湖南平江四中2010年下学期高中数学备课组教学教研工作计划全套教案 新人教A版必修5高二

用心 爱心 专心 湖南平江四中二湖南平江四中二 一一 年下期高一数学必修年下期高一数学必修 5 5 全套教案全套教案 高二数学备课组教学教研工作计划高二数学备课组教学教研工作计划 一 基本思路一 基本思路 本学期 我们将针对学生实际 研究学生的实际学习情况 不断钻研数学教材 研究数 学教学 改进课堂教法 指导学生学习数学 奠定立足社会所需要的必备的基础知识 基本 技能和基本能力 着力于培养学生的创新精神 运用数学的意识和能力 奠定他们终身学习 的基础 我们将严格遵守学校的各项规章制度 服从高二年级安排 尽自己最大努力 力争 建设愉悦课堂 完成教学工作 二 教学方面二 教学方面 1 以备课组为单位 根据学校教学常规的要求 搞好本备课组常规工作 2 结合本组的实际 对备课 上课 作业布置与信业批改落实好具体的要求 3 认真搞好一课一练 努力提高学生的数学素质 三 教研方面三 教研方面 1 每周一在备课组内开展一次教研活动 集体研讨 并每次要有明确的主题 求实效并有 签名和记载 2 加强备课组的集体备课 制订月工作计划 每周一次集体备课 并要有中心发言等有记 录 期初交 计划 期末交集体备课记录本检查 3 组织参加学校的公开课比赛 组织组内公开课以及各备课组内的公开课 每人拿出一堂 以促进 老师之间的相互学习与交流 4 团结老师们加强教育教学理论的学习和研究 并积极撰写教育教学论文 四 工作要点四 工作要点 1 本期以备课活动为主 每周一次集体备课 加强组内的老师的相互听 评课及交流 2 本期将对内对外学习交流 改进课堂教学模式 3 落实并开展各备课组内的课本 课题 校本资料的开发与研究 4 组织好一次组内的学术讲座 5 积极搞好奥赛讲座及培训工作 五 工作安排五 工作安排 八月 1 备课组制订工作计划 2 制订必修 5 的资料编写计划并实施 九月 1 组织全体教师进行听评课活动 2 进行第一次月考命题 制卷 试卷分析等相关活动 3 完成必修 5 的教学 十月 1 制订选修 2 1 资料编写计划 2 实施选修 2 1 教学 十一月 1 制订选修 2 2 资料编写计划 2 实施选修 2 2 教学 用心 爱心 专心 十二月及以后 1 期末复习资料准备 2 期末考试模拟 六 具体安排六 具体安排 周次具体内容 完成情 况 第一周 1 1 1 正弦定理和余弦定理 1 1 1 2 正弦定理和余弦定理 2 1 1 3 学海导航 第二周 1 2 1 应用举例 1 1 2 2 应用举例 2 1 2 3 学海导航 第三周 1 3 1 实习作业 1 4 1 小结与复习 1 3 3 学海导航 第四周 2 1 1 数列的概念与简单表示法 2 2 1 等差数列 2 3 1 等差 数列的前 n 项和 2 3 3 学海导航 第五周 2 4 1 等比数列 2 5 1 等比数列的前 n 项和 2 6 1 小结与复习 2 6 2 学海导航 第六周 3 1 1 不等关系与不等式 3 2 1 一元二次不等式及其解法 1 3 2 1 一元二次不等式及其解法 2 3 2 1 学海导航 第七周 3 3 1 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 1 2 3 4 1 基本不等式 3 5 小结 第八周必修 5 复习 月考 一 第九周 1 1 1 命题及其关系 1 1 1 1 命题及其关系 2 1 2 2 充 分条件与必要条件 2 1 2 2 充分条件与必要条件 2 1 2 学海导航 第十周 用心 爱心 专心 1 3 1 简单的逻辑联结词 1 4 1 全称量词与存在量词 1 5 小结与复习 第十一 周 期中考试 第十二 周 2 1 1 曲线与方程 2 2 1 椭圆 1 2 2 1 椭圆 2 第十三 周 2 3 1 双曲线 1 2 3 3 双曲线 2 2 4 1 抛物线 1 2 4 1 抛物线 2 2 5 小结与复习 第十四 周 3 2 1 古典概型 3 2 2 随机数的产生 3 3 1 几何概型 第十五 周 用心 爱心 专心 3 1 1 空间向量及其运算 1 3 1 2 空间向量及其运算 2 3 2 1 立体几何中的向量方法 1 第十六 周 3 2 2 立体几何中的向量方法 2 3 4 小结与复习 选修 2 1 复习 月考 二 第十七 周 1 1 1 变化率与导数 1 2 1 导数的计算 1 3 1 导数在研究函数中的应用 第十八 周 1 4 1 生活中的优化问题举例 1 5 1 定积分的概念 2 1 6 1 微积分基本定理 1 7 1 定积分的简单应用 2 1 8 小结与复习 第十九 周 2 1 1 合情推理与演绎推理 2 2 直接证明与间接证明 2 3 1 数学归纳法 2 4 小结与复习 第二十 周 用心 爱心 专心 3 1 1 数系的扩充和复数的概念 3 1 2 复数代数形式的四则运算 3 4 小结与复习 选修 2 2 复习 月考 三 第二十 一周 期末考试 平江四中高二数学 理 备课组 2010 年 9 月 2 日 第一章第一章 解三角形解三角形 1 1 1 正弦定理 1 1 2 余弦定理 1 1 3 正弦定理和余弦定理 1 2 1 应用举例 一 1 2 2 应用举例 二 1 2 3 应用举例 三 1 2 4 应用举例 四 1 3 1 单元小结 用心 爱心 专心 第二章第二章 数列数列 2 1 1 数列的概念与简单表示法 一 2 1 2 数列的概念与简单表示法 二 2 2 1 等差数列 一 2 2 2 等差数列 二 2 3 1 等差数列的前 n 项和 一 2 3 2 等差数列的前n项和 二 2 4 1 等比数列 一 2 4 2 等比数列 二 2 5 1 等比数列的前 n 项和 一 2 5 2 等比数列的前 n 项和 二 2 6 1 小结与复习 第三章第三章 不等式不等式 3 1 1 不等关系与不等式 一 3 1 2 不等关系与不等式 二 3 2 1 一元二次不等式及其解法 一 3 2 2 一元二次不等式及其解法 二 3 2 3 一元二次不等式及其及解法 