【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第八章 立体几何8．7空间向量的应用教学案 理 新人教A版

1 8 78 7 空间向量的应用空间向量的应用 考考纲纲要要求求 1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 3 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 4 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解 向量方法在研究立体几何问题中的应用 1 直线的方向向量及其应用 1 直线的方向向量 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量 或共线 的向 量 显然一条直线的方向向量有 个 2 直线方向向量的应用 利用直线的方向向量 可以确定空间中的直线和平面 对于直线l 点A是直线l上一点 向量a a是l的方向向量 在直线l上取 a a AB 则对于直线l上任意一点P 一定存在实数t 使得 这样 点A和向量a a 不仅可以确定直线l的位置 还可以具体表示出l上的任意一点 空间中平面 的位置可以由 内两条相交直线确定 若设这两条直线相交于点 O 它们的方向向量分别是a a和b b P为平面 上任意一点 由平面向量基本定理可知 存 在有序实数对 x y 使得 这样 点O与方向向量a a b b不仅可以确定平面 OP 的位置 还可以具体表示出 内的任意一点 2 平面的法向量 1 若直线l 取直线l的方向向量a a 则向量a a叫做平面 的法向量 显然一个 平面的法向量也有 个 它们是 向量 2 在空间中 给定一个点A和一个向量a a 那么 过点A 以向量a a为法向量的平面 是 确定的 3 直线的方向向量与平面的法向量在确定直线 平面位置关系中的应用 直线l1的方向向量u u1 1 a1 b1 c1 直线l2的方向向量为u u2 2 a2 b2 c2 注 下面的 k R R 如果l1 l2 那么u u1 1 u u2 2u u1 1 u u2 2 如果l1 l2 那么u u1 1 u u2 2u u1 1 u u2 2 0 直线l的方向向量为u u a1 b1 c1 平面 的法向量为n n a2 b2 c2 若l 则u nu nu nu n 0 若l 则u nu nu u kn n 平面 1的法向量为u u1 1 a1 b1 c1 平面 2的法向量为u u2 2 a2 b2 c2 若 1 2 则u u1 1 u u2 2u u1 1 ku u2 2 若 1 2 则u u1 1 u u2 2u u1 1 u u2 2 0 4 利用空间向量求空间角 1 两条异面直线所成的角 范围 两异面直线所成的角 的取值范围是 向量求法 设直线a b的方向向量为a a b b 其夹角为 则有 2 直线与平面所成的角 范围 直线和平面所成角 的取值范围是 向量求法 设直线l的方向向量为a a 平面的法向量为u u 直线与平面所成的角为 a a与u u的夹角为 则有 sin 或 cos sin 3 二面角 二面角的取值范围是 二面角的向量求法 2 若AB CD分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的异面直线 则二面角的平面 角的大小就是向量与的夹角 如图甲 AB CD 设n n1 1 n n2 2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n n1 1与n n2 2的夹角 或其补角 的大小就是二面角的平面角的大小 如图乙 丙 5 利用空间向量求空间距离 1 利用 2 可以求空间中有向线段的长度 AB AB AB 2 点面距离的求法 已知AB为平面 的一条斜线段 n n为平面 的法向量 则B到平面 的距离为 cos n n BO AB AB 1 若直线l的方向向量为a a 1 0 2 平面 的法向量为u u 2 0 4 则 A l B l C l D l与 斜交 2 若平面 1 2垂直 则下面可以是这两个平面的法向量的是 A n n1 1 2 1 n n2 3 1 1 B n n1 1 1 2 n n2 2 1 1 C n n1 1 1 1 n n2 1 2 1 D n n 1 2 1 n n2 0 2 2 3 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 B1E1 D1F1 则BE1与DF1所成的角的余 A1B1 4 弦值为 A B C D 1 2 15 17 2 17 1 3 4 已知向量m m n n分别是直线l和平面 的方向向量 法向量 若 cos m m n n 则l与 所成的角为 1 2 A 30 B 60 C 120 D 150 5 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 PA 平面 ABCD AP AB 2 BC 2 E F分别是AD PC的中点 2 3 1 证明 PC 平面BEF 2 求平面BEF与平面BAP所成锐二面角的大小 一 利用空间向量证明平行和垂直 例 1 1 如图 