【拿高分 选好题】（新课程）高中数学二轮复习 第一部分 18个必考问题 专项突破《必考问题2 函数与方程及函数应用》热点命题 苏教版

1 必考问题必考问题 2 2 函数与方程及函数应用函数与方程及函数应用 真题体验 1 2012 江苏 设f x 是定义在 R R 上且周期为 2 的函数 在区间 1 1 上 f x Error 其中a b R R 若f f 则a 3b的值为 1 2 3 2 解析 因为函数f x 是周期为 2 的函数 所以f 1 f 1 a 1 又 b 2 2 f f f a 1 联立列成方程组解得a 2 b 4 所以 1 2 3 2 1 2 1 2b 2 3 2 1 2 a 3b 2 12 10 答案 10 2 2011 江苏 已知实数a 0 函数f x Error 若f 1 a f 1 a 则a的值 为 解析 因为函数f x 在 1 1 都是单调函数 所以由f 1 a f 1 a 得 1 a 1 a分别在 1 1 上 所以Error 或Error 无解 解得a 3 4 答案 3 4 3 2012 天津改编 函数f x Error 若函数y f x 2 有 3 个零点 则实数a的值 为 解析 函数y f x 2 有 3 个零点 即为函数y f x 与y 2 的图象有 3 个不同的 交点 在同一坐标系中作出函数y f x 与y 2 的图象如图 由图象可知a 2 答案 2 4 2012 苏州期中调研 已知方程x3 3 x的解在区间内 n Z Z 则n的 n 2 n 1 2 值是 解析 令h x x3 3 x x3 x 3 h x 3x2 1 0 h x 在定义域内为增函数 若其有零点则必唯一 2 h 1 0 h 0 h x 0 的解在区间内 此时n 2 3 2 1 3 2 答案 2 5 2012 天一 淮阴 海门中学调研 将一个长宽分别是a b 0 b a 的铁皮的四 角切去相同的正方形 然后折成一个无盖的长方体的盒子 若这个长方体的外接球的体积 存在最小值 则 的取值范围是 a b 解析 设切去正方形的边长为x x 则该长方体外接球的半径为r 0 b 2 1 2 可得r2 a 2x 2 b 2x 2 x2 a 2x 2 b 2x 2 x2 1 4 1 4 在x 存在最小值时 必有 0 解得 9x2 4 a b x a2 b2 0 b 2 2 a b 9 b 2 又 0 b a 1 故 的取值范围是 a b 5 4 a b a b 1 5 4 答案 1 5 4 高考定位 高考对本内容的考查主要有 1 函数与方程是 A 级要求 但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查 是重要考点 2 函数模型及其应用是考查热点 要求是 B 级 试题类型可能是填空题 也可能在解答题中与函数性质 导数 不等式综合考查 应对策略 方程根的个数的判断 利用二分法确定函数的零点所在的区间都可能成为考点 尤其 是利用数形结合确定方程根的个数更是重要考点 在填空题 解答题中都可以进行考查 对基本函数的图象熟练掌握即可解决此类问题 函数模型的建立 利用不等式或导数求函数最值都可能成为考点 尤其是利用导数求 函数最值更是重要考点 一般在解答题中进行考查 难度多以中档题出现 解决此类问题 应注意掌握几种常见的函数模型 若涉及分段函数问题 解题时 应注意根据图象信息恰 当分类 再者解答应用题要认真审题 理清数量关系 将文字或图形或表格语言转化为数 学语言 建立相应的目标函数即可解决此类问题 必备知识 1 对于函数y f x 我们把满足f x 0 的实数x叫做函数y f x 的零点 实质 3 上函数y f x 的零点就是方程f x 0 的实数根 也是函数y f x 的图象与x轴的交点 的横坐标 它是实数而不是点 所以方程f x 0 有实数根 函数y f x 的图象与x轴 有交点 函数y f x 有零点 2 函数零点的重要性质 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是连续曲线 并且 满足f a f b 0 则在区间 a b 内 函数y f x 有零点 即存在c a b 使得 f c 0 这个c也就是方程f x 0 的根 注意以下两点 满足条件的零点可能不唯一 不满足条件时 也可能有零点 3 