三 3 3 1 二元一次不等式 组 与平面区域 一 3 3 2 二元一次不等式 组 与平面区域 二 3 4 1 简单的线性规划问题 一 3 4 2 简单的线性规划问题 二 3 4 3 简单的线性规划问题 三 3 5 1 基本不等式 一 3 5 2 基本不等式 二 3 5 3 基本不等式 三 3 2 1 小结与复习 第一章第一章 解三角形 1 1 1 1 1 1 正弦定理正弦定理 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 掌握正弦定理的内容及其证明方法 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 过程与方法 过程与方法 让学生从已有的几何知识出发 共同探究在任意三角形中 边与其对角的关系 引导学生通过观察 推导 比较 由特殊到一般归纳出正弦定理 并进行定理基本应用的实 用心 爱心 专心 践操作 情感态度与价值观 情感态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 培养学生合 情推理探索数学规律的数学思思想能力 通过三角形函数 正弦定理 向量的数量积等知识 间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用 教学难点教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数 教学过程教学过程 课题导入课题导入 如图 1 1 1 固定 ABC 的边 CB 及 B 使边 AC 绕着顶点 C 转动 A 思考 C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系 显然 边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大 能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来 C B 讲授新课讲授新课 探索研究探索研究 图 1 1 1 在初中 我们已学过如何解直角三角形 下面就首先来探讨直角三角形中 角与边的等 式关系 如图 1 1 2 在 Rt ABC 中 设 BC a AC b AB c 根据锐角三角函数中正弦函数 的定义 有si n a A c si n b B c 又si n1 c C c A 则 si nsi nsi n abc c ABC b c 从而在直角三角形 ABC 中 si nsi nsi n abc ABC C a B 图 1 1 2 思考 那么对于任意的三角形 以上关系式是否仍然成立 由学生讨论 分析 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况 如图 1 1 3 当 ABC 是锐角三角形时 设边 AB 上的高是 CD 根据任意角三角函数的 定义 有 CD si nsi naBbA 则 si nsi n ab AB C 同理可得 si nsi n cb CB b a 从而 si nsi n ab AB si n c C A c B 图 1 1 3 思考 是否可以用其它方法证明这一等式 由于涉及边长问题 从而可以考虑用向量来研究 这个问题 证法二 过点 A 作jAC C 由向量的加法可得 ABACC B 则 jABjACC B A B 用心 爱心 专心 jABjACjC B j 00 cos 900cos 90 j ABAj CBC sinsin cA aC 即 sinsin ac AC 同理 过点 C 作 jBC 可得 sinsin bc BC 从而 si nsi n ab AB si n c C 类似可推出 当 ABC 是钝角三角形时 以上关系式仍然成立 由学生课后自己推导 从上面的研探过程 可得以下定理 正弦定理 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 si nsi n ab AB si n c C 理解定理理解定理 1 正弦定理说明同一三角形中 边与其对角的正弦成正比 且比例系数为同一正数 即 存在正数 k 使si nakA si nbkB si nckC 2 si nsi n ab AB si n c C 等价于 si nsi n ab AB si nsi n cb CB si n a A si n c C 从而知正弦定理的基本作用为 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边 如 si n si n bA a B 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值 如si nsi n a AB b 一般地 已知三角形的某些边和角 求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形 例题分析例题分析 例 1 在 ABC中 已知 0 32 0 A 0 81 8 B 42 9 acm 解三角形 解 根据三角形内角和定理 0 180 CA B 000 180 32 081 8 0 66 2 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin81 8 80 1 sin sin32 0 aB bcm A 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin66 2 74 1 sin sin32 0 aC ccm A 评述 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例 2 在 ABC中 已知20 acm 28 bcm 0 40 A 解三角形 角度精确到 0 1 边长 精确到 1cm 解 根据正弦定理 用心 爱心 专心 0 sin28sin40 sin0 8999 20 bA B a 因为 