【三维设计】2013届高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第八章 古典概型教学案 新人教A版

1 古古 典典 概概 型型 知识能否忆起 一 基本事件的特点 1 任何两个基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 二 古典概型的两个特点 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 即有限性 2 每个基本事件出现的可能性相等 即等可能性 提示 确定一个试验为古典概型应抓住两个特征 有限性和等可能性 三 古典概型的概率公式 P A A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 小题能否全取 1 教材习题改编 从甲 乙 丙三人中任选两名代表 甲被选中的概率为 A B 1 2 1 3 C D 1 2 3 解析 选 C 基本事件总数为 甲 乙 甲 丙 乙 丙 共三种 甲被选中共 2 种 则P 2 3 2 教材习题改编 从 1 2 3 4 5 6 六个数中任取 2 个数 则取出的两个数不是连续自 然数的概率是 A B 3 5 2 5 C D 1 3 2 3 解析 选 D 从六个数中任取 2 个数有 15 种方法 取出的两个数是连续自然数有 5 种 情况 则取出的两个数不是连续自然数的概率P 1 5 15 2 3 3 甲 乙两同学每人有两本书 把四本书混放在一起 每人随机拿回两本 则甲同学 拿到一本自己书一本乙同学书的概率是 2 A B 1 3 2 3 C D 1 2 1 4 解析 选 B 记甲同学的两本书为A B 乙同学的两本书为C D 则甲同学取书的情 况有AB AC AD BC BD CD共 6 种 有一本自己的书 一本乙同学的书的取法有 AC AD BC BD共 4 种 所求概率P 2 3 4 2012 南通一调 将甲 乙两球随机放入编号为 1 2 3 的 3 个盒子中 每个盒子的 放球数量不限 则在 1 2 号盒子中各有一个球的概率为 解析 依题意得 甲 乙两球各有 3 种不同的放法 共 9 种放法 其中有 1 2 号盒子 中各有一个球的放法有 2 种 故有 1 2 号盒子中各有一个球的概率为 2 9 答案 2 9 5 教材习题改编 从 3 台甲型彩电和 2 台乙型彩电中任选两台 其中两种品牌的彩电 齐全的概率是 解析 P 3 2 10 3 5 答案 3 5 1 古典概型的判断 一个试验是否为古典概型 在于这个试验是否具有古典概型的两个特征 有限性和 等可能性 只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型 2 对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去求 简单的古典概型 典题导入 例 1 2012 安徽高考 袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球 其中有 1 个红球 2 个白球和 3 个黑球 从袋中任取两球 两球颜色为一白一黑的概率等于 A B 1 5 2 5 3 C D 3 5 4 5 自主解答 文 设袋中红球用a表示 2 个白球分别用b1 b2表示 3 个黑球分别 用c1 c2 c3表示 则从袋中任取两球所含基本事件为 a b1 a b2 a c1 a c2 a c3 b1 b2 b1 c1 b1 c2 b1 c3 b2 c1 b1 c2 b2 c3 c1 c2 c1 c3 c2 c3 共 15 个 两球颜色为一白一黑的基本事件有 b1 c1 b1 c2 b1 c3 b2 c1 b2 c2 b2 c3 共 6 个 因此其概率为 6 15 2 5 理 从 6 个球中任取两球有 C 15 种取法 颜色一黑一白的取法有 C C 6 种 故概 2 61 2 1 3 率P 6 15 2 5 答案 B 在本例条件下 求两球不同色的概率 解 两球不同色可分三类 一红一白 一红一黑 一白一黑 故P 1 2 1 3 2 3 15 11 15 由题悟法 计算古典概型事件的概率可分三步 1 算出基本事件的总个数n 2 求出事件A所包含的基本事件个数m 3 代入公式 求出概率P 以题试法 1 数 是指每个数字比其左边的数字大的自然数 如 1 469 在两位的 数 中 任取一个数比 36 大的概率是 A B 1 2 2 3 C D 3 4 4 5 解析 选 A 在两位数中 十位是 1 的 数 有 8 个 十位是 2 的 数 有 7 个 十位是 8 的 数 有 1 个 则两位数中 数 共有 8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 比 36 大的 数 共有 3 5 4 3 2 1 18 个 故 4 在两位的 数 中任取一个数比 36 大的概率是 18 36 1 2 复杂的古典概型 典题导入 例 