 22 1 3 32 1 3 5 42 1 3 5 7 23 3 5 33 7 9 11 43 13 15 17 19 根据上述分解规律 若n2 1 3 5 19 m3 m N N 的分解中最小的数是 21 则 m n的值为 12 解析 依题意得 n2 100 n 10 易知 10 1 19 2 m3 21m 2 整理得 m 5 m 4 0 又 m N N 所以 m 5 所以m n 15 m m 1 2 答案 15 3 已知f n 1 g n n N N 1 23 1 33 1 43 1 n3 3 2 1 2n2 1 当n 1 2 3 时 试比较f n 与g n 的大小关系 2 猜想f n 与g n 的大小关系 并给出证明 解 1 当n 1 时 f 1 1 g 1 1 所以f 1 g 1 当n 2 时 f 2 g 2 9 8 11 8 所以f 2 g 2 当n 3 时 f 3 g 3 251 216 312 216 所以f 3 g 3 2 由 1 猜想f n g n 下面用数学归纳法给出证明 当n 1 2 3 时 不等式显然成立 假设当n k k 3 k N N 时不等式成立 即 1 那么 当n k 1 时 1 23 1 33 1 43 1 k3 3 2 1 2k2 f k 1 f k 1 k 1 3 3 2 1 2k2 1 k 1 3 因为 0 1 2 k 1 2 1 2k2 1 k 1 3 k 3 2 k 1 3 1 2k2 3k 1 2 k 1 3k2 所以f k 1 g k 1 3 2 1 2 k 1 2 由 可知 对一切n N N 都有f n g n 成立 1 用数学归纳法证明an 1 a 1 2n 1 n N N 能被a2 a 1 整除 证明 1 当n 1 时 a2 a 1 a2 a 1 可被a2 a 1 整除 2 假设n k k 1 k N N 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1 整除 则当n k 1 时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 13 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由假设可知a ak 1 a 1 2k 1 能被a2 a 1 整除 a2 a 1 a 1 2k 1也能被 a2 a 1 整除 ak 2 a 1 2k 1也能被a2 a 1 整除 即n k 1 时命题也成立 由 1 2 知 对任意n N N 原命题成立 2 在数列 an 中 a1 1 an 1 can cn 1 2n 1 n N N 其中c 0 求数列 an 的 通项公式 解 由a1 1 a2 ca1 c2 3 3c2 c 22 1 c2 c a3 ca2 c3 5 8c3 c2 32 1 c3 c2 a4 ca3 c4 7 15c4 c3 42 1 c4 c3 猜测an n2 1 cn cn 1 n N N 下面用数学归纳法证明 当n 1 时 等式成立 假设当n k时 等式成立 即ak k2 1 ck ck 1 则当n k 1 时 ak 1 cak ck 1 2k 1 c k2 1 ck ck 1 ck 1 2k 1 k2 2k ck 1 ck k 1 2 1 ck 1 ck 综上 an n2 1 cn cn 1对任何n N N 都成立 不等式 推理与证明 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 不等式 0 的解集是 x 2 x 1 A 1 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 解析 选 B 0 1 x 2 x 2 x 1 2 把下面在平面内成立的结论类比推广到空间 结论还正确的是 14 A 如果一条直线与两条平行线中的一条相交 则也与另一条相交 B 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直 则也与另一条垂直 C 如果两条直线没有公共点 则这两条直线平行 D 如果两条直线同时与第三条直线垂直 则这两条直线平行 解析 选 B 由空间立体几何的知识可知 B 正确 3 2012 保定模拟 已知a b 则下列不等式成立的是 A a2 b2 0 B ac bc C ac2 bc2 D 2a 2b 解析 选 D A 中 若a 1 b 2 则a2 b2 0 不成立 当c 0 时 B C 不成 立 由a b知 2a 2b成立 4 若规定 ad bc 则不等式 0 1 的解集是 a b c d x 1 1 x A 1 1 B 1 0 0 1 C 1 1 D 