0 0 B 0 180 所以 0 64 B 或 0 116 B 当 0 64 B时 00000 180 180 4064 76 CA B 0 0 sin20sin76 30 sin sin40 aC ccm A 当 0 116 B时 00000 180 180 40116 24 CA B 0 0 sin20sin24 13 sin sin40 aC ccm A 评述 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时 可能有两解的情形 课堂练习课堂练习 第 4 页练习第 1 1 2 1 题 补充练习补充练习 已知 ABC 中 si n si n si n1 2 3ABC 求 a b c 答案 1 2 3 课时小结课时小结 由学生归纳总结 1 定理的表示形式 si nsi n ab AB si n c C 0 si nsi nsi n abc k k ABC 或si nakA si nbkB si nckC 0 k 2 正弦定理的应用范围 已知两角和任一边 求其它两边及一角 已知两边和其中一边对角 求另一边的对角 课后作业课后作业 第 10 页 习题 1 1 A 组第 1 1 2 1 题 教学后记 教学后记 用心 爱心 专心 1 1 1 1 2 2 余弦定理余弦定理 一 教学目标 一 教学目标 1 1 知识与技能 知识与技能 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法 并会运用余弦定 理解决两类基本的解三角形问题 2 2 过程与方法过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论 并通过实践演算掌握运用余弦定 理解决两类基本的解三角形问题 3 3 情态与价值 情态与价值 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 通过三角函数 余弦定理 向量的数量积等知识间的关系 来理解事物之间的普遍联系与辩证 统一 二 教学重 难点 二 教学重 难点 重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用 难点 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用 三 教学设想 三 教学设想 复习旧知复习旧知 运用正弦定理能解怎样的三角形 已知三角形的任意两角及其一边已知三角形的任意两角及其一边 已知三角形的任意两边与其中一边的对角 已知三角形的任意两边与其中一边的对角 创设情景创设情景 问题 1 如果已知三角形的两边及其夹角 根据三角形全等的判定方法 这个三角形是大小 形状完全确定的三角形 从量化的角度来看 如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角 问题 2 如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一边 即 如图 1 1 4 在 ABC 中 设 BC a AC b AB c 已知 a b 和 C 求边 c 探索研究探索研究 联系已经学过的知识和方法 可用什么途径来解决这个问题 联系已经学过的知识和方法 可用什么途径来解决这个问题 用正弦定理试求 发现因 A B 均未知 所以较难求边 c 由于涉及边长问题 从而可以考虑用向量来研究这个问题 A 如图 1 1 5 设C Ba C A b ABc 那么cab 则 b c 2 22 2 2 cc cabab a ab ba b aba b C a B 从而 222 2coscababC 图 1 1 5 同理可证 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 余弦定理余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积 的两倍 即 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 思考思考 1 你还有其它方法证明余弦定理吗 两点间距离公式 三角形方法 思考思考 2 这个式子中有几个量 从方程的角度看已知其中三个量 可以求出第四个量 能否 用心 爱心 专心 由三边求出一角 由学生推出 从余弦定理 又可得到以下推论 222 cos 2 b ca A bc 222 cos 2 acb B ac 222 cos 2 b ac C ba 思考思考 3 3 余弦定理及其推论的基本作用是什么 余弦定理及其推论的基本作用是什么 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边 已知三角形的三条边就可以求出其它角 已知三角形的三条边就可以求出其它角 思考思考 4 4 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系 余弦定理则指出了一般三角勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系 余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系 如何看这两个定理之间的关系形中三边平方之间的关系 如何看这两个定理之间的关系 由学生总结 若 ABC 中 C 0 90 则cos0 C 这时 222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广 勾股定理是余弦定理的特例 由此可知余弦定理是勾股定理的推广 勾股定理是余弦定理的特例 例题分析例题分析 例 1 在 ABC 中 已知2 3 a 62 c 0 60 B 求 b 及 A 解 222 2cos bacacB 22 2 3 62 2 2 3 62 cos 0 45 2 12 62 4 3 3 1 8 2 2 b 