二分法求函数零点的近似值 二分法求方程的近似解 4 常见的函数模型 1 一次函数模型 2 二次函数模型 3 正比例和反比例函数 模型 4 指数函数模型 5 对数函数模型 5 应用函数模型解决实际问题的一般步骤 1 阅读题目 理解题意 2 设置变量 建立函数关系 3 应用函数知识或数学方法解决问题 4 检验 作答 必备方法 1 函数的零点 函数的零点不是点 而是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 所以零点是一个实数 一个使函数值为 0 的实数 函数的零点分变号零点和不变号零点两 种 变号零点可以用二分法求解 不变号零点一般通过函数图象判断 如函数y x 1 有一个零点 1 它是不变号零点 所以f a f b 0 是函数y f x 在区间 a b 上存在 零点的充分非必要条件 2 方程根的分布 求方程的根或根的近似值 就是求函数的零点值或其近似值 将方 程根的问题转化为函数的零点问题 不仅直观展现了方程根的几何意义 重要的是能够简 化运算程序 提高解决问题的效率 3 函数与方程的综合应用 数形结合是这种转化的重要依据 把数量关系和几何图形 结合起来是函数综合应用借以考查数学综合能力的重要题型 4 函数应用题的解法 解答数学应用题是在阅读文字材料 理解题意的基础上对实际 问题进行抽象概括 再转化为数学符号语言 最后进行数学化处理的过程 命题角度一 函数与方程 命题要点 二次函数与二次方程 确定方程解的个数 或者函数零点的个数 已知方程解的个数或者函数零点的个数 确定参数的取值范围 例 1 2012 天一 淮阴 海门中学调研 若方程 lg kx 2lg x 1 仅有一个实 根 那么k的取值范围是 4 审题视点 听课记录 审题视点 根据函数图象将方程只有一个实根转化为函数图象只有一个交点 解析 方程 lg kx 2lg x 1 仅有一个实根等价于函数y kx y x 1 2 x 1 的图象只有一个交点 在同一坐标系中作出函数图象如图 当直线y kx与y x 1 2 x 1 相切时 方程x2 2 k x 1 0 有两个相等的正根 所以Error 解得k 4 当k 0 时 y kx y x 1 2 x 1 只有一个交点 故k的取值范围是k 0 或k 4 答案 k k 0 或k 4 已知方程解的个数 求参数的取值范围 一般方法是优先考虑定义域 再 对方程变形 转化为直线和曲线的交点个数 即已知两个函数图象在某个范围上的交点个 数 求参数的范围 借助图象直观解题 注意图象一定要正确 突破训练 1 二次函数f x ax2 bx c的系数均为整数 若 1 2 且 是方程f x 0 两个不等的实数根 则最小正整数a的值为 解析 根据条件进行等价转化 再利用二次函数图象直观求解 因为 1 2 且 是方程f x 0 两个不等的实数根 所以f 1 0 f 2 0 又二次函数f x ax2 bx c的系数均为整数 且a 0 所以f 1 1 f 2 1 当a最小时 必有f 1 1 f 2 1 即Error 得Error 代入 b2 4ac 0 中解得a 4 又当a 5 时 Error 满足 题意 故最小正整数a的值为 5 答案 5 命题角度二 函数模型的应用 命题要点 函数模型的建立 函数模型中的最值问题 5 例 2 2012 徐州高考考前信息卷 某公司经销某产品 第x天 1 x 30 x N N 的销售价格为p a x 20 a为常数 元 件 第x天的销售量为 q 50 x 16 件 且公司在第 18 天该产品的销售收入为 2 016 元 1 求该公司在第 20 天该产品的销售收入是多少 2 这 30 天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大 最大收入为多少 审题视点 听课记录 审题视点 根据数量关系建立目标函数 将问题转化为分段函数的最值问题 解 1 设该公司第x天的销售收入为f x 由已知 第 18 天的销售价格p a 2 销售量q 48 所以第 18 天的销售收入f 18 a 2 48 2 016 所以a 40 第 20 天的销售收入f 20 40 46 1 840 元 2 由条件得f x Error 当 1 x 16 时 f x 34 x 60 x 2 2 209 当且仅 34 x 60 x 2 