【创新设计】2011高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题五 达标检测五 理

用心 爱心 专心1 专题达标检测五专题达标检测五 一 选择题 1 若a b表示互不重合的直线 表示不重合的平面 则a 的一个充分条件是 A a B a C a b b D b a a b 解析 A B C选项中 直线a都有可能在平面 内 不能满足充分性 故选 D 答案 D 2 2010 全国 正方体ABCD A1B1C1D1中 BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 解析 BB1 DD1 DD1与平面ACD1所成的角即为BB1与平面ACD1所成的角 设其大小为 设正方体的棱长为 1 则点D到面ACD1的距离为 所以 sin 3 3 3 3 得 cos 故选 D 6 3 答案 D 3 如图 已知 ABC为直角三角形 其中 ACB 90 M为AB的中点 PM垂直于 ABC所在平面 那么 A PA PB PC B PA PBh b a B 1 且a bh a b D 1 且a bSa 即a a h a b a b 1 且a b h V瓶 V酒 b a 答案 B 5 在正三棱锥S ABC中 M N分别是棱SC BC的中点 且MN AM 若侧棱SA 2 则正棱锥S ABC外接球的表面积是 3 A 12 B 32 C 36 D 48 解析 由于MN AM MN BS 则BS AM 又根据正三棱锥的性质知BS AC 则BS 平面SAC 于是有 ASB BSC CSA 90 SA SB SC为三棱锥S ABC外接球的内接正方体的三条棱 设球半径为R 则 4R2 3SA2 36 球表面积为 4 R2 36 答案 C 用心 爱心 专心3 6 2010 北京 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 动点E F在棱A1B1上 动 点P Q分别在棱AD CD上 若EF 1 A1E x DQ y DP z x y z大于零 则四面体PEFQ的体积 A 与x y z都有关 B 与x有关 与y z无关 C 与y有关 与x z无关 D 与z有关 与x y无关 解析 连结EQ FQ A1D 作PN A1D 垂足为N A1B1 DC且EF 1 S EFQ是定值 A1B1 面ADD1A1且PN 面ADD1A1 A1B1 PN PN 面A1B1CD PD z A1DA 45 PN z VPEFQ S EFQ PN与x y无关 与z有关 故选 D 2 2 1 3 答案 D 二 填空题 7 2010 湖南 13 下图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3的几何体的三视图 则h cm 用心 爱心 专心4 解析 直观图如图 则三棱锥中AD AB AD AC AB AC 体积V AB AC h 20 1 3 1 2 h 4 答案 4 8 如图所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N分别为 A1B1 CC1的中点 P为AD上一动点 记 为异面直线PM 与D1N所成的角 则 的取值集合为 答案 2 9 已知一个凸多面体共有 9 个面 所有棱长均为 1 其平面展开图如图所示 则该凸多 面体的体积V 解析 该几何体形状如图所示 是一个正方体与正四棱锥的组合体 正方体的体积是 1 正四棱锥的体积是 故该凸多面体的体积为 1 2 6 2 6 用心 爱心 专心5 答案 1 2 6 10 2010 四川 如图 二面角 l 的大小是 60 线段AB B l AB与l所成的角为 30 则AB与平面 所成的角的 正弦值是 解析 过A作AC 平面 于C C为垂足 连结CB 过C作CD l于D 连结 AD 则AD l ADC为二面角 l 的平面角 即 ADC 60 AC ABC为直线AB与平面 所成角 设AB 1 则AD AC 1 2 1 2 3 2 3 4 sin ABC AC AB 3 4 1 3 4 答案 3 4 三 解答题 11 2010 江苏无锡 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 AB BC BC BC1 AB BC1 E F G分别为线段AC1 A1C1 BB1 的中点 求证 1 平面ABC 平面ABC1 2 EF 平面BCC1B1 3 GF 平面AB1C1 证明 1 BC AB BC BC1 AB BC1 B BC 平面ABC1 BC 平面ABC 平面ABC 平面ABC1 2 AE EC1 A1F FC1 EF AA1 BB1 AA1 EF BB1 EF 平面BCC1B1 EF 平面BCC1B1 3 连结EB 则四边形EFGB为平行四边形 EB AC1 FG AC1 BC 面ABC1 B1C1 面ABC1 B1C1 BE FG B1C1 用心 爱心 专心6 B1C1 AC1 C1 GF 平面AB1C1 12 已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形 且 DAB 60 AD AA1 F为棱BB1的中点 点M为线段AC1 的中点 1 求证 直线MF 平面ABCD 2 求证 平面AFC1 平面ACC1A1 3 求平面AFC1与平面ABCD所成的锐二面角的大小 1 证明 延长C1F交CB的延长线于点N 连结AN 因为F是BB1的中点 所以F 为C1N的中点 B为CN的中点 又M是线段AC1的中点 故MF AN 又 MF 平面ABCD AN 平面ABCD MF 平面ABCD 2 证明 如上图 连结BD 由直四棱柱ABCD A1B1C1D1 可知 A1A 平面ABCD 又 BD 平面ABCD A1A BD 四边形ABCD为菱形 AC BD 又 AC A1A A AC A1A 平面ACC1A1 BD 平面ACC1A1 在四边形DANB中 DA BN且DA BN 所以四边形DANB为平行四边形 故NA BD NA 平面ACC1A1 又 NA 平面AFC1 平面AFC1 平面ACC1A1 3 解 由 2 知BD 平面ACC1A1 又AC1 平面ACC1A1 BD AC1 BD NA AC1 NA 又因BD AC可知NA AC C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成锐二面角的平面角 在 Rt C1AC中 tan C1AC 故 C1AC 30 C1C CA 1 3 平面AFC1与平面ABCD所成锐二面角的大小为 30 用心 爱心 专心7 13 2010 湖北 18 如图 在四面体ABOC中 OC OA OC OB AOB 120 且OA OB OC 1 1 设P为AC的中点 证明 在AB上存在一点Q 使PQ OA 并计算的值 AB AQ 2 求二面角O AC B的平面角的余弦值 解 解法一 1 在平面OAB内作ON OA交AB于N 连结NC 又OA OC OA 平面ONC NC 平面ONC OA NC 取Q为AN的中点 则PQ NC PQ OA 在等腰 AOB中 AOB 120 OAB OBA 30 在 Rt AON中 OAN 30 ON AN AQ 1 2 在 ONB中 NOB 120 90 30 NBO NB ON AQ 3 AB AQ 2 连结PN PO 由OC OA OC OB知OC 平面OAB 又ON 平面OAB OC ON 用心 爱心 专心8 又由ON OA知ON 平面AOC OP是NP在平面AOC内的射影 在等腰 Rt COA中 P为AC的中点 AC OP 根据三垂线定理 知AC NP OPN为二面角O AC B的平面角 在等腰 Rt COA中 OC OA 1 OP 2 2 在 Rt AON中 ON OAtan 30 3 3 在 Rt PON中 PN OP2 ON2 30 6 cos OPN PO PN 2 2 30 6 15 5 解法二 1 取O为坐标原点 分别以OA OC所在的直线为x轴 z轴 建立空间直角坐标系 O xyz 如图所示 则A 1 0 0 C 0 0 1 B 1 2 3 2 0 P为AC中点 P 1 2 0 1 2 设 0 1 AQ AB AB 3 2 3 2 0 1 0 0 OQ OA AQ 3 2 3 2 0 1 3 2 3 2 0 用心 爱心 专心9 PQ OQ OP 1 2 3 2 3 2 1 2 PQ OA 0 即 0 所以存在点Q使得PQ PQ OA 1 2 3 2 1 3