求A可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理 解法一 cos 222222 2 2 62 2 3 1 22 2 2 2 62 bca A bc 0 60 A 解法二 sin 0 2 3 sinsin45 2 2 a AB b 又 62 2 4 1 4 3 8 2 3 2 1 8 3 6 a c 即 0 0 A 0 90 0 60 A 评述 解法二应注意确定 A 的取值范围 思考思考 5 5 在解三角形的过程中 求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理 两种方法有 在解三角形的过程中 求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理 两种方法有 什么利弊呢 什么利弊呢 例 2 在 ABC 中 已知134 6 acm 87 8 bcm 161 7 ccm 解三角形 解 由余弦定理的推论得 cos 222 2 b ca A bc 222 87 8161 7134 6 2 87 8 161 7 0 5543 0 56 20 A cos 222 2 cab B ca 222 134 6161 787 8 2 134 6 161 7 0 8398 0 32 53 B 0000 180 180 56 2032 53 CA B 0 90 47 课堂小结课堂小结 1 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律 勾股定理是余弦定理的特例 2 余弦定理的应用范围 已知三边求三角 已知两边及它们的夹角 求第三边 课后作业 课后作业 用心 爱心 专心 教学后记 教学后记 1 2 1 1 2 1解三角形应用举例 一 解三角形应用举例 一 一 教学目标一 教学目标 1 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题 了解常用的测量相关术语 2 激发学生学习数学的兴趣 并体会数学的应用价值 同时培养学生运用图形 数学 符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 二 教学重点 难点二 教学重点 难点 教学重点 教学重点 由实际问题中抽象出一个或几个三角形 然后逐个解决三角形 得到实际问 题的解 教学难点 教学难点 根据题意建立数学模型 画出示意图 三 教学设想教学设想 1 1 复习旧知 复习旧知 复习提问什么是正弦定理 余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形 2 2 设置情境 设置情境 请学生回答完后再提问 前面引言第一章 解三角形 中 我们遇到这么一个问题 遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢 在古代 天文学家没有先进的仪器就已经 估算出了两者的距离 是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢 我们知道 对于未知的距 离 高度等 存在着许多可供选择的测量方案 比如可以应用全等三角形 相似三角形的 方法 或借助解直角三角形等等不同的方法 但由于在实际测量问题的真实背景下 某些 方法会不能实施 如因为没有足够的空间 不能用全等三角形的方法来测量 所以 有些 方法会有局限性 于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的 今天我们开始学习 正弦定理 余弦定理在科学实践中的重要应用 首先研究如何测量距离 3 3 新课讲授新课讲授 解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意 正确做出图形 把实际问题里的条 件和所求转换成三角形中的已知和未知的边 角 通过建立数学模型来求解 例 1 如图 设 A B 两点在河的两岸 要测量两点之间的距离 测量者在 A 的同侧 在所 在的河岸边选定一点 C 测出 AC 的距离是 55m BAC 51 ACB 75 求 A B 两点的 距离 精确到 0 1m 提问提问 1 1 ABC 中 根据已知的边和对应角 运 用哪个定理比较适当 提问提问 2 2 运用该定理解题还需要那些边和角呢 请学生回答 分析 这是一道关于测量从一个可到达的点到一 个不可到达的点之间的距离的问题 题目条件告 诉了边 AB 的对角 AC 为已知边 再根据三角形 的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的 用心 爱心 专心 对角 应用正弦定理算出 AB 边 解 根据正弦定理 得 ACB AB sin ABC AC sin AB ABC ACBAC sin sin ABC ACB sin sin55 7551180sin 75sin55 54sin 75sin55 65 7 m 答 A B 两点间的距离为 65 7 米 变式练习 两灯塔 A B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 则 A B 之间的距离为多少 老师指导学生画图 建立数学模型 解略 2a km 例 2 如图 A B 两点都在河的对岸 不可到达 设计一种测量 A B 两点间距离的方法 分析 这是例 1 的变式题 研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题 首先需要构造 三角形 所以需要确定 C D 两点 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可 求出另两边的方法 分别求出 AC 和 BC 再利 用余弦定理可以计算出 AB 的距离 解 测量者可以在河岸边选定两点 C D 测得 CD a 并且在 C D 两点分别测得 BCA ACD CDB BDA 在 ADC 和 BDC 中 应用正弦定理得 