【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第三章 3.1.2 用二分法求方程的近似解目标导学 新人教A版必修1

1 3 1 23 1 2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 问题导学问题导学 一 用二分法求函数零点的近似值 活动与探究 1 求函数f x x3 2x2 3x 6 的一个正数零点 精确度 0 1 迁移与应用 1 用二分法求函数f x 3x x 4 的一个零点 其参考数据如下 f 1 600 0 0 200 f 1 587 5 0 133f 1 575 0 0 067 f 1 562 5 0 003 f 1 556 25 0 029 f 1 550 0 0 060 据此数据 可得f x 3x x 4 的一个零点的近似值 精确度 0 01 为 2 用二分法求方程f x 0 在 1 2 上的近似解时 经计算f 1 687 5 0 f 1 718 75 0 可得出方程的一个近似解为 精确度 0 1 3 用二分法求函数f x x3 x 1 在区间 1 1 5 内的一个零点 精确度 0 01 1 用二分法求函数零点的近似值 首先要选好选准计算的初始区间 这个区间既要符 合条件 又要尽量使其长度小 其次要依据给定的精确度及时检验计算中得到的区间是否 满足这一精确度 以决定是停止计算还是继续计算 2 求方程f x 0 的近似解 可转化为求函数f x 的零点 再按照二分法求函数零 点近似值的步骤求解 二 二分法的综合应用 活动与探究 2 求的近似值 精确度 0 01 3 2 迁移与应用 求的近似值 精确度 0 1 5 用二分法求一些无理数的近似值时 首先要将其转化为方程的解或函数的零点问题 再按求函数零点或方程解的方法求解 三 二分法的实际应用 活动与探究 3 某县A地到B地的电话线路发生故障 这是一条 10 km 长的线路 每隔 50 m 有一根电 线杆 如何迅速查出故障所在 迁移与应用 一物品的价格在 0 100 之间 如果让我们猜该物品的价格 最多猜多少次就可使误差 小于 2 元 二分法的思想在实际生活中应用十分广泛 在电线线路 自来水管道 煤气管道等铺 设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用 方法是 每次取问题所在范围的中点 使范围减半 以达到快速解决问题的目的 当堂检测当堂检测 1 下列图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求函数零点的是 2 用二分法求函数f x x3 5 的零点可以取的初始区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 2 3 用二分法求方程x2 x 2的近似解时 所取的初始区间可以是 1 2 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 4 若函数f x x3 x2 2x 2 的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下 f 1 2f 1 5 0 625f 1 25 0 984 f 1 375 0 260 f 1 437 5 0 162f 1 406 25 0 054 那么方程x3 x2 2x 2 0 的一个近似根 精确度 0 1 为 5 一块电路板的线路AB之间有 64 个串联的焊接点 如图所示 如果线路不通的原 因是由于焊口脱落所致 要想检验出哪一处的焊口脱落 则至多需要检测 次 提示 用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分 和基本技能的要领部分写下来并进行识记 答案 答案 课前预习导学课前预习导学 预习导引 1 连续不断 f a f b 0 一分为二 逐步逼近零点 预习交流预习交流 1 提示 不能 一个函数能用二分法求其零点需满足两个条件 一是函数 图象在零点附近是连续不断的 二是该零点左右的函数值异号 2 1 f a f b 0 3 c就是函数的零点 a c c b 预习交流预习交流 2 1 提示 根据方程f x 0 的解与函数y f x 的零点的关系 求方程 f x 0 的近似解就是求函数y f x 的近似零点 所以可以按求函数y f x 的近似零点 的步骤来求方程f x 0 的近似解 2 提示 精确度 是指零点所在区间 a b 满足 a b 并不是零点近似值精 确到 课堂合作探究课堂合作探究 问题导学 活动与探究活动与探究 1 思路分析 思路分析 由于要求的是函数的一个正数零点 因此可考虑首先确定 一个包含正数零点的区间 如f 0 6 0 f 1 6 0 f 2 4 0 故可以取区间 1 2 为计算的初始区间 当然 0 2 也可以 然后用二分法求零点 解 解 由于f 1 6 0 f 2 4 0 可取区间 1 2 作为计算的初始区间 用二分 法逐次计算 列表如下 区间中点的值中点函数近似值 1 2 1 5 2 625 1 5 2 1 750 234 4 1 5 1 75 1 