【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）1.2.4 从解析式看函数的性质导学案 湘教版必修1

1 1 2 41 2 4 从解析式看函数的性质从解析式看函数的性质 学习目标重点难点 1 能说出函数的上界 下界的含义 知道什么是有界函数 什么是无界 函数 2 能说出函数的最大值与最小值的 定义 知道什么是函数的最大值点 和最小值点 3 能记住函数单调性的定义 知道 什么是严格单调和严格单调区间 4 知道什么是差分 能运用差分检 验函数的增减性 重点 函数单调性的定义 运用差分检验函数的增减 性 难点 用差分检验函数的 增减性 疑点 最值与上 下界之 间的关系 1 函数的上界和下界 1 上界和下界 设D是函数f x 的定义域 如果有实数B使得f x B对于一切x D 成立 称B是函数f的一个上界 如果有实数A使得f x A对于一切x D成立 称A是 函数f的一个下界 2 有上界又有下界的函数叫有界函数 否则叫无界函数 预习交流预习交流 1 函数的上界或下界一定是函数的某一个函数值吗 提示 不一定 函数的上界或下界可能是该函数的一个函数值 也可以不是函数的函数 值 例如 函数y x2的下界是 0 且 0 是该函数的一个函数值 而函数y 的下界也是 1 x 0 但 0 不是该函数的某个函数值 2 函数的最大值与最小值 1 函数的最大值定义 设D是函数f x 的定义域 如果有a D 使得不等式f x f a 对一切x D成立 就说f x 在x a处取到最大值M f a 称M为f x 的最大值 a为f x 的最大值点 2 函数的最小值定义 设D是函数f x 的定义域 如果有b D 使得不等式f x f b 对一切x D成立 就说f x 在x b处取到最小值f b 称f b 为f x 的最小值 b为f x 的最小值点 预习交流预习交流 2 函数的最大值或最小值一定是函数其中的一个函数值吗 提示 一定是 即最大值点或最小值点一定是函数定义域中的某个值 预习交流预习交流 3 函数的最大值 或最小值 唯一吗 最大值点 或最小值点 唯一吗 提示 最大值 或最小值 是唯一的 但最大值点 或最小值点 不一定是唯一的 预习交流预习交流 4 最大值和上界是一回事吗 提示 不是 函数的最大值一定是上界 但上界不一定是函数的最大值 同理 函数的 最小值一定是下界 但下界不一定是最小值 3 函数的单调性 1 函数的单调性定义 设I是f x 定义域D的一个非空子集 如果对于I上任意两个 值x1 x2 当x1 x2时都有f x1 f x2 那么就说f x 是区间I上的递增函数 如果对于 I上任意两个值x1 x2 当x1 x2时都有f x1 f x2 那么就说f x 是区间I上的递减函 数 2 2 如果函数y f x 是区间I上的递增函数或递减函数 就说f x 在I上严格单调 区间I叫作f x 的严格单调区间 3 对于函数f x 设h 0 差式f x h f x 叫作函数在区间I上的差分 差分为 正的函数就是递增函数 差分为负的函数就是递减函数 预习交流预习交流 5 函数的单调性是函数在其整个定义域上的性质吗 提示 不是 单调性是与 区间 紧密相关的概念 一个函数在定义域的不同的区间上 可以有不同的单调性 预习交流预习交流 6 在增函数与减函数的定义中 能否把 任意两个自变量 改为 存在两个自变量 提示 不能 如图所示 虽然f 1 f 2 但原函数在 1 2 上不是递增函数 一 判断或证明函数的单调性 证明函数f x x 在 1 上是递增函数 1 x 思路分析 利用差分检验法 计算函数在 1 上的差分f x h f x 然后判断 差分的正负即得结论 证明 f x h x h 1 x h f x h f x x h x 1 x h 1 x h h 1 x h 1 x h x x h hx2 h2x h x x h h 0 x 1 hx2 h2x h 0 x x h 0 0 hx2 h2x h x x h 即差分f x h f x 0 f x x 在 1 上是递增函数 1 x 1 设 a b c d 都是函数f x 的递增区间 且x1 a b x2 c d x1 x2 则f x1 与f x2 的大小关系是 A f x1 f x2 B f x1 f x2 C f x1 f x2 D 不能确定 答案 答案 D 解析 解析 因为在函数的定义中特别强调了x1 x2两个值必须属于同一个单调区间 不是同 一单调区间时不能比较函数值的大小 因此 f x1 与f x2 的大小关系无法确定 故选 D 2 证明函数f x 在 0 上为单调递减函数 3 x 证明 f x h f x 3 x h 3 x 3h x x h 3 x 0 h 0 0 3h x x h 即差分f x