【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第11单元 11.2 合情推理与演绎推理随堂训练 理 新人教A版

用心 爱心 专心 11 211 2 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 一 选择题一 选择题 1 1 由 由 若若a a b b 0 0 m m 0 0 则 则与与 之间大小关系为之间大小关系为 7 7 1 10 0 5 5 8 8 9 9 1 11 1 8 8 1 10 0 1 13 3 2 25 5 9 9 2 21 1 b b m m a a m m b b a a A A 相等 相等 B B 前者大 前者大 C C 后者大 后者大 D D 不确定 不确定 答案 答案 B B 2 2 自然数按下表的规律排列 自然数按下表的规律排列 1 1 2 2 5 5 1010 1717 4 4 3 3 6 6 1111 1818 9 9 8 8 7 7 1212 1919 1616 1515 1414 1313 2020 2525 2424 2323 2222 2121 则上起第则上起第 2 2 007007 行 左起第行 左起第 2 2 008008 列的数为列的数为 A A 2 2 0070072 2 B B 2 2 0080082 2 C C 2 2 006 2006 2 007007 D D 2 2 007 2007 2 008008 解析 经观察可得这个自然数表的排列特点 解析 经观察可得这个自然数表的排列特点 第一列的每个数都是完全平方数 并且恰好等于它所在行数的平方 即第第一列的每个数都是完全平方数 并且恰好等于它所在行数的平方 即第n n行的第行的第 1 1 个数为个数为n n2 2 第一行第第一行第n n个数为个数为 n n 1 1 2 2 1 1 第第n n行从第行从第 1 1 个数至第个数至第n n个数依次递减个数依次递减 1 1 第第n n列从第列从第 1 1 个数至第个数至第n n个数依次递增个数依次递增 1 1 故上起第故上起第 2 2 007007 行 左起第行 左起第 2 2 008008 列的数 应是第列的数 应是第 2 2 008008 列的第列的第 2 2 007007 个数 即为个数 即为 2 2 008008 1 1 2 2 1 1 2 2 006006 2 2 007 2007 2 008 008 答案 答案 D D 3 3 下列推理是归纳推理的是 下列推理是归纳推理的是 A A A A B B为定点 动点为定点 动点P P满足满足 PAPA PBPB 2 2a a ABAB 得 得P P的轨迹为椭圆的轨迹为椭圆 B B 由 由a a1 1 1 1 a an n 3 3n n 1 1 求出 求出S S1 1 S S2 2 S S3 3 猜想出数列的前 猜想出数列的前n n项和项和S Sn n的表达式的表达式 C C 由圆 由圆x x2 2 y y2 2 r r2 2的面积的面积 r r2 2 猜出椭圆 猜出椭圆 1 1 的面积的面积S S abab x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 D D 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 用心 爱心 专心 解析 从解析 从S S1 1 S S2 2 S S3 3猜想出数列的前猜想出数列的前n n项和项和S Sn n 是从特殊到一般的推理 所以 是从特殊到一般的推理 所以 B B 是归是归 纳推理 纳推理 答案 答案 B B 4 4 如下图所示 把 如下图所示 把 1 3 6 10 15 211 3 6 10 15 21 这些数叫做三角形数 这是因为这些数目的点可这些数叫做三角形数 这是因为这些数目的点可 以排成一个正三角形 试求第七个三角形数是以排成一个正三角形 试求第七个三角形数是 A A 2727 B B 2828 C C 2929 D D 3030 解析 解析 a a1 1 1 1 a a2 2 a a1 1 2 2 a a3 3 a a2 2 3 3 a a4 4 a a3 3 4 4 a an n a an n 1 1 n n a an n n n n n 1 1 n n 2 2 2 2 1 1 a a7 7 28 28 n n n n 1 1 2 2 7 7 8 8 2 2 答案 答案 B B 二 填空题二 填空题 5 5 中学数学中存在许多关系 比如 中学数学中存在许多关系 比如 相等关系相等关系 平行关系平行关系 等等 如果集合等等 如果集合A A中元素之中元素之 间的一个关系间的一个关系 满足以下三个条件 满足以下三个条件 1 1 自反性 对于任意自反性 对于任意a a A A 都有 都有a a a a 2 2 对称性 对于对称性 对于a a b b A A 若 若a a b b 则有 则有b b a a 3 3 传递性 对于传递性 对于a a b b c c A A 若 若a a b b b b c c 则有 则有a a c c 则称则称 是集合是集合A A的一个等价关系 例如 的一个等价关系 例如 数的相等数的相等 是等价关系 而是等价关系 而 直线的直线的 平行平行 不是等价关系不是等价关系 自反性不成立自反性不成立 请你再列出三个等价关系 