【步步高】2014高考物理大一轮复习讲义 （深度思考+考点突破+提能训练） 第五章 专题四 平抛与圆周运动组合问题的分析（含解析） 新人教版

1 专题四专题四 平抛与圆周运动组合问题的分析平抛与圆周运动组合问题的分析 考纲解读 1 掌握运用平抛运动规律 圆周运动知识解决综合性问题的方法 2 掌握程序法 在解题中的应用 考点一 平抛运动与直线运动的组合问题 1 一个物体平抛运动和直线运动先后进行 要明确直线运动的性质 关键抓住速度是两个 运动的衔接点 2 两个物体分别做平抛运动和直线运动 且同时进行 则它们运动的时间相等 同时满足 一定的空间几何关系 例 1 如图 1 所示 一小球从平台上水平抛出 恰好落在邻近 平台的一倾角为 53 的光滑斜面顶端 并刚好沿光滑斜面 下滑 已知斜面顶端与平台的高度差h 0 8 m 重力加速度 取g 10 m s2 sin 53 0 8 cos 53 0 6 求 图 1 1 小球水平抛出时的初速度v0 2 斜面顶端与平台边缘的水平距离x 3 若斜面顶端高H 20 8 m 则小球离开平台后经多长时间到达斜面底端 解析 1 由题意可知 小球落到斜面上并刚好沿斜面下滑 说明此时小球速度方向与 斜面平行 否则小球会弹起 如图所示 vy v0tan 53 v 2gh 2y 代入数据 得 vy 4 m s v0 3 m s 2 由vy gt1得t1 0 4 s x v0t1 3 0 4 m 1 2 m 3 小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度 a 8 m s2 mgsin 53 m 初速度v 5 m s v2 0 v2y vt2 at H sin 53 1 22 2 代入数据 解得t2 2 s 或t2 s 不合题意舍去 13 4 2 所以t t1 t2 2 4 s 答案 1 3 m s 2 1 2 m 3 2 4 s 抓住小球平抛到斜面顶端 刚好沿光滑斜面下 滑 这一关键 条件 利用斜面倾角和速度的分解与合成求合速度 突破训练 1 如图 2 所示 我某集团军在一次空地联合军事 演习中 离地面H高处的飞机以水平对地速度v1发射一颗 炸弹欲轰炸地面目标P 反应灵敏的地面拦截系统同时以初 速度v2竖直向上发射一颗炮弹拦截 炮弹运动过程看做竖直 图 2 上抛 设此时拦截系统与飞机的水平距离为x 若拦截成功 不计空气阻力 则 v1 v2的关系应满足 A v1 v2 B v1 v2 H x x H C v1 v2 D v1 v2 x H 答案 C 解析 由题意知从发射到拦截成功水平方向应满足 x v1t 同时竖直方向应满足 H gt2 v2t gt2 v2t 所以有 即v1 v2 C 选项正确 1 2 1 2 x v1 H v2 x H 考点二 平抛运动与圆周运动的组合问题 例 2 如图 3 所示 有一个可视为质点的质量为m 1 kg 的小物块 从光滑平台上的A点 以v0 3 m s 的初速度水平抛出 到达C点时 恰好沿C点的切线方向进入固定在水平 地面上的光滑圆弧轨道 最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M 3 kg 的长木 板 已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平 木板下表面与水平地面之间光滑接触 小物块与长木板间的动摩擦因数 0 3 圆弧轨道的半径为R 0 5 m C点和圆弧的 圆心连线与竖直方向的夹角 53 不计空气阻力 取重力加速度g 10 m s2 求 图 3 3 1 A C两点的高度差 2 小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力 3 要使小物块不滑出长木板 木板的最小长度 sin 53 0 8 cos 53 0 6 解析 1 小物块在C点时的速度大小为 vC 5 m s 竖直分量为vCy 4 m s v0 cos 53 下落高度h 0 8 m v2Cy 2g 2 小物块由C到D的过程中 由动能定理得 mgR 1 cos 53 mv mv 1 22D 1 22C 解得vD m s 29 小球在D点时由牛顿第二定律得FN mg m v2D R 代入数据解得FN 68 N 由牛顿第三定律得FN FN 68 N 方向竖直向下 3 设小物块刚好滑到木板右端时与木板达到共同速度 大小为v 小物块在木板上滑 行的过程中 小物块与长木板的加速度大小分别为 a1 g 3 m s2 a2 1 m s2 mg M 速度分别为v vD a1t v a2t 对物块和木板系统 由能量守恒定律得 mgL mv m M v2 1 22D 1 2 解得L 3 625 m 即木板的长度至少是 3 625 m 答案 1 0 8 m 2 68 N 3 3 625 m 程序法在解题中的应用 所谓 程序法 是指根据题意按先后顺序分析发生的运动过程 并明确每一过程的受力情况 运动性质 满足的规律等等 还要注意前后 过程的衔接点是具有相同的速度 突破训练 2 在我国南方农村地区有一种简易水轮机 如图 4 所示 从悬崖上流出的水可看做连续做平抛运动的物体 水流轨道与下边 4 放置的轮子边缘相切 水冲击轮子边缘上安装的挡水板 可使轮子连 续转动 输出动力 当该系统工作稳定时 可近似认为水的末速度与 轮子边缘的线速度相同 