2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷(文科)

第 1 页 共 24 页 2018 年河南省洛阳市高考数学一模试卷 文科 年河南省洛阳市高考数学一模试卷 文科 一 选择题 一 选择题 本大题共本大题共 12 小题小题 每小题每小题 5 分 共分 共 60 分 在每个小题给出的四分 在每个小题给出的四 个选项中 只有项是符合题目要求的 个选项中 只有项是符合题目要求的 1 5 分 已知集合 A x 2x 1 1 B y y 则 A B A 1 0 B 1 1 C 0 1 D O 1 2 5 分 复数 1 i 3 i 是虚数单位 化简的结果是 A 8B 8C 8iD 8i 3 5 分 为了规定学校办学 省电教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查 抽查到班级一共有 52 名学生 现将该班学生随机编号 用系统抽样的方法 抽取一个容量为 4 的样本 已知 7 号 33 号 46 号同学在样本中 那么样 本中还有一位同学的编号应是 A 13B 19C 20D 52 4 5 分 已知等比数列 an a2 a5 则数列 log2an 的前 10 项之和是 A 45B 35C 55D 55 5 5 分 若 x m 是 x2 3x 2 0 的必要不充分条件 则实数 m 的取值范围是 A 1 B 2 C 1 D 2 6 5 分 阅读如图所示的程序框图 若输入 a 则输出的 k 值是 第 2 页 共 24 页 A 9B 10C 11D 12 7 5 分 一个几何体的侧视图如图所示 若该几何体的体积为 则它的正视 图为 A B C D 第 3 页 共 24 页 8 5 分 函数 f x eln x 2sinx 的图象大致是 A B C D 9 5 分 若函数 f x 的最小值为 f 0 则实数 a 的取值 范围 A 1 2 B 1 0 C 1 2 D 0 2 10 5 分 已知 x y 满足约束条件 目标函数 z 2x 3y 的最大值 是 2 则实数 a A B 1C D 4 第 4 页 共 24 页 11 5 分 在封闭的直三棱柱 ABC A1B1C1内有一个体积为 V 的球 若 AB BC AB 6 BC 8 AA1 3 则 V 的最大值是 A 4 B C 6 D 12 5 分 定义在 R 上的函数 f x 的导函数为 f x f 0 0 若对任意 x R 都有 f x f x 1 则使得 f x ex 1 成立的 x 的取值范围为 A 0 B 0 C 1 D 1 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 13 5 分 若实数 a b 满足 则 ab 的最小值为 14 5 分 如图所示 已知点 G 是 ABC 的重心 过点 G 作直线与 AC 两边分 别交于 M N 两点 且 x y 则 x 2y 的最小值为 15 5 分 双曲线 C 1 a 0 b 0 的左焦点为 F 若 F 关于直线 y 0 的对称点 A 是双曲线 C 上的点 则双曲线 C 的离心率为 16 5 分 已知函数 f x x a 1 lnx a R 且 a 1 g x x2 ex xex 若存在 x1 e e2 使得对任意 x2 2 0 f x1 g x2 恒成立 则 a 的取值范围是 三 解答题 共三 解答题 共 5 小题 总计小题 总计 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 骤 17 12 分 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 a b c 依次成 等差数列 1 若向量 3 sinB 与 2 sinC 共线 求 cosA 的值 第 5 页 共 24 页 2 若 ac 8 求 ABC 的面积 S 的最大值 18 12 分 某省 2016 年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制 发布 某省 2016 年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制 发布成绩使用 等级制 各等级划分标准为 85 分及以上 记为 A 等 分数在 70 85 内 记为 B 等 分数在 60 70 内 记为 C 等 60 分以下 记为 D 等 同时认 定 A B C 为合格 D 为不合格 已知甲 乙两所学校学生的原始成绩均分 布在 50 100 内 为了比较两校学生的成绩 分别抽取 50 名学生的原始成 绩作为样本进行统计 