2 2012 江西高考 如图所示 从A1 1 0 0 A2 2 0 0 B1 0 1 0 B2 0 2 0 C1 0 0 1 C2 0 0 2 这 6 个点中随机选取 3 个点 1 求这 3 点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率 2 求这 3 点与原点O共面的概率 自主解答 文 从这 6 个点中随机选取 3 个点的所有可能结果是 x轴上取 2 个点的有A1A2B1 A1A2B2 A1A2C1 A1A2C2 共 4 种 y轴上取 2 个点的有B1B2A1 B1B2A2 B1B2C1 B1B2C2 共 4 种 z轴上取 2 个点的有C1C2A1 C1C2A2 C1C2B1 C1C2B2 共 4 种 所选取的 3 个点在不同坐标轴上有 A1B1C1 A1B1C2 A1B2C1 A1B2C2 A2B1C1 A2B1C2 A2B2C1 A2B2C2 共 8 种 因此 从这 6 个 点中随机选取 3 个点的所有可能结果共 20 种 1 选取的这 3 个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有 A1B1C1 A2B2C2 共 2 种 因此 这 3 个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为 P1 2 20 1 10 2 法一 选取的这 3 个点与原点O共面的所有可能结果有 A1A2B1 A1A2B2 A1A2C1 A1A2C2 B1B2A1 B1B2A2 B1B2C1 B1B2C2 C1C2A1 C1C2A2 C1C2B1 C1 C2B2 共 12 种 因此 这 3 个点与原点O共面的概率为P2 12 20 3 5 法二 选取的这 3 个点与原点不共面的所有可能的结果有 A1B1C1 A1B1C2 A1B2C1 A1B2C2 A2B1C1 A2B1C2 A2B2C1 A2B2C2 共 8 种 因此这 3 个点与 原点O共面的概率为P2 1 8 20 3 5 理 从这 6 个点中任取 3 个点可分三类 在x轴上取 2 个点 1 个点 0 个点 共有 C C C C C 20 种取法 2 2 1 41 2 2 43 4 1 选取的 3 个点与原点O恰好是正三棱锥项点的取法有 2 种 概率P1 2 20 1 10 2 法一 选取的 3 个点与原点O共面的取法有 C C 3 12 种 所求概率 2 21 4 P2 12 20 3 5 5 法二 选取的 3 个点与原点不共面的取法有 C C C 8 种 因此这 3 个点与原点 1 21 21 2 O共面的概率P2 1 8 20 3 5 由题悟法 求较复杂事件的概率问题 解题关键是理解题目的实际含义 把实际问题转化为概率 模型 必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和 或者先求其对立事件的概率 进而 再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解 以题试法 2 一个小朋友任意敲击电脑键盘上的 0 到 9 十个键 则他敲击两次 每次只敲击一个 数字键 得到的两个数字恰好都是 3 的倍数的概率为 A B 4 25 2 15 C D 2 5 2 9 解析 选 A 任意敲击两次有 10 10 100 种方法 两次都是 3 的倍数有 4 4 16 种 方法 故所求概率为P 16 100 4 25 1 2013 惠州调研 一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球 现从袋中取出 1 个球 然后 放回袋中再取出 1 个球 则取出的 2 个球同色的概率为 A B 1 2 1 3 C D 1 4 2 5 解析 选 A 把红球标记为红 1 红 2 白球标记为白 1 白 2 本试验的基本事件共 有 16 个 其中 2 个球同色的事件有 8 个 红 1 红 1 红 1 红 2 红 2 红 1 红 2 红 2 白 1 白 1 白 1 白 2 白 2 白 1 白 2 白 2 故所求概率为P 8 16 1 2 2 2012 鸡西模拟 在 40 根纤维中 有 12 根的长度超过 30 mm 从中任取一根 取 到长度超过 30 mm 的纤维的概率是 A B 3 4 3 10 6 C D 以上都不对 2 5 解析 选 B 在 40 根纤维中 有 12 根的长度超过 30 mm 即基本事件总数为 40 且 它们是等可能发生的 所求事件包含 12 个基本事件 故所求事件的概率为 3 10 3 2013 宿州质检 一颗质地均匀的正方体骰子 其六个面上的点数分别为 1 2 3 4 5 6 将这一颗骰子连续抛掷三次 观察向上的点数 则三次点数依次构成 等差数列的概率为 A B 1 12 1 18 C D 1 36 7 108 解析 选 A 基本事件总数为 6 6 6 事件 三次点数依次成等差数列 包含的基本 事件有 