在四棱锥O ABCD中 底面ABCD是边长为 1 的菱形 ABC OA 底面ABCD OA 2 M为OA的中点 N为BC的中点 证明 直线MN 平 4 面OCD 例 1 2 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面 ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 证明 1 AE CD 2 PD 平面ABE 方法提炼方法提炼 1 利用向量处理平行问题的常用方法 1 证明两条直线平行 只需证明两条直线的方向向量是共线向量 2 用向量证明线面平行的方法主要有 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量 利用共面向量定理 即 证明直线的方向向量可用平面内不共线的两个向量线性表示 3 面面平行 证明两个平面的法向量平行 即是共线向量 转化为线面平行 线 线平行问题 2 利用向量处理垂直问题的常用方法 1 证明两条直线垂直 只需证明两直线的方向向量垂直 即a a b ba a b b 0 2 用向量证明线面垂直的方法主要有 证明直线的方向向量与平面的法向量平行 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题 3 面面垂直 证明两个平面的法向量互相垂直 转化为线面垂直 线线垂直问 题 请做演练巩固提升 1 4 二 利用空间向量求角 例 2 如图 四边形ABCD为正方形 PD 平面ABCD PD QA QA AB PD 1 2 1 证明 平面PQC 平面DCQ 2 求二面角Q BP C的余弦值 方法提炼方法提炼 如何利用空间向量解决求角的问题 在立体几何中 涉及的角有异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角等 关 于角的计算 均可归结为两个向量的夹角 对于空间向量a a b b 有 cos a a b b 利用这一结论 我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题 a a b b a a b b 1 线线角 要求两条异面直线所成的角 可先求两条异面直线的方向向量的数量积 要求两向量的数量积 可以求得两向量的坐标 也可以把所求向量用一组已知模和夹角的 基向量表示出来进行求解 2 线面角 直线l与平面 的夹角为 直线l的方向向量l l与平面 的法向量 n n的夹角为 则 或 故有 sin cos 2 2 l l n n l l n n 3 二面角 设n n1 n n2分别是二面角 l 的面 的法向量 则 n n1 n n2 与 所求二面角的平面角相等或互补 请做演练巩固提升 2 三 利用空间向量求距离 例 3 如图 BCD与 MCD都是边长为 2 的正三角形 平面MCD 平面 BCD AB 平面BCD AB 2 3 1 求点A到平面MBC的距离 2 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值 方法提炼方法提炼 空间中的距离问题一般都可以转化成点到点的距离 点到线的距离和点到面的距 离 其中点到点的距离 点到线的距离可用空间向量的模来求解 点到面的距离可借助于 平面的法向量求解 请做演练巩固提升 3 空间向量在立体几何问题中的合理应用 典例 12 分 2012 安徽高考 平面图形ABB1A1C1C如图 1 所示 其中BB1C1C是矩 形 BC 2 BB1 4 AB AC A1B1 A1C1 现将该平面图形分别沿BC和B1C1折 25 叠 使 ABC与 A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直 再分别连接A1A A1B A1C 得到 如图 2 所示的空间图形 对此空间图形解答下列问题 5 1 证明 AA1 BC 2 求AA1的长 3 求二面角A BC A1的余弦值 规范解答 规范解答 1 取BC B1C1的中点分别为D和D1 连接A1D1 DD1 AD 由四边形BB1C1C为矩形知 DD1 B1C1 因为平面BB1C1C 平面A1B1C1 所以DD1 平面A1B1C1 又由A1B1 A1C1知 A1D1 B1C1 故以D1为坐标原点 可建立如图所示的空间直角坐标系D1 xyz 2 分 由题设 可得A1D1 2 AD 1 由以上可知AD 平面BB1C1C A1D1 平面BB1C1C 于是AD A1D1 所以A 0 1 4 B 1 0 4 A1 0 2 0 C 1 0 4 D 0 0 4 故 0 3 4 2 0 0 0 AA1 BC AA1 BC 因此 B 即AA1 BC 5 分 AA1 C 2 因为 0 3 4 AA1 所以 5 即AA1 5 7 分 AA1 3 连接A1D 由BC AD BC AA1 可知BC 平面A1AD BC A1D 所以 ADA1为二面角A BC A1的平面角 因为 0 1 0 0 2 4 9 分 DA DA1 所以 cos DA DA1 2 1 22 4 2 5 5 即二面角A BC A1的余弦值为 12 分 5 5 答题指导 答题指导 解决空间向量在立体几何中的应用问题时 还有以下几点容易造成失分 在备考时要高度关注 1 