按照 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图 1 所示 乙校的样本 中等级为 C D 的所有数据的茎叶图如图 2 所示 1 求图 2 中 x 的值 并根据样本数据比较甲乙两校的合格率 2 在乙校的样本中 从成绩等级为 C D 的学生中随机抽取两名学生进行调 研 求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为 D 的概率 19 12 分 在如图所示的几何体中 面 CDEF 为正方形 面 ABCD 为等腰梯形 AB CD AB 2BC 2 AC FB 求证 AC 平面 FBC 求四面体 FBCD 的体积 线段 AC 上是否存在点 M 使 EA 平面 FDM 证明你的结论 第 6 页 共 24 页 20 12 分 已知点 M N 分别是椭圆的左右顶点 F 为其右焦点 MF 与 FN 的等比中项是 椭圆的离心率为 1 求椭圆 C 的方程 2 设不过原点 O 的直线 l 与该轨迹交于 A B 两点 若直线 OA AB OB 的 斜率依次成等比数列 求 OAB 面积的取值范围 21 12 分 已知 a R 函数 f x ex ax 1 若函数 f x 在区间 e 1 上是减函数 求实数 a 的取值范围 2 若函数 F x f x ex 2ax 2lnx a 在区间 0 内无零点 求实 数 a 的最大值 选修选修 4 4 参数方程与极坐标系 参数方程与极坐标系 22 10 分 在极坐标系中 已知圆 C 的圆心 C 半径 r 求圆 C 的极坐标方程 若 0 直线 l 的参数方程为 t 为参数 直线 l 交 圆 C 于 A B 两点 求弦长 AB 的取值范围 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 设函数 f x 2x 1 x 2 1 解不等式 f x 0 2 若 x0 R 使得 f x0 2m2 4m 求实数 m 的取值范围 第 7 页 共 24 页 2018 年河南省洛阳市高考数学一模试卷 文科 年河南省洛阳市高考数学一模试卷 文科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 一 选择题 本大题共本大题共 12 小题小题 每小题每小题 5 分 共分 共 60 分 在每个小题给出的四分 在每个小题给出的四 个选项中 只有项是符合题目要求的 个选项中 只有项是符合题目要求的 1 分析 可解出集合 A B 然后进行交集的运算即可 解答 解 A x x 1 B y y 0 A B 0 1 故选 D 点评 考查描述法 区间表示集合的概念 指数函数的单调性 交集的概念 及运算 2 分析 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解答 解 1 i 3 1 8 故选 A 点评 本题考查复数代数形式的乘除运算 是基础题 3 分析 根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则 构造一个等差数列 将四个学生的号码从小到大成等差数列 建立等式关系 解之即可 解答 解 用系统抽样抽出的四个学生的号码从小到大 7 33 46 成 等差数列 因此 另一学生编号为 7 46 33 20 故选 C 第 8 页 共 24 页 点评 系统抽样过程中 每个个体被抽取的可能性是相等的 系统抽样的原 则是等距 抓住这一原则构造等差数列 是我们常用的方法 4 分析 设等比数列 an 的公比为 q 由 a2 a5 可得 a1q 联立解得 q a1 可得 an log2an 即可得出数列 log2an 的前 10 项之和 解答 解 设等比数列 an 的公比为 q a2 a5 a1q 解得 q a1 an log2an n 数列 log2an 的前 10 项之和 1 2 10 55 故选 D 点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式求和公式 对数运算性质 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 5 分析 求出不等式的等价条件 结合充分条件和必要条件的定义进行求解即 可 解答 解 由 x2 3x 2 0 得 1 x 2 若 x m 是 x2 3x 2 0 的必要不充分条件 则 m 1 即实数 m 的取值范围是 1 故选 C 点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用 结合不等式的关系是解决 本题的关键 