AC 180sin sin a sin sin a BC 180sin sin a sin sin a 计算出 AC 和 BC 后 再在 ABC 中 应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离 AB cos2 22 BCACBCAC 分组讨论 还没有其它的方法呢 师生一起对不同方法进行对比 分析 变式 若在河岸选取相距 40 米的 C D 两点 测得 BCA 60 ACD 30 CDB 45 BDA 60 略解 将题中各已知量代入例 2 推出的公式 得 AB 206 评注 可见 在研究三角形时 灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案 但有些 过程较繁复 如何找到最优的方法 最主要的还是分析两个定理的特点 结合题目条件来选 择最佳的计算方式 4 4 了解测量中基线的概念 并找到生活中的相应例子 了解测量中基线的概念 并找到生活中的相应例子 5 5 归纳总结归纳总结 解斜三角形应用题的一般步骤 1 分析 理解题意 分清已知与未知 画出示意图 2 建模 根据已知条件与求解目标 把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中 建 立一个解斜三角形的数学模型 用心 爱心 专心 3 求解 利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形 求得数学模型的解 4 检验 检验上述所求的解是否符合实际意义 从而得出实际问题的解 课后作业 课后作业 教学后记 教学后记 1 2 2 1 2 2 解三角形应用举例 二 解三角形应用举例 二 一 教学目标一 教学目标 1 1 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量 的问题 2 2 巩固深化解三角形实际问题的一般方法 养成良好的研究 探索习惯 3 3 进一步培养学生学习数学 应用数学的意识及观察 归纳 类比 概括的能力 二 教学重点 难点二 教学重点 难点 重点 重点 结合实际测量工具 解决生活中的测量高度问题 难点 难点 能观察较复杂的图形 从中找到解决问题的关键条件 三 教学过程三 教学过程 课题导入课题导入 提问 现实生活中 人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢 又怎样在水平飞行的 飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢 今天我们就来共同探讨这方面的问题 讲授新课讲授新课 范例讲解范例讲解 例例 1 1 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物 A 为建筑物的最高点 设计一种测量建筑物高 度 AB 的方法 分析 求 AB 长的关键是先求 AE 在 ACE 中 如 能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA 再测出由 C 点观察 A 的仰角 就可以计算出 AE 的长 解 选择一条水平基线 HG 使 H G B 三点在同 一条直线上 由在 H G 两点用测角仪器测得 A 的仰角分别是 CD a 测角仪器的高 是 h 那么 在 ACD 中 根据正弦定理可得 AC sin sin a AB AE h AC sin h sin sinsin a h 例例 2 2 如图 在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 540 4 在塔底 C 处测得 A 处的 俯角 50 1 已知铁塔 BC 部分的高为 27 3 m 求出山高 CD 精确到 1 m 用心 爱心 专心 师 根据已知条件 大家能设计出解题方案吗 若在 ABD 中求 CD 则关键需要求出哪条边呢 生 需求出 BD 边 师 那如何求 BD 边呢 生 可首先求出 AB 边 再根据 BAD 求得 解 在 ABC 中 BCA 90 ABC 90 BAC BAD 根据正弦定理 sin BC 90sin AB 所以 AB sin 90sin BC sin cos BC 在 Rt ABD 中 得 BD ABsin BAD sin sincos BC 将测量数据代入上式 得 BD 1500454sin 0454sin150cos 3 27 934sin 0454sin150cos 3 27 177 m CD BD BC 177 27 3 150 m 答 山的高度约为 150 米 思考思考 有没有别的解法呢 若在 ACD 中求 CD 可先求出 AC 思考如何求出 AC 例 3 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正 东行驶 到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在 东偏南 15 的方向上 行驶 5km 后到达 B 处 测 得此山顶在东偏南 25 的方向上 仰角为 8 求 此山的高度 CD 思考思考 1 1 欲求出 CD 大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢 在 BCD 中 思考思考 2 2 在 BCD 中 已知 BD 或 BC 都可求出 CD 根据条件 易计算出哪条边的长 BC 边 解 在 ABC 中 A 15 C 25 15 10 根据正弦定理 A BC sin C AB sin BC C AAB sin sin 7 4524 km CD BC tan DBC BC tan8 1047 m 用心 爱心 专心 答 山的高度约为 1047 米 课时小结课时小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时 要学会审题及根据题意画方位图 要懂得从所给的 背景资料中进行加工 