建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整 2 建系不恰当 导致点的坐标不易确定或求解时烦琐 3 不会利用直线的方向向量及平面法向量解决相应问题 4 计 算失误导致结果不正确 6 另外需要熟练掌握直线方向向量及平面法向量的求法 有利于快速正确地解题 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O是AC的中点 E是线段D1O上一点 且D1E EO 1 若 1 求异面直线DE与CD1所成角的余弦值 2 若平面CDE 平面CD1O 求 的值 2 如图 已知在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 AA1 1 直线BD与平面AA1B1B所 成的角为 30 AE垂直BD于点E F为A1B1的中点 1 求异面直线AE与BF所成角的余弦值 2 求平面BDF与平面AA1B所成二面角的余弦值 3 如图所示 在直三棱柱ABC A1B1C1中 底面是等腰直角三角形 ACB 90 侧 棱AA1 2 CA 2 D是CC1的中点 试问在A1B上是否存在一点E使得点A1到平面AED的 距离为 2 6 3 7 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 1 平行 无数 2 tAP uu u r AB uu u r xa a yb b 2 1 无数 共线 2 唯一 3 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a1a2 b1b2 c1c2 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 a1 b1 c1 k a2 b2 c2 a1 b1 c1 k a2 b2 c2 a1a2 b1b2 c1c2 0 4 1 cos 2 cos 3 0 0 2 a a b b a a b b 0 2 5 2 AB uu u r n n 基础自测基础自测 1 B 解析 解析 u u 2a a u u a a 则l 2 A 解析 解析 平面 1 2垂直 则对应的法向量也应垂直 因 A 中 n n1 n n2 3 2 1 0 故n n1 n n2 故选 A 3 B 解析 解析 设正方体的棱长为 1 建立如图所示的空间直角坐标系 则点B E1 D F1的坐标分别为B 1 1 0 E1 D 0 0 0 F1 1 3 4 1 0 1 4 1 1 1 0 0 0 0 1 BE uuu r 1 3 4 1 0 1 4 1 1 DF uuu r 0 1 4 1 0 1 4 1 1 BE uuu r 17 4 1 DF uuu r 17 4 1 BE uuu r 1 DF uuu r 15 16 cos 1 BE uuu r 1 DF uuu r 11 11 BEDF BEDF uuu r uuu r uuu ruuu r 15 17 4 A 解析 解析 cos m m n n 1 2 sin m m n n 3 2 m m n n 60 l与 所成的角为 90 60 30 5 1 证明 证明 如图 以A为坐标原点 AB AD AP所在直线分别为x轴 y轴 z轴 如图建立空间直角坐标系 8 AP AB 2 BC AD 2 四边形ABCD是矩形 2 A B C D P的坐标分别为A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 22 P 0 0 2 又E F分别是AD PC的中点 E 0 0 F 1 1 22 2 2 2 1 1 1 0 1 PC uu u r 2 BF uu u r 2 EF uu u r 2 4 2 0 2 0 2 0 PC uu u r BF uu u r PC uu u r EF uu u r PC uu u r BF uu u r PC uu u r EF uu u r PC BF PC EF 又BF EF F PC 平面BEF 2 解 由 1 知n n1 1 2 2 2 是平面BEF的法向量 PC uu u r 2 又取平面BAP的法向量n n2 2 0 2 0 n n1 1 n n2 2 8 AD uuu r 2 设平面BEF与平面BAP所成锐二面角的平面角的大小为 则 cos cos n n1 1 n n2 2 n n1 1 n n2 2 n n1 1 n n2 2 8 4 2 2 2 2 45 平面BEF与平面BAP所成锐二面角的大小为 45 考点探究突破考点探究突破 例 1 1 证明 证明 作AP CD于点P 如图 分别以AB AP AO所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则A 0 0 0 B 1 0 0 P D O 0 0 2 M 0 0 1 0 2 2 0 2 2 2 2 0 N 1 2 4 2 4 0 MN uuu r 1 2 4 2 4 1 OP uu u r 0 2 2 2 OD uuu r 2 2 2 2 2 设平面OCD的法向量为n n x y z 则n n 0 n n 0 OP uu u r OD uuu r 即Error 取z 解得n n 0 4 22 n n 