1 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 2 1 3 5 5 3 1 2 3 4 4 3 2 3 3 3 2 4 6 6 4 2 3 4 5 5 4 3 4 4 4 4 5 6 6 5 4 5 5 5 6 6 6 共 18 个 所求事件的概率P 18 6 6 6 1 12 4 已知某车间在三天内 每天生产 10 件某产品 其中第一天 第二天分别生产出了 1 件 n件次品 而质检部每天要从生产的 10 件产品中随意抽取 4 件进行检查 若发现有 次品 则当天的产品不能通过 则第一天通过检查的概率为 A B 2 5 3 5 C D 2 3 6 7 解析 选 B 因为随意抽取 4 件产品检查是随机事件 而第一天有 1 件次品 所以第 一天通过检查的概率P C4 9 C 4 10 3 5 5 2012 宁波模拟 设a 1 2 3 4 b 2 4 8 12 则函数f x x3 ax b在 区间 1 2 上有零点的概率为 A B 1 2 5 8 C D 11 16 3 4 解析 选 C 因为f x x3 ax b 所以f x 3x2 a 因为a 1 2 3 4 因此 f x 0 所以函数f x 在区间 1 2 上为增函数 若存在零点 则Error 解得 a 1 b 8 2a 因此可使函数在区间 1 2 上有零点的有a 1 2 b 10 故 7 b 2 b 4 b 8 a 2 3 b 12 故b 4 b 8 b 12 a 3 4 b 14 故 b 4 b 8 b 12 a 4 5 b 16 故b 8 b 12 根据古典概型可得有零点的概率为 11 16 6 某种饮料每箱装 6 听 其中有 4 听合格 2 听不合格 现质检人员从中随机抽取 2 听进行检测 则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 A B 1 15 3 5 C D 8 15 14 15 解析 选 B 从 6 听饮料中任取 2 听饮料 这一随机试验中所有可能出现的基本事件 共有 15 个 而 抽到不合格饮料 含有 9 个基本事件 所以检测到不合格饮料的概率为 P 9 15 3 5 7 2012 南京模拟 从分别写有 0 1 2 3 4 的五张卡片中取出一张卡片 记下数字后 放回 再从中取出一张卡片 则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是 解析 从 0 1 2 3 4 五张卡片中取出两张卡片的结果有 25 种 数字之和恰好等于 4 的 结果有 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 所以数字和恰好等于 4 的概率是P 1 5 答案 1 5 8 2012 重庆高考 某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文 数学 外语三门文化课 和其它三门艺术课各 1 节 则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率 为 用数字作答 解析 基本事件是对这 6 门课排列 故基本事件的个数为 A 课表上的相邻两节文 6 6 化课之间至少间隔 1 节艺术课 就是 任何两节文化课不能相邻 利用 插空法 可得 其排列方法种数为 A A 根据古典概型的概率计算公式可得事件 课表上的相邻两节文化 3 3 3 4 课之间至少间隔 1 节艺术课 发生的概率为 A3 3A3 4 A6 6 1 5 答案 1 5 9 2012 江苏高考 现有 10 个数 它们能构成一个以 1 为首项 3 为公比的等比 数列 若从这 10 个数中随机抽取一个数 则它小于 8 的概率是 解析 由题意得an 3 n 1 易知前 10 项中奇数项为正 偶数项为负 所以小于 8 的项为第一项和偶数项 共 6 项 即 6 个数 所以P 6 10 3 5 8 答案 3 5 10 暑假期间 甲 乙两个学生准备以问卷的方式对某城市市民的出行方式进行调 查 如图是这个城市的地铁二号线路图 部分 甲 乙分别从太平街站 用A表示 南市 场站 用B表示 青年大街站 用C表示 这三站中 随机选取一站作为调查的站点 1 求甲选取问卷调查的站点是太平街站的概率 2 求乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率 解 1 由题知 所有的基本事件有 3 个 甲选取问卷调查的站点是太平街站的基本事 件有 1 个 所以所求事件的概率P 1 3 2 由题知 甲 乙两人选取问卷调查的所有情况见下表 乙 甲 ABC A A A A B A C B B A B B B C C C A C B C C 由表格可知 共有 9 种可能结果 其中甲 乙在相邻的两站进行问卷调查的结果有 4 种 分别为 A B B A B C C B 因此乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷 