（福建专用）2013年高考数学总复习 第三章第8课时 正弦定理和余弦定理的应用举例课时闯关（含解析）

1 福建专用 福建专用 20132013 年高考数学总复习年高考数学总复习 第三章第第三章第 8 8 课时课时 正弦定理和正弦定理和 余弦定理的应用举例课时闯关 含解析 余弦定理的应用举例课时闯关 含解析 一 选择题 1 2012 龙岩质检 如果在测量中 某渠道斜坡的坡比为 设 为坡角 那么 cos 等 3 4 于 A B 3 5 4 5 C D 3 4 4 3 解析 选 B 因 tan 所以 cos 3 4 4 5 2 如图所示 为了测量隧道口AB的长度 给定下列四组数据 测量时最 适合用数据 A a b B a C a b D b 解析 选 C 在 ABC中 AB2 a2 b2 2abcos 最合适的数据是a b 3 2012 三明质检 如图 在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰 角为 60 塔基的俯角为 45 那么该塔吊的高是 A 20 m 1 3 3 B 20 1 m 3 C 10 m 62 D 20 m 62 解析 选 B 由题意得CE AE AB 20 m DE AE tan 60 20 m 所 3 以塔吊的高为 20 20 20 1 m 33 4 某人向正东方向走x km 后 向右转 150 然后朝新方向走 3 km 结果他离出发点恰 好 km 那么x的值为 3 A B 2 33 C 2或 D 3 33 解析 选 C 如图 由题意得 ABC 30 因为 AC BC 3 AB x 3 AC2 AB2 BC2 2AB BC cos30 所以 2 32 x2 3x 解得 33 x 2或x 33 5 一船自西向东匀速航行 上午 10 时到达灯塔P的南偏西 75 距塔 68 海里的M处 下 午 2 时到达这座灯塔的东南方向的N处 则这只船航行的速度为 A 海里 时 B 34海里 时 17 6 26 C 海里 时 D 34海里 时 17 2 22 解析 选 A 如图 由题意知 MPN 75 45 120 PNM 45 在 PMN中 由正弦定理 得 MN sin120 PM sin45 2 MN 68 34 海里 3 2 2 26 又由M到N所用时间为 14 10 4 小时 船的航行速度v 海里 时 34 6 4 17 2 6 二 填空题 6 在直径为 30 m 的圆形广场中央上空 设置一个照明光源 射向地面的光呈圆形 且其 轴截面顶角为 120 若要光源恰好照亮整个广场 则光源的高度为 m 解析 轴截面如图 则光源高度h 5 m 15 tan60 3 答案 5 3 7 如图 海平面上的甲船位于中心O的南偏西 30 与O相距 10 海里的 C处 现甲船以 30 海里 小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向 20 海里的B处的乙船 甲船需要 小时到达B处 解析 由题意 对于CB的长度 由余弦定理 得 CB2 CO2 OB2 2CO OBcos120 100 400 200 700 CB 10 海里 7 甲船所需时间为 小时 10 7 30 7 3 答案 7 3 8 如图 在坡度为 15 的观礼台上 某一列座位与旗杆在同 一个垂直于地面的平面上 在该列的第一排和最后一排测得 旗杆顶端的仰角分别为 60 和 30 且第一排和最后一排的 距离为 10米 则旗杆的高度为 米 6 解析 设旗杆高为h米 最后一排为点A 第一排为点B 旗杆顶端为点C 则BC h h sin60 2 3 3 在 ABC中 AB 10 CAB 45 ABC 105 6 所以 ACB 30 由正弦定理得 故h 30 10 6 sin30 2 3 3 h sin45 答案 30 三 解答题 9 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内 已知飞机的高度为海拔 10000 m 速 度为 180 km 千米 h 小时 飞机先看到山顶的俯角为 15 经过 420 s 秒 后又看到山顶 的俯角为 45 求山顶的海拔高度 取 1 4 1 7 23 解 如图 A 15 DBC 45 ACB 30 AB 180 km 千米 h 小时 420 s 秒 21000 m 3 在 ABC中 BC sinA AB sin ACB BC sin15 10500 21000 1 262 CD AD CD BCsin CBD BC sin45 10500 62 2 2 10500 1 10500 1 7 1 7350 3 即山顶的海拔高度 10000 7350 2650 米 10 某市电力部门在抗雪救灾的某项重建工程中 需要在A B两地之 间架设高压电线 因地理条件限制 不能直接测量A B两地距离 现 测量人员在相距 km 的C D两地 假设A B C D在同一平面上 3 测得 ACB 75 BCD 45 ADC 30 ADB 45 如图 假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因 实际所须电线长度大 约应该是A B距离的 倍 问施工单位至少应该准备多长的电线 4 3 解 在 ACD中 由已知可得 CAD 30 所以 AC km 3 在 BCD中 由已知可得 CBD 60 sin75 sin 45 30 6 2 4 由正弦定理 BC 3sin75 sin60 6 2 2 cos75 cos 45 30 6 2 