请你再列出三个等价关系 答案 答案不唯一 如答案 答案不唯一 如 图形的全等图形的全等 图形的相似图形的相似 非零向量的共线非零向量的共线 命题的命题的 充要条件充要条件 等等 等等 6 6 设正数数列 设正数数列 a an n 前前n n项和为项和为S Sn n 且存在正数 且存在正数t t 使得对所有自然数 使得对所有自然数n n 有 有 t tS Sn n t t a an n 2 2 则通过归纳猜想可得到则通过归纳猜想可得到S Sn n 解析 令解析 令n n 1 1 则 则 S S1 1 a a1 1 t t 令令n n 2 2 则 则 则 则 t ta a1 1 t t a a1 1 2 2t t a a1 1 a a2 2 t t a a2 2 2 2 a a2 2 3 3t t S S2 2 4 4t t 同理同理S S3 3 9 9t t 归纳归纳S Sn n n n2 2t t 答案 答案 n n2 2t t 7 7 在平面上 我们如果用一条直线去截正方形的一个角 那么截下的一个直角三角形 按 在平面上 我们如果用一条直线去截正方形的一个角 那么截下的一个直角三角形 按 图所标边长 由勾股定理有 图所标边长 由勾股定理有 c c2 2 a a2 2 b b2 2 设想正方形换成正方体 把截线换成如下图设想正方形换成正方体 把截线换成如下图 的截面 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥的截面 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O O LMNLMN 如果用 如果用S S1 1 S S2 2 S S3 3 表示三个侧面面积 表示三个侧面面积 S S4 4表示截面面积 那么你类比得到的结论是表示截面面积 那么你类比得到的结论是 用心 爱心 专心 答案 答案 S S S S S S S S 2 2 1 12 2 2 22 2 3 32 2 4 4 三 解答题三 解答题 8 8 已知 已知 sinsin2 230 30 sinsin2 290 90 sinsin2 2150 150 sinsin2 25 5 sinsin2 265 65 sinsin2 2125 125 通过观通过观 3 3 2 2 3 3 2 2 察上述两个不等式的规律 请写出一个一般性的命题 并给出证明 察上述两个不等式的规律 请写出一个一般性的命题 并给出证明 解答 一般性的命题为 解答 一般性的命题为 sinsin2 2 sinsin2 2 60 60 sinsin2 2 120 120 3 3 2 2 证明如下 证明如下 左边 左边 1 1 c co os s 2 2 2 2 1 1 c co os s 1 12 20 0 2 2 2 2 1 1 c co os s 2 24 40 0 2 2 2 2 cos cos 2 2 cos 120 cos 120 2 2 cos 240 cos 240 2 2 3 3 2 2 1 1 2 2 cos cos 2 2 coscos 120 cos120 cos 2 2 sinsin 120 sin120 sin 2 2 3 3 2 2 1 1 2 2 coscos 240 cos240 cos 2 2 sinsin 240 sin240 sin 2 2 右边 右边 3 3 2 2 所以命题得证 所以命题得证 9 9 如右图所示 点 如右图所示 点P P为斜三棱柱为斜三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1的侧棱的侧棱BBBB1 1上一点 上一点 PMPM BBBB1 1交交AAAA1 1于点于点 M M PNPN BBBB1 1交交CCCC1 1于点于点N N 1 1 求证 求证 CCCC1 1 MNMN 2 2 在任意在任意 DEFDEF中有余弦定理 中有余弦定理 DEDE2 2 DFDF2 2 EFEF2 2 2 2DFDF EFEFcos cos DFEDFE 拓展到空间 类比三角形的余弦定理 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面拓展到空间 类比三角形的余弦定理 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面 所成的二面角之间的关系式 并予以证明 所成的二面角之间的关系式 并予以证明 证明 证明 1 1 PMPM BBBB1 1 PNPN BBBB1 1 BBBB1 1 平面平面PMNPMN BBBB1 1 MNMN 又又CCCC1 1 BBBB1 1 CCCC1 1 MNMN 2 2 在斜三棱柱在斜三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中 有中 有S S2 2ABBABB1 1A A1 1 S S2 2BCCBCC1 1B B1 1 S S2 2ACCACC1 1A A1 1 2 2SBCCSBCC1 1B B1 1SACCSACC1 1A A1 1coscos 其中其中 为平面为平面CCCC1 1B B1 1B B与平面与平面CCCC1 1A A1 1A A所组成的二面角所组成的二面角 用心 爱心 专心 CCCC1 1 平面平面PMNPMN 上述的二面角的平面角为上述的二面角的平面角为 