1 222 解析 选 C 由题意可知 0 x2 1 1 1 x2 2 1 x x 1 或 22 1 x 2 5 2012 天津高考 设变量x y满足约束条件Error 则目标函数z 3x 2y的最小 值为 A 5 B 4 C 2 D 3 解析 选 B 不等式表示的平面区域是如图所示的阴影部分 作辅助线 l0 3x 2y 0 结合图形可知 当直线 3x 2y z平移到过点 0 2 时 z 3x 2y的值 最小 最小值为 4 6 设a R R 则 0 是 a 1 成立的 a 1 a2 a 1 A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既非充分也非必要条件 解析 选 C 因为a2 a 1 2 0 所以由 0 得a 1 不能得 a 1 2 3 4 3 4 a 1 a2 a 1 知 a 1 反过来 由 a 1 得 1 a 1 所以 0 因此 0 是 a 1 a2 a 1 a 1 a2 a 1 15 a 1 成立的必要不充分条件 7 设M 且a b c 1 a b c均为正数 由综合法得M的取 1 a 1 1 b 1 1 c 1 值范围是 A B 0 1 8 1 8 1 C 1 8 D 8 解析 选 D 由a b c 1 M 8 当且仅当a b c时取等号 b a c a a b c b a c b c 8 如果a b c满足c b a 且ac 0 那么下列选项中不一定成立的是 A ab ac B c b a 0 C cb2 ab2 D ac a c 0 解析 选 C 由题意知c 0 a 0 则 A 一定正确 B 一定正确 D 一定正确 当 b 0 时 C 不正确 9 已知函数f x Error 则f f x 1 的充要条件是 A x 2 B x 4 2 C x 1 4 2 D x 4 2 解析 选 D 当x 0 时 f f x 1 所以x 4 当x 0 时 f f x 1 x 4 x2 2 所以x2 2 解得x 舍去 或x 因此f f x 1 的充要条件是x 22 4 2 10 2012 山西省四校联考 设实数x y满足约束条件Error 若目标函数 z abx y a 0 b 0 的最大值为 13 则a b的最小值为 A 2 B 4 C 6 D 8 解析 选 C 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线abx y 0 平 移该直线 当平移到经过该平面区域内的点 1 4 时 相应直线在y轴上的截距达到最大 16 此时目标函数z abx y a 0 b 0 取得最大值 依题意有ab 1 4 13 即ab 9 其中a 0 b 0 a b 2 2 6 当且仅当a b 3 时取等号 因此a b的最小 ab9 值为 6 11 已知M是 ABC内的一点 且 2 BAC 30 若 MBC MCAAB AC 3 和 MAB的面积分别是 x y 则 的最小值是 1 2 1 x 4 y A 9 B 18 C 16 D 20 解析 选 B cos 30 2 AB AC AB AC 3 4 S ABC 4 sin 30 1 AB AC 1 2 x y 1 即 2 x y 1 1 2 2 x y 1 x 4 y 1 x 4 y 2 2 5 y x 4x y 5 2 y x 4x y 2 5 4 18 当且仅当y 2x 即x y 时等号成立 1 6 1 3 12 2012 湖南高考 设a b 1 c acloga b c c a c b 其中所有的正确结论的序号是 A B C D 解析 选 D 由a b 1 c 0 得 幂函数y xc c 0 是减函数 所以 1 a 1 b c a c b acb c 所以 logb a c loga a c loga b c 均正确 二 填空题 本题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 13 文 若不等式 4 2x 3 4 与不等式x2 px q 0 的解集相同 则 p q 解析 由 4 2x 3 4 得 x 1 2 7 2 由题意得 p q 7 2 1 2 1 2 7 2 17 即p 3 q 7 4 p q 12 7 答案 12 7 13 理 若f n 12 22 32 2n 2 则f k 1 与f k 的递推关系式是 解析 f k 12 22 2k 2 f k 1 12 22 2k 2 2k 1 2 2k 2 2 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 答案 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 14 2012 