调查的站点相邻的概率为 4 9 11 2012 济南模拟 将一个质地均匀的正方体 六个面上分别标有数字 0 1 2 3 4 5 和 一个正四面体 四个面分别标有数字 1 2 3 4 同时抛掷 1 次 规定 正方体向上的面上的 数字为a 正四面体的三个侧面上的数字之和为b 设复数为z a bi 1 若集合A z z为纯虚数 用列举法表示集合A 2 求事件 复数在复平面内对应的点 a b 满足a2 b 6 2 9 的概率 解 1 A 6i 7i 8i 9i 2 满足条件的基本事件的个数为 24 设满足 复数在复平面内对应的点 a b 满足a2 b 6 2 9 的事件为B 当a 0 时 b 6 7 8 9 满足a2 b 6 2 9 9 当a 1 时 b 6 7 8 满足a2 b 6 2 9 当a 2 时 b 6 7 8 满足a2 b 6 2 9 当a 3 时 b 6 满足a2 b 6 2 9 即B为 0 6 0 7 0 8 0 9 1 6 1 7 1 8 2 6 2 7 2 8 3 6 共计 11 个 所以所求概率P 11 24 12 2012 福州模拟 已知A B C三个箱子中各装有 2 个完全相同的球 每个箱子 里的球 有一个球标着号码 1 另一个球标着号码 2 现从A B C三个箱子中各摸出 1 个 球 1 若用数组 x y z 中的x y z分别表示从A B C三个箱子中摸出的球的号码 请写出数组 x y z 的所有情形 并回答一共有多少种 2 如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和 猜中有奖 那么猜什么数获奖的可能性 最大 请说明理由 解 1 数组 x y z 的所有情形为 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 共 8 种 2 记 所摸出的三个球号码之和为i 为事件Ai i 3 4 5 6 易知 事件A3包含 有 1 个基本事件 事件A4包含有 3 个基本事件 事件A5包含有 3 个基本事件 事件A6包 含有 1 个基本事件 所以 P A3 P A4 P A5 P A6 故所摸出的两球号 1 8 3 8 3 8 1 8 码之和为 4 或 5 的概率相等且最大 故猜 4 或 5 获奖的可能性最大 1 2012 温州十校联考 从 1 其中m n 1 2 3 所表示的圆锥曲线 x2 m y2 n 椭圆 双曲线 抛物线 方程中任取一个 则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率 为 A B 1 2 4 7 C D 2 3 3 4 解析 选 B 当方程 1 表示椭圆 双曲线 抛物线等圆锥曲线时 不能有 x2 m y2 n m 0 n 0 所以方程 1 表示椭圆双曲线 抛物线等圆锥曲线的 m n 有 2 1 x2 m y2 n 3 1 2 2 3 2 2 3 3 3 1 1 共 7 种 其中表示焦点在x轴上的 10 双曲线时 则m 0 n 0 有 2 2 3 2 2 3 3 3 共 4 种 所以所求概率P 4 7 2 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m n则直线y x与圆 x 3 2 y2 1 相交 m n 的概率为 解析 由题意知 m 1 2 3 4 5 6 n 1 2 3 4 5 6 故 m n 所有可能的取法 共 36 种 由直线与圆的位置关系得 d 1 即 共有 5 种 所以直 3m m2 n2 m n 2 4 1 3 1 4 1 5 1 6 2 6 线y x与圆 x 3 2 y2 1 相交的概率为 m n 5 36 答案 5 36 3 2012 天津高考 某地区有小学 21 所 中学 14 所 大学 7 所 现采用分层抽样 的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查 1 求应从小学 中学 大学中分别抽取的学校数目 2 若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析 列出所有可能的抽取结果 求抽取的 2 所学校均为小学的概率 解 1 由分层抽样定义知 从小学中抽取的学校数目为 6 3 从中学中 21 21 14 7 抽取的学校数目为 6 2 从大学中抽取的学校数目为 6 1 因此 14 21 14 7 7 21 14 7 从小学 中学 大学中分别抽取的学校数目为 3 2 1 2 在抽取到的 6 所学校中 3 所小学分别记为A1 A2 A3 2 所中学分别记为 A4 A5 大学记为A6 则抽取 2 所学校的所有可能结果为 A1 A2 A1 A3 A1 A4 A1 A5 A1 A6 A2 A3 A2 A4 A2 A5 A2 A6 A3 A4 A3 A5 A3 A6 A4 A5 A4 A6 A5 A6 共 15 种 从 6 所学校中抽取的 2 所学校