0 4 0 MN 平面OCD MN uuu r 1 2 4 2 4 1 2 例 1 2 证明 证明 AB AD AP两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系 9 设PA AB BC 1 则P 0 0 1 1 ABC 60 ABC为正三角形 C E 1 2 3 2 0 1 4 3 4 1 2 设D 0 y 0 由AC CD 得 0 AC uuu r CD uuu r 即y 则D 2 3 3 0 2 3 3 0 CD uuu r 1 2 3 6 0 又 AE uu u r 1 4 3 4 1 2 0 AE uu u r CD uuu r 1 2 1 4 3 6 3 4 即AE CD AE uu u r CD uuu r 2 方法一 P 0 0 1 PD uuu r 0 2 3 3 1 又 1 0 AE uu u r PD uuu r 3 4 2 3 3 1 2 即PD AE PD uuu r AE uu u r 1 0 0 0 AB uu u r PD uuu r AB uu u r PD AB 又AB AE A PD 平面ABE 方法二 设平面ABE的一个法向量为n n x y z 1 0 0 AB uu u r AE uu u r 1 4 3 4 1 2 0 0 AB AE uu u r uu u r n n 即Error 令y 2 则z n n 0 2 33 显然 n n PD uuu r 0 2 3 3 1 PD uuu r 3 3 n n 平面ABE 即PD 平面ABE PD uuu r PD uuu r 例 2 解 如图 以D为坐标原点 线段DA的长为单位长 射线DA为x轴的正半 轴建立空间直角坐标系D xyz 10 1 依题意有Q 1 1 0 C 0 0 1 P 0 2 0 则 1 1 0 0 0 1 DQ uuu r DC uuu r 1 1 0 PQ uuu r 所以 0 0 PQ uuu r DQ uuu r PQ uuu r DC uuu r 即PQ DQ PQ DC 故PQ 平面DCQ 又PQ平面PQC 所以平面PQC 平面DCQ 2 依题意有B 1 0 1 1 0 0 1 2 1 CB uur BP uur 设n n x y z 是平面PBC的法向量 则即Error 0 0 CB BP uur uur n n 因此可取n n 0 1 2 设m m是平面PBQ的法向量 则可取m m 1 1 1 0 0 BP PQ uur uuu r m m 所以 cos m m n n 15 5 故二面角Q BP C的余弦值为 15 5 例 3 解 取CD中点O 连接OB OM 则OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 则MO 平面BCD 取O为原点 直线OC BO OM为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系如图 OB OM 则各点坐标分别为C 1 0 0 M 0 0 B 0 0 333 A 0 2 33 1 设n n x y z 是平面MBC的法向量 则 1 0 0 BC uu u r 3 BM uuu r 33 由n n 得x y 0 BC uu u r 3 由n n 得y z 0 BM uuu r 33 取n n 1 1 0 0 2 3 BA uu r 3 则d BA uu r n n 2 3 5 2 15 5 11 2 1 0 1 2 CM uuu r 3 CA uu r 33 设平面ACM的法向量为n n1 x y z 由n n1 n n1 得CM uuu r CA uu r Error 解得x z y z 取n n1 1 1 33 又平面BCD的法向量为n n2 2 0 0 1 所以 cos n n1 n n2 n n1 n n2 n n1 n n2 1 5 设所求二面角为 则 sin 2 5 5 演练巩固提升演练巩固提升 1 解 1 不妨设正方体的棱长为 1 以 为单位正交基底建立空间DA uu u r DC uuu r 1 DD uuur 直角坐标系D xyz 则A 1 0 0 O C 0 1 0 D1 0 0 1 E 1 2 1 2 0 1 4 1 4 1 2 于是 0 1 1 DE uuu r 1 4 1 4 1 2 1 CD uuu r 则 cos DE uuu r 1 CD uuu r 1 1 DE CD DECD uuu r uuu r uuu ruuu r 3 6 所以异面直线DE与CD1所成角的余弦值为 3 6 2 设平面CD1O的法向量为m m x1 y1 z1 由m m 0 m m 0 1 DO uuu r 1 CD uuu r 得Error 取x1 1 得y1 z1 1 即m m 1 1 1 由 1 D E uuu r EO uuu r 得E 2 1 2 1 1 1 DE uuu r 2 1 2 1 1 1 又设平面CDE的法向量为n n x2 y2 z2 由n n 0 n n 0 CD uuu r DE uuu r 得Error 取x2 2 得z2 即n n 2 0 因为平面CDE 平面CD1F 所以m nm n 0 得 2 2 解 以A为坐标原点 以AB AD AA1所在直线分别为x轴 y轴