福州模拟 如图 一个类似杨辉三角的递推式 则第n行的首尾两个数均 为 第n行的第 2 个数为 解析 每行的第一个数可构成数列 1 3 5 7 9 是以 1 为首项 以 2 为公差的等差数列 故第n行第一个数为 1 2 n 1 2n 1 从第 2 行起 每行的第 2 个数可构成数列 3 6 11 18 可得 a3 a2 3 a4 a3 5 a5 a4 7 an an 1 2n 3 其中n为行数 以上各式两边分别相加 可得 an 3 5 7 2n 3 a2 3 n2 2n 3 n 2 3 2n 3 2 答案 2n 1 n2 2n 3 15 2012 浙江调研 已知实数x y满足Error 若 1 0 是使ax y取得最大值的 可行解 则实数a的取值范围是 解析 题中不等式组表示的平面区域如图中阴影所示 令z ax y 则y ax z 因为 1 0 是使ax y取得最大值的可行解 所以结合图形可知 a 2 即a 2 答案 2 16 2012 北京西城模拟 设 0 不等式组Error 所表示的平面区域是W 给出下 列三个结论 当 1 时 W的面积为 3 0 使W是直角三角形区域 18 设点P x y P W有x 4 y 其中 所有正确结论的序号是 解析 当 1 时 不等式组变成Error 其表示以点 0 0 2 2 2 1 为顶点 的三角形区域 易得W的面积为 3 正确 直线 x y 0 的斜率为 直线x 2 y 0 的斜率为 1 且直线x 2 垂直于x轴 1 2 1 2 1 2 W不可能成为直角三角形区域 错误 显然 不等式组Error 表示的区域是以点 0 0 2 2 为顶点的三角形 2 1 区域 令z x 则其在三个点处的值依次为 0 4 2 z x 的最大值 y 1 2 y zmax 4 正确 答案 三 解答题 本题共 6 小题 共 70 分 17 本小题满分 10 分 已知集合A x x2 4 B Error 1 求集合A B 2 若不等式 2x2 ax b 0 的解集为B 求a b的值 解 1 A x 2 x 2 1 1 0 0 3 x 1 4 x 3 4 x 3 x 1 x 3 B x 3 x 1 A B x 2 x 1 2 由 1 及题意知 不等式 2x2 ax b 0 的解集为 3 1 3 1 3 1 a 2 b 2 a 4 b 6 18 本小题满分 12 分 已知x 0 y 0 且 2x 8y xy 0 求 1 xy的最小值 2 x y的最小值 解 x 0 y 0 2x 8y xy 0 1 xy 2x 8y 2 16xy 8 xy xy 64 故xy的最小值为 64 19 2 由 2x 8y xy 得 1 2 y 8 x 则x y x y 1 x y 2 y 8 x 10 10 8 18 2x y 8y x 故x y的最小值为 18 19 本小题满分 12 分 已知函数f x x2 ax b a b R R 1 若对任意的实数x 都有f x 2x a 求b的取值范围 2 当x 1 1 时 f x 的最大值为M 求证 M b 1 解 1 对任意的x R R 都有f x 2x a 对任意的x R R x2 a 2 x b a 0 a 2 2 4 b a 0 b 1 b 1 a2 4 a R R b 1 即b的取值范围为 1 2 证明 f 1 1 a b M f 1 1 a b M 2M 2b 2 即M b 1 20 本小题满分 12 分 在数列 an 中 a1 1 当n 2 时 其前n项和Sn满足 S an 2n Sn 1 2 1 求 并求 不需证明 1 S2 1 S3 1 S4 1 Sn 2 求数列 an 的通项公式 解 1 当n 2 时 由an Sn Sn 1和S an 2n Sn 1 2 得S S2 S1 2 2 S2 1 2 得 2 3 1 S2 1 2S1 S1 1 1 由S S3 S2 2 3 S3 1 2 得 2 5 1 S3 1 S2 由S S4 S3 2 4 S4 1 2 得 2 7 1 S4 1 S3 20 由S Sn Sn 1 得 2n Sn 1 2 2 2n 1 1 Sn 1 Sn 1 2 由 1 知 Sn 当n 2 时 an Sn Sn 1 1 2n 1 1 2n 1 1 2n 3 2 2n 1 2n 3 显然 a1 1 不符合上述表达式 所以数列 an 的通项公式为 an Error 21 本小题满分 12 分 2012 福州质检 某书商为提高某套丛书的销量 准备举办一 场展销会 据市场调查 当每套丛书售价定为x元时 销售量可达到 15 0 1x万套 现出 版社为配合该书商的活动 决定进行价格改革 将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