第 9 页 共 24 页 6 分析 根据程序框图的流程 计算运行 n 次的结果 根据输入 a 判断 n 满足的条件 从而求出输出的 k 值 解答 解 由程序框图知第一次运行 s 0 k 2 第二次运行 s 0 k 3 第 n 次运行 s 0 1 1 当输入 a 时 由 n a 得 n 9 程序运行了 10 次 输出的 k 值为 11 故选 C 点评 本题考查了直到型循环结构的程序框图 由程序框图判断程序运行的 功能 用裂项相消法求和是解答本题的关键 7 分析 首先画出几何体的复原图 进一步整理出几何体的正视图 解答 解 根据三视图中的侧视图和俯视图 得知 该几何体为上边是一个直三棱锥 下边是一个正方体 所以 第 10 页 共 24 页 如图所示 其中左边的方向应该朝里边 故选 B 点评 本题考查的知识要点 三视图的应用 8 分析 由已知中函数 f x eln x 2sinx 分类讨论函数的单调性及极值 利 用排除法可得答案 解答 解 当 x 0 时 f x eln x 2sinx x 2sinx f x 1 2cosx 当 x 0 时 f x 0 函数为减函数 故排除 AC 当 x 0 时 f x eln x 2sinx x 2sinx f x 1 2cosx 当 x 0 时 f x 0 函数为减函数 当 x 时 f x 0 函数为增函数 故当 x 时 函数取极大值此时 f x 故当 x 时 函数取极小值此时 f x 故排除 D 故选 B 第 11 页 共 24 页 点评 本题考查的知识点是函数的图象 利用导数法研究函数的图象和性质 难度中档 9 分析 由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值 从而可得 2 a a2 又 a 0 从而解得 a 的范围 解答 解 当 x 0 时 f x x a 2 a 当且仅当 x 即 x 1 时 等号成立 故当 x 1 时取得最小值 2 a f 0 是函数 f x 的最小值 当 x 0 时 f x x a 2单调递减 故 a 0 此时的最小值为 f 0 a2 故 2 a a2 解得 21 a 2 又 a 0 可得 0 a 2 故选 D 点评 本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法 注意运用基本 不等式和二次函数的单调性 属于中档题 10 分析 先作出不等式组的可行域 利用目标函数 z 2x 3y 的最大值为 2 求出 交点坐标 代入 ax y 4 0 求解即可 解答 解 先作出约束条件的可行域如图 目标函数 z 2x 3y 的最大值是 2 第 12 页 共 24 页 由图象知 z 2x 3y 经过平面区域的 A 时目标函数取得最大值 2 由 解得 A 4 2 同时 A 4 2 也在直线 ax y 4 0 上 4a 2 则 a 故选 A 点评 本题主要考查线性规划的应用 利用数形结合以及目标函数的意义是 解决本题的关键 11 分析 根据已知可得直三棱柱 ABC A1B1C1的内切球半径为 代入球的体积 公式 可得答案 解答 解 AB BC AB 6 BC 8 AC 10 故三角形 ABC 的内切圆半径 r 2 又由 AA1 3 故直三棱柱 ABC A1B1C1的内切球半径为 此时 V 的最大值 第 13 页 共 24 页 故选 B 点评 本题考查的知识点是棱柱的几何特征 根据已知求出球的半径 是解 答的关键 12 分析 构造函数 g x g 0 1 对任意 x R 都有 f x f x 1 可得 g x 0 函数 g x 在 R 单调 递减 利用其单调性即可得出 解答 解 构造函数 g x g 0 1 对任意 x R 都有 f x f x 1 g x 0 函数 g x 在 R 单调递减 由 f x ex 1 化为 g x 1 g 0 x 0 使得 f x ex 1 成立的 x 的取值范围为 0 故选 A 点评 本题考查了构造函数法 利用导数研究函数的单调性极值与最值 不 等式的解法 考查了推理能力与计算能力 属于难题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 13 分析 利用基本不等式的性质即可得出 解答 解 实数 a b 满足 a b 0 且 解得 ab 2 当且仅当 b 2a 时取等 号 第 14 页 共 24 页 则 ab 的最小值 2 故答案为 2 点评 本题考查了基本不等式的性质 考查了推理能力与计算能力 属于基 础题 14 分析 由 M N G 三点共线和 ABC 的重心性质 求得 x 与 y 的关系式 再利用换元法建立 x 2y 的解析式 利用基本不等式求得它的最小值 解答 解 