h f x 0 故f x 在 0 上为单调递减函数 3 x 证明函数单调性的步骤是 1 作差分f x h f x 2 变形整理 3 判 断差分的符号 4 下结论 二 求函数的单调区间 作出函数f x 2x 1 的图象 并写出其单调区间 思路分析 首先要将函数的解析式中的绝对值符号去掉 分两段分别画出图象 然后结 合图象的上升与下降写出单调区间 解 解 当x 时 f x 2x 1 1 2 当x 时 f x 2x 1 1 2 所以f x 的图象是两条射线 如图 故f x 的单调递增区间是 单调递减区间是 1 2 1 2 作出函数y x x 1 的图象并写出其单调区间 解 解 由题可知y Error 作出函数的图象如图所示 所以原函数在 上为单调 递增函数 利用函数的图象确定函数的单调区间 具体的做法是 先化简函数的解 析式 然后再画出它的草图 最后根据函数定义域与草图的位置 状态 确定函数的单调区 间 书写函数的单调区间时 区间端点的开或闭没有严格的规定 习惯上 若函数在区间端 点处有定义 则写成闭区间 若函数在区间端点处无定义 则必须写成开区间 三 函数单调性的应用 已知函数f x 是定义在 1 1 上的递增函数 且f x 2 f 1 x 求x的取值范 围 思路分析 充分利用原函数的单调性及其定义域 建立关于x的不等关系求解x的取值 范围 解 解 因为f x 是定义在 1 1 上的递增函数 且f x 2 f 1 x 4 所以有Error 解得Error 即x的取值范围是 1 x 3 2 1 若函数f x 在 0 上为单调递减函数 则m的取值范围是 m x 答案 答案 m 0 解析 解析 f x h f x m x h m x mh x x h h 0 x 0 又f x 在 0 上单调递减 0 m 0 mh x x h 2 若函数y x2 2ax 2 在 1 上为递增函数 求实数a的取值范围 解 解 由题可知原函数为y x a 2 2 a2 其开口向上 且对称轴为x a 若使得原 函数在 1 为递增函数 则只需对称轴x a在直线x 1 的左侧或与其重合 即满足 a 1 即可 所以实数a的取值范围是a 1 单调性的应用主要体现在求解参数的取值范围 解不等式以及求解最值 等题型上 解题时往往注意采用数形结合的方法求解 已知函数在某个区间上的单调性求解 x的取值范围时 要求自变量首先应在定义域内 这是一个及其容易出现错误的地方 然后 在此基础上利用函数的单调性 将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系求解 求函数y 在区间 2 6 上的最大值和最小值 2 x 1 思路分析 先研究函数在区间 2 6 上的单调性 然后根据单调性求最值 解 解 因为f x h f x 2 x h 1 2 x 1 x 2 6 h 0 2h x h 1 x 1 x h 1 0 x 1 0 x h 1 x 1 0 故函数y 在区间 2 6 上是递减函数 2 x 1 因此函数y 在区间 2 6 的两个端点处取得最大值与最小值 即在x 2 时取得最 2 x 1 大值 2 在x 6 时取得最小值 2 5 求函数f x 在 2 4 上的最值 x 2 x 解 解 f x h f x x h 2 x h x 2 x x2 hx 2x x2 2x hx 2h x x h 2h x x h 又 h 0 x 2 0 2h x x h 故f x 在 2 4 上单调递增 于是f x 在 2 4 上的最大值是f 4 最小值是f 2 0 1 2 利用函数的单调性求最值时 首先要证明或判断函数的单调性 若f x 在 a b 上单调递增 则f x 在 a b 上的最小值为f a 最大值为f b 若f x 在 a b 上单调递减 则最小值为f b 最大值为f a 5 1 函数y x2的单调递增区间为 A 0 B 0 C 0 D 答案 答案 A 解析 解析 由图象可知 y x2的单调递增区间是 0 选 A 2 设一次函数f x 2a 1 x b是 R R 上的递减函数 则有 A a B a 1 2 1 2 C a D a 1 2 1 2 答案 答案 B 解析 解析 f x h f x 2a 1 x h b 2a 1 x b 2a 1 h 依题意 2a 1 h 0 而h 0 2a 1 0 即a 选 B 1 2 3 若函数f x 在区间I上是单调递增函数 则对任意的x1 x2 I x1 x2 必有 A x1 x2 f x1 f x2 0 B x1 x2 f x1 f x2 0 C x1 x2 f x1 f x2 0 D x1 x2 f x1 f x2 0 答案 答案 B 解析 解析 由于f x 在I上单调递增 所以当x1 x2时有f x1 f x2 当x1 x2时有f x1 f x2 因