抽取主要因素 进行适当的简化 课后作业 课后作业 教学后记 教学后记 1 2 3 1 2 3解三角形应用举例 三 解三角形应用举例 三 一 教学目标一 教学目标 1 1 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 2 2 通过综合训练强化学生的相应能力 让学生有效 积极 主动地参与到探究问题的过程 中来 逐步让学生自主发现规律 举一反三 3 3 培养学生提出问题 正确分析问题 独立解决问题的能力 并激发学生的探索精神 二 教学重点 难点二 教学重点 难点 重点 重点 能根据正弦定理 余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 难点 难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 三 教学过程三 教学过程 课题导入课题导入 创设情境创设情境 提问 提问 前面我们学习了如何测量距离和高度 这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角 求其余边的问题 然而在实际的航海生活中 人们又会遇到新的问题 在浩瀚无垠的海 面上如何确保轮船不迷失方向 保持一定的航速和航向呢 今天我们接着探讨这方面 的测量问题 讲授新课讲授新课 范例讲解范例讲解 例例 1 1 如图 一艘海轮从 A 出发 沿北偏东 75 的方向航行 67 5 n mile 后到达海岛 B 然后 从 B 出发 沿北偏东 32 的方向航行 54 0 n mile 后达到海岛 C 如果下次航行直接从 A 出发 到达 C 此船应该沿怎样的方向航行 需要航行多少距离 角度精确到 0 1 距离精确到 0 01n mile 学生看图思考并讲述解题思路 分析 首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边 所对的角 ABC 即可用余弦定理算出 AC 边 再根 据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 CAB 解 在 ABC 中 ABC 180 75 32 137 用心 爱心 专心 根据余弦定理 AC ABCBCABBCAB cos2 22 137cos 0 54 5 672 0 54 5 67 22 113 15 根据正弦定理 CAB BC sin ABC AC sin sin CAB AC ABCBC sin 15 113 137sin0 54 0 3255 所以 CAB 19 0 75 CAB 56 0 答 此船应该沿北偏东 56 1 的方向航行 需要航行 113 15n mile 例例 2 2 在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 沿 BE 方向前进 30m 至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2 再继续前进 103m 至 D 点 测得顶端 A 的仰角为 4 求 的大小和建筑物 AE 的高 解法一 用正弦定理求解 由已知可得在 ACD 中 AC BC 30 AD DC 103 ADC 180 4 2sin 310 4180sin 30 因为 sin4 2sin2 cos2 cos2 2 3 得 2 30 15 在 Rt ADE 中 AE ADsin60 15 答 所求角 为 15 建筑物高度为 15m 解法二 设方程来求解 设 DE x AE h 在 Rt ACE 中 103 x 2 h 2 30 2 在 Rt ADE 中 x 2 h 2 103 2 两式相减 得 x 53 h 15 在 Rt ACE 中 tan2 x h 310 3 3 2 30 15 答 所求角 为 15 建筑物高度为 15m 解法三 用倍角公式求解 设建筑物高为 AE 8 由题意 得 BAC CAD 2 AC BC 30m AD CD 103m 在 Rt ACE 中 sin2 30 x 在 Rt ADE 中 sin4 310 4 得 cos2 2 3 2 30 15 AE ADsin60 15 用心 爱心 专心 答 所求角 为 15 建筑物高度为 15m 例例 3 3 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船 正沿南偏东 75 的 方向以 10 海里 小时的速度向我海岸行驶 巡逻艇立即以 14 海里 小时的速度沿着直线方向 追去 问巡逻艇应该沿什么方向去追 需要多少时间才追赶上该走私船 师 你能根据题意画出方位图 教师启发学生做图建立数学模型 分析 这道题的关键是计算出三角形的各边 即需要引入时间这个参变 量 解 如图 设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船 则 CB 10 x AB 14x AC 9 ACB 75 45 120 14x 2 9 2 10 x 2 2 9 10 xcos 120 化简得 32x 2 30 x 27 0 即 x 2 3 或 x 16 9 舍去 所以 BC 10 x 15 AB 14x 21 又因为 sin BAC AB BC 120sin 21 15 2 3 14 35 BAC 383 1 或 BAC 1417 4 钝角不合题意 舍去 383 1 45 833 1 答 巡逻艇应该沿北偏东 833 1 方向去追 经过 1 4 小时才追赶上该走私船 评注 评注 在求解三角形中 我们可以根据正弦函数的定义得到两个解 但作为有关现实生活的 应用题 必须检验上述所求的解是否符合实际意义 从而得出实际问题的解 课时小结课时小结 解三角形的应用题时 通常会遇到两种情况 1 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 依次利用正弦定理或余弦定理解之 2 已知量与未知量涉及两个或几个三角形 