由 M N G 三点共线 又点 G 是 ABC 的重心 x y 解得 3x 1 3y 1 1 结合图形知 x 1 y 1 令 3x 1 m 3y 1 n m 2 n 2 故 mn 1 x y 故 x 2y 2 1 2 1 1 当且仅当 即 m n 时 等号成立 x 2y 的最小值为 1 第 15 页 共 24 页 故答案为 1 点评 本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题 也考查了基 本不等式在求最值中的应用问题 15 分析 求出 A 点坐标 代入双曲线方程化简得出 a b c 的关系 得出离心 率 解答 解 设 F c 0 关于直线x y 0 的对称点为 A x0 y0 则 且 解得 x0 y0 代入双曲线 C 的方程可得 即 令 a 1 解得 c2 4 2 c 或 c 舍 e 故答案为 点评 本题考查了双曲线的性质 点关于直线的对称问题 属于中档题 16 分析 存在 x1 e e2 使得对任意的 x2 2 0 f x1 g x2 恒成立 即 f x min g x min 由 f x 在 e e2 上递增 可得 f x min 利用 导数可判断 g x 在 2 0 上的单调性 可得 g x min 由 f x min g x min 可求得 a 的范围 解答 解 f x 的定义域为 0 f x a R 第 16 页 共 24 页 当 a 1 时 x e e2 f x 0 f x 为增函数 所以 f x min f e e a 1 若存在 x1 e e2 使得对任意的 x2 2 0 f x1 g x2 恒成立 即 f x min g x min g x x ex xex ex x 1 ex 当 x 2 0 时 g x 0 g x 为减函数 g x min g 0 1 e a 1 1 a a 1 故答案为 1 点评 本题考查利用导数研究函数的单调性 求闭区间上函数的最值 考查 分类讨论思想 考查学生分析解决问题的能力 恒成立问题往往转化为函数 的最值加以解决 三 解答题 共三 解答题 共 5 小题 总计小题 总计 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 骤 17 分析 1 首先利用等差数列求出边长的关系式 进一步利用正弦定理和余 弦定理的应用求出结果 2 利用余弦定理的基本不等式求出 sinB 的范围 进一步利用三角形的面积 公式求出结果 解答 解 1 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 a b c 依次成等差数列 则 2b a c 向量 3 sinB 与 2 sinC 共线 则 3sinC 2sinB 利用正弦定理得 3c 2b 故 a 2c b 第 17 页 共 24 页 所以 cosA 2 由于 2b a c 则 cosB 由于 0 B 则 所以 故 三角形面积的最大值为 点评 本题考查的知识要点 向量的数量积的应用 余弦定理和正弦定理的 应用及三角形的面积公式的应用 18 分析 由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1 能求出 x 0 004 从 而得到甲学校的合格率 由此能求出结果 由题意 将乙校样本中成绩等级为 C D 的 6 名学生记为 C1 C2 C3 C4 D1 D2 由此利用列举法能求出随机抽取 2 名学生 抽出 的两名学生中至少有一名学生成绩等级为 D 的概率 解答 解 由题意知 10 x 0 012 10 0 056 10 0 018 10 0 010 10 1 解得 x 0 004 甲学校的合格率为 1 10 0 004 0 96 而乙学校的合格率为 1 0 96 故甲乙两校的合格率相同 由题意 将乙校样本中成绩等级为 C D 的 6 名学生记为 C1 C2 C3 C4 D1 D2 则随机抽取 2 名学生的基本事件有 C1 C2 C1 C3 C1 C4 C1 D1 C1 D2 C2 C3 C2 C4 C2 D1 第 18 页 共 24 页 C2 D2 C3 C4 C3 D1 C3 D2 C4 D1 C4 D2 D1 D2 共 15 个 其中 抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为 D 包含的基本事件有 9 个 抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为 D 的概率 p 点评 本题考查频率分布直方图的应用 考查概率的求法 是基础题 解题 时要认真审题 注意列举法的合理运用 19 分析 