625 1 302 7 1 625 1 75 1 687 5 0 561 8 1 687 5 1 75 1 718 75 0 170 7 由上表计算可知 区间 1 687 5 1 75 的长度为 1 75 1 687 5 0 062 5 0 1 所 以可将 1 687 5 作为函数零点的近似值 迁移与应用迁移与应用 1 1 562 5 解析 解析 由参考数据知 f 1 562 5 0 003 0 f 1 556 25 0 029 0 即f 1 562 5 f 1 556 25 0 且 1 562 5 1 556 25 0 006 25 0 01 f x 3x x 4 的一个零点的近似值可取为 1 562 5 3 2 1 687 5 3 解 解 经计算f 1 0 f 1 5 0 所以函数在 1 1 5 内存在零点x0 取 1 1 5 的中点x1 1 25 经计算f 1 25 0 因为f 1 5 f 1 25 0 所以 x0 1 25 1 5 如此继续下去 得到函数的一个零点所在的区间 如下表 a b a b 的中点 f a f b f a b 2 1 1 5 1 25 f 1 0f 1 5 0f 1 25 0 1 25 1 5 1 375 f 1 25 0f 1 5 0f 1 375 0 1 25 1 375 1 3125 f 1 25 0f 1 375 0f 1 312 5 0 1 3125 1 375 1 343 75 f 1 312 5 0 f 1 375 0f 1 343 75 0 1 312 5 1 343 75 1 328 125 f 1 312 5 0 f 1 343 75 0 f 1 328 125 0 1 312 5 1 328 125 1 320 312 5 f 1 312 5 0 f 1 328 125 0 f 1 320 312 5 0 因为 1 328 125 1 320 312 5 0 007 812 5 0 01 所以函数f x x3 x 1 的 一个精确度为 0 01 的近似零点可取为 1 328 125 活动与探究活动与探究 2 思路分析 思路分析 可以看作是方程x3 2 的解 故可用二分法求出方程的 3 2 近似解 即求函数f x x3 2 的零点 即为的近似值 3 2 解 解 设x 则x3 2 即x3 2 0 令f x x3 2 则函数f x 的零点的近似值 3 2 就是的近似值 以下用二分法求其零点 3 2 由f 1 1 0 f 2 6 0 故可以取区间 1 2 为计算的初始区间 用二分法逐次计算 列表如下 区间中点值中点函数近似值 1 2 1 51 375 1 1 5 1 25 0 046 9 1 25 1 5 1 3750 599 6 1 25 1 375 1 312 50 261 0 1 25 1 312 5 1 281 250 103 3 1 25 1 281 25 1 265 6250 027 3 1 25 1 265 625 1 257 812 5 0 01 1 257 812 5 1 265 625 1 265 625 1 257 812 5 0 007 812 5 0 01 函数f x x3 2 的近似零点为 1 257 812 5 即的近似值为 1 257 812 5 3 2 迁移与应用迁移与应用 解 解 设x 则x2 5 即x2 5 0 5 令f x x2 5 因为f 2 2 0 16 0 f 2 4 0 76 0 所以f 2 2 f 2 4 0 说明这个函数在区间 2 2 2 4 内有零点x0 取区间 2 2 2 4 的中点x1 2 3 则f 2 3 0 29 因为f 2 2 f 2 3 0 x0 2 2 2 3 再取区间 2 2 2 3 的中点x2 2 25 f 2 25 0 062 5 因为f 2 2 f 2 25 0 所以x0 2 2 2 25 由于 2 25 2 2 0 05 0 1 4 所以的近似值可取为 2 25 5 活动与探究活动与探究 3 思路分析 思路分析 可以利用二分法的思想查出故障所在 解 解 如图 可首先从中点C开始查起 用随身携带的工具检查 若发现AC段正常 断 定故障在BC段 再到BC段的中点D检查 若CD段正常 则故障在BD段 再到BD段的中点E检查 如此这般 每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半 经过 7 次查找 即可将故障范 围缩小到 50 100 m 之间 即可较快找到故障所在 迁移与应用迁移与应用 解 解 第一次取中点 误差最大为 50 第二次再取物品价格所在区间的中 点 误差最大为 25 第三次取中点 误差最大为 12 5 第四次取中点 误差最大为 6 25 第五次取中点 误差最大为 3 125 第六次取中点 误差最大为 1 6 满足要求 所 以最多猜六次即可达到要求 当堂检测当堂检测 1 A 2 A 解析 解析 f 2 8 5 3 0 f 1 1 5 6 0 初始区间可为 2 1 3 B 解析 解析 设f x x2 x 2 则f 0 4 0 f 1 1 2 1 0 f 2 1 2 4 1 3 0 f 3 0 f 4 0 f x 在 1 2 内有零点 即方程x2 x 2