这时需要选择条件足够的三角形优先研 究 再逐步在其余的三角形中求出问题的解 课后作业 课后作业 教学后记 教学后记 用心 爱心 专心 1 2 4 1 2 4解三角形应用举例 四 解三角形应用举例 四 一 教学目标一 教学目标 1 1 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题 掌握三角形 的面积公式的简单推导和应用 2 2 本节课补充了三角形新的面积公式 巧妙设疑 引导学生证明 同时总结出该公式的特 点 循序渐进地具体运用于相关的题型 另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生 动运用 教师要放手让学生摸索 使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理 的特点 能不拘一格 一题多解 只要学生自行掌握了两定理的特点 就能很快开阔思 维 有利地进一步突破难点 3 3 让学生进一步巩固所学的知识 加深对所学定理的理解 提高创新能力 进一步培养学 生研究和发现能力 让学生在探究中体验愉悦的成功体验 二 教学重点 难点二 教学重点 难点 重点 重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 难点 难点 利用正弦定理 余弦定理来求证简单的证明题 三 教学过程三 教学过程 课题导入课题导入 创设情境创设情境 师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式 今天我们来学习它的另一个表达公式 在 ABC 中 边 BC CA AB 上的高分别记为 ha hb hc 那么它们如何用已知边和角表 示 生 ha bsinC csinB hb csinA asinC hc asinB bsinaA 师 根据以前学过的三角形面积公式 S 2 1 ah 应用以上求出的高的公式如 ha bsinC 代入 可以推导出下面的三角形面积公式 S 2 1 absinC 大家能推出其它的几个公式吗 用心 爱心 专心 生 同理可得 S 2 1 bcsinA S 2 1 acsinB 讲授新课讲授新课 范例讲解范例讲解 例例 1 1 在 ABC 中 根据下列条件 求三角形的面积 S 精确到 0 1cm 2 1 已知 a 14 cm c 24 cm B 150 2 已知 B 60 C 45 b 4 cm 3 已知三边的长分别为 a 3 cm b 4 cm c 6 cm 分析 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题 与解三角形问题有密切的关系 我们可以应用解三角形面积的知识 观察已知什么 尚缺什么 求出需要的元素 就可以求 出三角形的面积 解 略 例例 2 2 如图 在某市进行城市环境建设中 要把一个三角形的区域改造成室内公园 经过测量得 到这个三角形区域的三条边长分别为 68m 88m 127m 这个区域的面积是多少 精确到 0 1cm 2 思考 思考 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗 本题可转化为已知三角形的三边 求角的问题 再利用三角形的面积公式求解 解 设 a 68m b 88m c 127m 根据余弦定理的推论 cosB ca bac 2 222 681272 8868127 222 0 7532 sinB 2 7532 0 10 6578 应用 S 2 1 acsinB S 2 1 68 127 0 6578 2840 38 m 2 答 这个区域的面积是 2840 38m 2 变式练习 1 已知在 ABC 中 B 30 b 6 c 63 求 a 及 ABC 的面积 S 提示 解有关已知两边和其中一边对角的问题 注重分情况讨论解的个数 答案 a 6 S 93 a 12 S 183 例例 3 3 在 ABC 中 求证 1 sin sinsin 2 22 2 22 C BA c ba 2 2 a 2 b 2 c 2 bccosA cacosB abcosC 分析 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题 观察式子左右两边的特点 用正弦 定理来证明 证明 1 根据正弦定理 可设 A a sin B b sin C c sin k 显然 k 0 所以 用心 爱心 专心 左边 Ck BkAk c ba 22 2222 2 22 sin sinsin C BA 2 22 sin sinsin 右边 2 根据余弦定理的推论 右边 2 bc bc acb 2 222 ca ca bac 2 222 ab ab cba 2 222 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 左边 变式练习 2 判断满足 sinC BA BA coscos sinsin 条件的三角形形状 提示 利用正弦定理或余弦定理 化边为角 或 化角为边 解略 直角 三角形 课时小结课时小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式 然后 化简并考察边或角的关系 从而确定三角形的形状 特别是有些条件既可用正弦定理也可用 余弦定理甚至可以两者混用 课后作业 课后作业 教学后记 教学后记 1 3 1 1 3 1小结与复习小结与复习 一 选择题 1 ABC 中 a 1 b 3 A 30 则 B 等于 A 60 B 60 或 120 C 30 或 150 D 120 2 符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A a 1 b 2 c 3 B a 1 b 2 A 30 C a 1 b 2 A 100 C b c 1 B 45 3 在锐角三角形 ABC 中 有 A cosA sinB 且 cosB sinA B cosA sinB 且 cosBsinB 