利用勾股定理的逆定理即可得到 AC CB 又 AC FB 利用线面 垂直的判定定理即可证明 利用 的结论可得 AC CF 又 CF CD 利用线面垂直的判定定理 即可得出 FC 平面 ABCD 利用等腰梯形的性质即可得出 BCD 的面积 利 用三棱锥的体积公式即可得出 线段 AC 上存在点 M 且 M 为 AC 中点时 有 EA 平面 FDM 利用正方 形的性质 三角形的中位线定理 线面平行的判定定理即可证明 解答 证明 在 ABC 中 AB 2 BC 1 AC2 BC2 AB2 AC BC 又 AC FB BF CB B AC 平面 FBC 解 AC 平面 FBC AC FC CD FC FC 平面 ABCD 在 Rt ACB 中 CAB 30 在等腰梯形 ABCD 中可得 ABD CDB CBD 30 CB DC 1 FC 1 第 19 页 共 24 页 BCD 的面积 S 四面体 FBCD 的体积为 解 线段 AC 上存在点 M 且 M 为 AC 中点时 有 EA 平面 FDM 证明 如下 连接 CE 与 DF 交于点 N 连接 MN 由 CDEF 为正方形 得 N 为 CE 中点 EA MN MN 平面 FDM EA 平面 FDM EA 平面 FDM 所以线段 AC 上存在点 M 使得 EA 平面 FDM 成立 点评 熟练掌握勾股定理的逆定理 线面垂直的判定定理 等腰梯形的性质 三棱锥的体积公式 正方形的性质 三角形的中位线定理 线面平行的判定 定理是解题的关键 20 分析 1 利用 MF a c BN a c 是 MF 与 FN 的等比中项 得到 a c a c 3 结合椭圆的离心率求解即可 2 直线 l 的斜率存在且不为 0 设直线 l y kx m m 0 A x1 y1 B x2 y2 联立直线和椭圆 消去 y 可得 3 4k2 x2 8kmx 4m2 12 0 利 用判别式以及韦达定理 通过 OA AB OB 的斜率依次成等比数列 推出 m2 4k2 3 0 求出 0 m2 6 且 m2 3 然后求解三角形的面 积的表达式 求解范围即可 第 20 页 共 24 页 解答 解 1 解 MF a c BN a c 是 MF 与 FN 的等比中项 a c a c 3 b2 a2 c2 3 又 解得 a 2 c 1 椭圆 C 的方程为 2 由题意可知 直线 l 的斜率存在且不为 0 故可设直线 l y kx m m 0 A x1 y1 B x2 y2 联立直线和椭圆 消去 y 可得 3 4k2 x2 8kmx 4m2 12 0 由题意可知 64km 4 4k2 3 4m2 12 48 4k2 m2 3 0 即 4k2 3 m2 且 又直线 OA AB OB 的斜率依次成等比数列 所以 将 y1 y2代入并整理得 m2 4k2 3 0 因为 m 0 0 m2 6 且 m2 3 设 d 为点 O 到直线 l 的距离 则有 所以 所以三角形面积的取值范围为 点评 本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用 三角形 的面积的范围的求法 考查转化思想以及计算能力 21 分析 1 求出原函数的导函数 分离参数 a 由题意可得 a ex在 第 21 页 共 24 页 e 1 上恒成立 求出 ex在 e 1 上的范围得答案 2 求出函数 F x 求其导函数 F x a 可知当 a 0 时函数 F x 在区间 0 上单调递减 可得 F x F 0 函数 F x 在区间 0 上无零点 当 a 0 时 分 0 a 4 和 a 4 分类分析 求得 函数 F x 在区间 0 内无零点的 a 的范围 则答案可求 解答 解 1 f x ex ax f x ex a 函数 f x 在区间 e 1 上是减函数 f x ex a 0 在 e 1 上恒成立 a ex在 e 1 上恒成立 y ex在 e 1 上为增函数 a e 1 2 函数 F x f x ex 2ax 2lnx a ax 2lnx a x 0 F x a 当 a 0 时 F x 0 在 0 上恒成立 函数 F x 在区间 0 上单调递减 则 F x F 2ln a ln4 0 a 0 时 函数 F x 在区间 0 上无零点 当 a 0 时 令 F x 0 得 x 令 F x 0 得 x 令 F x 0 得 0 x 因此 函数 F x 的单调递增区间是 单调递减区间是 0 当 即 0 a 4 时 第 22 页 共 24 页 函数 F x 的单调递减区间是 0 F x F a 2ln a ln4 要使函数 F x 在区间 0 内无零点 则 ln4 0 得 a 4ln2 ii 当 即 a 4 时 函数 F x 的单调递减区间是