当x 13 时取等号 所以 当x 13 时取最大值f 13 2 209 当 17 x 19 时 f x 60 x 66 x x2 126x 60 66 x 63 2 9 所以 当x 17 时 f x 取最大值为f 17 43 49 2 107 当 20 x 30 时 f x 66 x 20 x 2 1 849 当且仅 66 x 20 x 2 当x 23 时取等号 所以当x 23 时 f x 取最大值f 23 1 849 由于f 13 f 17 f 23 所以第 13 天该农户的销售收入最大 且最大为 2 209 元 所以第 20 天的销售收入为 1 840 元 第 13 天该公司的销售收入最大 最大值为 2 209 元 函数模型的应用问题 解法程序化 模式化 一般是根据题意将实际问题 转化为数学问题 再利用相应的数学知识解决问题 需要注意实际问题中的定义域要使函 数有意义 而且要符合实际情况 突破训练 2 2012 无一 淮阴 海门中学调研 省环保研究所对市中心每天环境 放射性污染情况进行调查研究后 发现一天中环境综合放射性污染指数f x 与时刻x 时 6 的关系为f x 2a x 0 24 其中a是与气象有关的参数 且a x x2 1 a 2 3 若用每天f x 的最大值为当天的综合放射性污染指数 并记作M a 0 1 2 1 令t x 0 24 求t的取值范围 x x2 1 2 省政府规定 每天的综合放射性污染指数不得超过 2 试问目前市中心的综合放射 性污染指数是否超标 解 1 当x 0 时 t 0 当 0 x 24 时 x 2 当x 1 时取等号 1 x t 即t的取值范围是 x x2 1 1 x 1 x 0 1 2 0 1 2 2 当a 时 记g t t a 2a 0 1 2 2 3 则g t Error g t 在 0 a 上单调递减 在上单调递增 a 1 2 且g 0 3a g a g 0 g 2 2 3 1 2 7 6 1 2 a 1 4 故M a Error Error 当且仅当a 时 M a 2 4 9 故当 0 a 时不超标 当 a 时超标 4 9 4 9 1 2 7 2 新元 范围要考虑 不合题意要舍去 一 对方程换元时要考虑 新元 的取值范围 例 1 若关于x的方程 4x a 2x a 1 0 有解 则实数a的取值范围是 解析 令 2x t 0 则问题转化为方程t2 at a 1 0 在t 0 上有解 利 用分离参数得a 所以实数a的取值范围是函数y 在t 0 上 t2 1 t 1 t2 1 t 1 的值域 令t 1 m 1 则y 2 2 2 即y 2 2 故 m 1 2 1 m m 2 m 22 a 2 2 2 答案 2 2 2 老师叮咛 二次方程根的分布是函数与方程的重要内容 对于能够通过换元转化为二 次函数或二次方程的问题 一般是先换元 将问题转化为 二次 的问题解决 但要注意 换元之后变量的范围与原来的就不一定一样 如本题 原方程是在 R R 上有解 但关于t的 方程就在t 0 上有解 常见错误只考虑利用 a2 4 a 1 0 解得 a 2 2或a 2 2 22 二 正确应用函数图象确定方程实根个数 例 2 函数f x xlg x 2 1 的零点在 k k 1 k Z Z 则k 解析 函数f x xlg x 2 1 的零点即为方程 lg x 2 的根 在同一坐标系中 1 x 作出函数y lg x 2 与y 的图象 如图所示 由图象可知 原方程有两个根 一个在 1 x 区间 2 1 上 一个在区间 1 2 上 所以k 2 或 1 答案 2 或 1 老师叮咛 利用函数图象 由两个函数图象的交点个数得方程的实根个数或者函数的零点个数 是常用方法 要熟练掌握 要注意全面 准确地画出函数图象是正确解题的关键 对函数图象有几个部分组成的 要画出图象的各个部分 否则很可能漏解 如本题就容易只画出图象在第一象限的部分 即只能得到k 1 造成漏解 三 函数模型的应用要注意将不合题意的结果舍去 例 3 商家通常依据 乐观系数准则 确定商品销售价格 即根据商品的最低销 售限价a 最高销售限价b b a 以及实数x 0 x 1 确定实际销售价格 8 c a x b a 这里 x被称为乐观系数 经验表明 最佳乐观系数x恰好使得 c a 是 b c 和 b a 的等比中项 据此可得 最佳乐观系数x的值等