且 cosB sinA D cosAsinA 4 若 a b c b c a 3abc 且 sinA 2sinBcosC 那么 ABC 是 A 直角三角形 B 等边三角形 C 等腰三角形 D 等腰直角三角形 5 设 A B C 为三角形的三内角 且方程 sinB sinA x2 sinA sinC x sinC sinB 0 用心 爱心 专心 有等根 那么角 B A B 60 B B 60 C B 60 D B 60 6 满足 A 45 c 6 a 2 的 ABC 的个数记为 m 则 a m的值为 A 4 B 2 C 1 D 不定 7 如图 D C B 三点在地面同一直线上 DC a 从 C D 两点测得 A 点仰角分别是 0 d 0 前n项和有最大值可由 n a 0 且 1 n a 0 求得n的值 用心 爱心 专心 当 n a0 前n项和有最小值可由 n a 0 且 1 n a 0 求得n的值 2 由n 2 d a n 2 d S 1 2 n 利用二次函数配方法求得最值时n的值 练习练习 在等差数列 n a 中 4 a 15 公差 d 3 求数列 n a 的前 n 项和 n S的最小值 例 3 已知等差数列 7 4 3 7 2 4 5的前 n 项的和为 n S 求使得 n S最大的序号 n 的值 归纳 1 当等差数列 an 首项为正数 公差小于零时 它的前 n 项的和为 n S有最大值 可以通过 0 1n n a oa 求得 n 2 当等差数列 an 首项不大于零 公差大于零时 它的前 n 项的和为 n S有最小值 可以通过 0 1n n a oa 求得 n 三 课堂小结 求 等差数列前 n 项和的最值问题 常用的方法有 1 满足00 1 nn aa且的 n 值 2 由 2 22 1 1 2 1 n d an d d nn naSn 利用二次函数的性质求 n 的值 3 利用等差数列的性质求 课后作业 课后作业 教学后记 教学后记 用心 爱心 专心 2 4 1 2 4 1等比数列 一 等比数列 一 教学目标教学目标 知识与技能目标 知识与技能目标 1 等比数列的定义 2 等比数列的通项公式 过程与能力目标 过程与能力目标 1 明确等比数列的定义 2 掌握等比数列的通项公式 会解决知道 n a 1 a q n中的三个 求另一个的问题 教学重点 教学重点 1 等比数列概念的理解与掌握 2 等比数列的通项公式的推导及应用 教学难点 教学难点 等差数列 等比 的理解 把握和应用 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 下面我们来看这样几个数列 看其又有何共同特点下面我们来看这样几个数列 看其又有何共同特点 教材上的 P48 面 1 2 4 8 16 263 1 2 1 4 1 8 1 1 32 20 20 20 1098 1 1098 1 0198 1 32 对于数列 n a 1 2 n 1 n n a a 2 n 2 对于数列 n a 1 2 1 n 2 1 1 n n a a n 2 对于数列 n a 1 20 n 1 n n a a 20 n 2 共同特点 从第二项起 第一项与前一项的比都等于同一个常数 共同特点 从第二项起 第一项与前一项的比都等于同一个常数 二 新课二 新课 1 1 等比数列的定义 等比数列的定义 一般地 若一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同 一个常数 这个数列就叫做等比数列 这个常数叫等比数列的公比 用字母q表示 q 0 即 1 n n a a q q 0 思考 思考 1 等比数列中有为 0 的项吗 2 公比为 1 的数列是什么数列 3 既是等差数列又是等比数列的数列存在吗 4 常数列都是等比数列吗 用心 爱心 专心 1 从第二项起 与 前一项 之比为常数q n a 成等比数列 n n a a 1 q Nn q 0 2 隐含 任一项00 qan且 3 q 1 时 an 为常数数列 4 既是等差又是等比数列的数列 非零常数 列 2 2 等比数列的通项公式等比数列的通项公式 1 1 0 1 1 1 均不为qaqaa n n 观察法 由等比数列的定义 有 qaa 12 2 1123 qaqqaqaa 3 1 2 134 qaqqaqaa 0 1 1 11 qaqaqaa n nn 从 迭乘法 由等比数列的定义 有 q a a 1 2 q a a 2 3 q a a 3 4 q a a n n 1 所以 1 13 4 2 3 1 2 n n n q a a a a a a a a 即 0 1 1 1 qaqaa n n 从 3 等比数列的通项公式 2 0 qaqaa m mn mn 三 例题讲解三 例题讲解 例 1 一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18 求它的第 1 项与第 2 项 解 2 3 2 3 12 18 q 3 16 3 2 8 8 3 2 12 2 1 3 2 q a a q a a 例 2 求下列各等比数列的通项公式 8 2 1 31 aa nn aaa32 5 2 11 且且 解 1 24 2 13 qqqaa nn n nn n aa 2 2 2 22 2 11 或 2 1 1 1 2 3 55 2 3 n n n n aa a a q又 例例 3 3 已知数列 已知数列 an 满足满足12 1 11 nn aaa 1 1 求证数列 求证数列 an 1 是等比数列 2 求 n a的表达式 用心 爱心 专心 四 课堂小结 1 等比数列的定义 2 等比数列的通项公式及变形式 课后作业 课后作业 教学后记 教学后记 2 4 2 2 4 2等比数列 二 等比数列 二 教学目标教学目标 知识与技能目标 知识与技能目标 等比中项的概念 掌握 判断数列是否为等比数列 常用的方法 进一步 熟练掌握等比数列的通项公式 性质及应用 过程与能力目标 过程与能力目标 明确等比中项的概念 进一步熟练掌握等比数列的通项公式 性质及应 用