MNPMNP 在在 PMNPMN中 中 PMPM2 2 PNPN2 2 MNMN2 2 2 2PNPN MNMNcos cos MNPMNP PMPM2 2 CCCC PNPN2 2 CCCC MNMN2 2 CCCC 2 2 PNPN CCCC1 1 MNMN CCCC1 1 cos cos MNPMNP 2 2 1 12 2 1 12 2 1 1 由于由于S SBCC BCC1 1B B1 1 PNPN CCCC1 1 S SACC ACC1 1A A1 1 MNMN CCCC1 1 S SABB ABB1 1A A1 1 PMPM BBBB1 1 PMPM CCCC1 1 有有S S2 2ABB ABB1 1A A1 1 S S2 2BCC BCC1 1B B1 1 S S2 2ACC ACC1 1A A1 1 2 2S SBCC BCC1 1B B1 1 S SACC ACC1 1A A1 1 cos cos 1010 1 1 找出三角形和空间四面体的相似性质 找出三角形和空间四面体的相似性质 2 2 并用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质 并用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质 三角形的两边之和大于第三边 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线等于第三边的一半 并且平行第三边 三角形的中位线等于第三边的一半 并且平行第三边 三角形的三条内角平分线交于一点 且这个点是三角形内切圆的圆心 三角形的三条内角平分线交于一点 且这个点是三角形内切圆的圆心 三角形的面积为三角形的面积为S S a a b b c c r r r r为内切圆半径为内切圆半径 1 1 2 2 解答 三角形和四面体有下列共同性质 解答 三角形和四面体有下列共同性质 1 1 三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形 四面体是空间中由平面三角形三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形 四面体是空间中由平面三角形 所围成的最简单的封闭图形 所围成的最简单的封闭图形 2 2 三角形可以看作平面上一条线段外一点及这条线段上的各点所形成的图形 四面体三角形可以看作平面上一条线段外一点及这条线段上的各点所形成的图形 四面体 可以看作三角形外一点与这个三角形上各点的连线所围成的图形 可以看作三角形外一点与这个三角形上各点的连线所围成的图形 根据三角形的性质可以推测空间四面体有如下性质根据三角形的性质可以推测空间四面体有如下性质 三角形三角形四面体四面体 三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边 四面体任意三个面的面积之和大于第四四面体任意三个面的面积之和大于第四 个面的面积个面的面积 三角形的中位线等于第三边的一半 并三角形的中位线等于第三边的一半 并 且平行于第三边且平行于第三边 四面体的中位面的面积等于第四个面面四面体的中位面的面积等于第四个面面 积的积的 且平行于第四个面 且平行于第四个面 1 1 4 4 三角形的三条内角平分线交于一点 且三角形的三条内角平分线交于一点 且 这个点是三角形内切圆的圆心这个点是三角形内切圆的圆心 四面体的六个二面角的平分面交于一点 四面体的六个二面角的平分面交于一点 且这个点是四面体内切球的球心且这个点是四面体内切球的球心 三角形的面积为三角形的面积为S S a a b b c c r r r r为三为三 1 1 2 2 角形内切圆的半径角形内切圆的半径 四面体的体积为四面体的体积为V V S S1 1 S S2 2 S S3 3 S S4 4 1 1 3 3 r r S S1 1 S S2 2 S S3 3 S S4 4为四个面的面积 为四个面的面积 r r为为 内切球的半径内切球的半径 1 1 已知整数的数对列如下 已知整数的数对列如下 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 3 1 3 2 2 2 2 3 1 3 1 1 4 1 4 2 3 2 3 用心 爱心 专心 3 2 3 2 4 1 4 1 1 5 1 5 2 4 2 4 则第则第 6060 个数对是个数对是 A A 3 8 3 8 B B 4 7 4 7 C C 4 8 4 8 D D 5 7 5 7 解析 观察可知横坐标和纵坐标之和为解析 观察可知横坐标和纵坐标之和为 2 2 的数对有的数对有 1 1 个 和为个 和为 3 3 的数对有的数对有 2 2 个 和为个 和为 4 4 的数对有的数对有 3 3 个 和为个 和为 5 5 的数对有的数对有 4 4 个 依此类推和为个 依此类推和为n n 1 1 的数对有的数对有n n个 多个数对个 多个数对 的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的 由的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的 由 6060 n n n n 1 1 n n n n 1 1 2 2 120120 n n Z Z n