4 在 ABC中 由余弦定理AB2 AC2 BC2 2ACBC cos BCA 2 2 2 3 6 2 2 3 cos75 5 6 2 2 所以 AB 施工单位应该准备电线长 5 4 3 5 即施工单位应该准备电线长 km 4 3 5 一 选择题 1 某人要制作一个三角形 要求它的三条高的长度分别为 则此人 1 13 1 11 1 5 A 不能作出这样的三角形 B 能作出一个锐角三角形 C 能作出一个直角三角形 D 能作出一个钝角三角形 解析 选 D 设三边为a b c 则由面积公式得a b c x x 0 则 1 13 1 11 1 5 a 13x b 11x c 5x 由 13x 2 11x 2 5x 2 146x2 可以得到一个钝角三角 形 2 2012 福州调研 台风中心从A地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动 离台风中 4 心 30 千米内的地区为危险区 城市B在A的正东 40 千米处 B城市处于危险区内的时间 为 A 0 5 小时 B 1 小时 C 1 5 小时 D 2 小时 解析 选 B 法一 设A地东北方向上点P到B的距离为 30 千米 AP x 在 ABP中PB2 AP2 AB2 2AP AB cosA 即 302 x2 402 2x 40cos45 化简得x2 40 x 700 0 2 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 400 x1 x2 20 即CD 20 故t 1 CD v 20 20 法二 如图以A为原点东西向为x轴建系 BE CD于E BE 40cos45 20 CD 2 20 以下同上 2302 20 2 2 二 填空题 3 某班设计了一个八边形的班徽 如图 它由腰长为 1 顶角为 的四 个等腰三角形 及其底边构成的正方形所组成 该八边形的面积为 用 的三角函数值表示 解析 四个等腰三角形的面积之和为 4 1 1 sin 2sin 1 2 在一个三角形中由余弦定理可知正方形的边长为 12 12 2 1 1 cos 2 2cos 所以正方形的面积为 2 2cos 因此 该八边形的面积为 2sin 2 2cos 答案 2sin 2cos 2 4 如图 点A在坡度一定的山坡上 已知在点A测得山顶上一建 筑物顶端C对于山坡的斜度为 15 向山顶前进 100 m 后 又从 点B测得斜度为 45 假设建筑物高 50 m 求此山坡对于地平面 的坡角 的余弦值 解析 在 ABC中 AB 100 m CAB 15 ACB 45 15 30 由正弦定理得 所以BC 200sin15 100 sin30 BC sin15 在 DBC中 CD 50 m CBD 45 CDB 90 由正弦定理得 50 sin45 200sin15 sin 90 所以 cos 1 3 答案 1 3 三 解答题 5 如图 位于A处的信息中心获悉 在其正东方向相距 40 海里的 B处有一艘渔船遇险 在原地等待营救 信息中心立即把消息告 知在其南偏西 30 相距 20 海里的C处的乙船 现乙船朝北偏 东 的方向沿直线CB前往B处求援 求 cos 的值 解 如题图所示 在 ABC中 AB 40 AC 20 BAC 120 由余弦定理知 BC2 AB2 AC2 2AB AC cos120 2800 BC 20 7 由正弦定理得 AB sin ACB BC sin BAC sin ACB sin BAC AB BC 21 7 5 由 BAC 120 知 ACB为锐角 则 cos ACB 2 7 7 由 ACB 30 得 cos cos ACB 30 cos ACBcos30 sin ACBsin30 21 14 6 2012 厦门质检 某海岛上有一座海拔 1 千米的山 山顶上有一观察站P P在海平面上 的射影点为A 测得一游艇在海岛南偏西 30 俯角为 45 的B处 该游艇准备前往海 岛正东方向 俯角为 45 的旅游景点C处 如图所示 1 设游艇从B处直线航行到C处时 距离观察站P最近的点为D处 求证 BC 平面PAD 计算B D两点间的距离 2 海水退潮后 在 1 中的点D处周围 0 25 千米内有暗礁 航道变窄 为了有序参观景点 要求游艇从B处直线航行到A的正东方向某点E处后 再沿正东方向继续驶向C处 为使 游艇不会触礁 试求AE的最大值 解 1 证明 连结PD AD 游艇距离观察站P最近的点为D处 PD BC 又依题意可知PA 平面ABC PA BC 又PA PD P BC 平面PAD 依题意又知PA AB PBA 45 PA 1 AB 1 同理AC 1 且 BAC 120 ABC ACB 30 又BC AD D为BC的中点 且BD 3 2 2 法一 依题意过点B作圆D的切线交AC于点E 切点为G 则 AE取得最大值 设AE x 则CE 1 x 过点E作EF BC于F 则EF 1 x 2 连结DG 则DG BE Rt BGD Rt BFE 可得BE 1 x DG EF BD BE3 在 ABE中 BE2 AB2 AE2 2AB AE cos BAC 即 3 1 x 2 1 x2 x 化简得 2x2 7x 2 0 解得x1 x2 7 33 4 7 33 4 又 0 x 1 x2 7 33 4 6 答 BD的长为千米 AE的最大值为千米 3 2 7 33 4 法二 在平面ABC内 以A为坐标原点 AC为x轴正方向 建立直角 坐标系 依题意 当直线BE与圆D相切时AE最长 由已知AB 1 得B 1 2