设水的流出点比轮轴高h 5 6 m 轮子半径 图 4 R 1 m 调整轮轴O的位置 使水流与轮边缘切点对应的半径与水平线成 37 角 已 知 sin 37 0 6 cos 37 0 8 g 10 m s2 问 1 水流的初速度v0大小为多少 2 若不计挡水板的大小 则轮子转动的角速度为多少 答案 1 7 5 m s 2 12 5 rad s 解析 1 水流做平抛运动 有 h Rsin 37 gt2 1 2 解得t 1 s 2 h Rsin 37 g 所以vy gt 10 m s 由图可知 v0 vytan 37 7 5 m s 2 由图可知 v 12 5 m s v0 sin 37 根据 可得 12 5 rad s v R 27 直线运动 平抛运动和圆周运动组合问题的分析 5 6 解析 1 在C点 mg m 2 分 v2C R 所以vC 5 m s 1 分 2 由C点到D点过程 mg 2R 2r mv mv 2 分 1 22D 1 22C 在D点 mg FN m 2 分 v2D r 所以FN 333 3 N 1 分 由牛顿第三定律知小滑车对轨道的压力为 333 3 N 1 分 3 小滑车要能安全通过圆形轨道 在平台上速度至少为v1 则 mv mg 2R mv 2 分 1 22C 1 22 1 小滑车要能落到气垫上 在平台上速度至少为v2 则 h gt2 1 分 1 2 x v2t 1 分 解得v2 v1 所以只要mgH mv 即可满足题意 1 22 2 解得H 7 2 m 3 分 答案 1 5 m s 2 333 3 N 3 7 2 m 1 对于多过程问题首先要搞清各运动过程的特点 然后选用相应 规律 2 要特别注意运用有关规律建立两运动之间的联系 把转折点的速度作为 分析重点 突破训练 3 水上滑梯可简化成如图 6 所示的模型 斜槽AB和 光滑圆弧槽BC平滑连接 斜槽AB的竖直高度差H 6 0 m 倾角 37 圆弧槽BC的半径R 3 0 m 末端C点的切线 水平 C点与水面的距离h 0 80 m 人与AB间的动摩擦因数 0 2 取重力加速度g 10 m s2 cos 37 0 8 sin 37 0 6 图 6 一个质量m 30 kg 的小朋友从滑梯顶端A点无初速度地自由滑下 不计空气阻力 求 1 小朋友沿斜槽AB下滑时加速度a的大小 2 小朋友滑到C点时速度v的大小及滑到C点时受到槽面的支持力FC的大小 7 3 在从C点滑出至落到水面的过程中 小朋友在水平方向的位移x的大小 答案 1 4 4 m s2 2 10 m s 1 300 N 3 4 m 解析 1 小朋友沿AB下滑时 受力情况如图所示 根据牛顿第二定律得 mgsin Ff ma 又Ff FN FN mgcos 联立 式解得 a 4 4 m s2 2 小朋友从A滑到C的过程中 根据动能定理得 mgH Ff mgR 1 cos mv2 0 H sin 1 2 联立 式解得 v 10 m s 根据牛顿第二定律有 FC mg m v2 R 联立 式解得 FC 1 300 N 3 在从C点滑出至落到水面的过程中 小朋友做平抛运动 设此过程经历的时间为 t 则 h gt2 1 2 x vt 联立 式解得 x 4 m 高考题组 1 2012 福建理综 20 如图 7 所示 置于圆形水平转台边缘的小物块 随转台加速转动 当转速达到某一数值时 物块恰好滑离转台开 始做平抛运动 现测得转台半径R 0 5 m 离水平地面的高度 H 0 8 m 物块平抛落地过程水平位移的大小s 0 4 m 设物块 图 7 所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力 取重力加速度g 10 m s2 求 1 物块做平抛运动的初速度大小v0 2 物块与转台间的动摩擦因数 答案 1 1 m s 2 0 2 解析 1 物块做平抛运动 在竖直方向上有 8 H gt2 1 2 在水平方向上有s v0t 由 式解得v0 s g 2H 代入数据得v0 1 m s 2 物块离开转台时 由最大静摩擦力提供向心力 有 fm m v2 0 R fm N mg 由 式得 v2 0 gR 代入数据得 0 2 2 2010 重庆理综 24 小明站在水平地面上 手握不可伸长的轻绳 一端 绳的另一端系有质量为m的小球 甩动手腕 使球在竖 直平面内做圆周运动 当球某次运动到最低点时 绳突然断掉 球飞行水平距离d后落地 如图 8 所示 已知握绳的手离地面 高度为d 手与球之间的绳长为d 重力加速度为g 忽略手的 图 8 3 4 运动半径和空气阻力 1 求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2 2 问绳能承受的最大拉力多大 3 改变绳长 使球重复上述运动 若绳仍在球运动到最低点时断掉 要使球抛出的水 平距离最大 绳长应为多少 最大水平距离为多少 答案 1 2 mg 2gd 5 2gd 11 3 3 d d 2 2 3 3 解析 1 设绳断后球飞行的时间为t 由平抛运动规律有 竖直方向 d gt2 1 4 1 2 水平方向 d v1t 解得v1 2gd 由机械能守恒定律有mv mv mg d d 1 22 2 1 22 1 3 4 解得v2 5 2gd 9 2 设绳能承受的最大拉力大小为Fmax 这也是球受到绳的最大拉力的大小 球做圆周运动的半径为R d 3 4 由圆周运动向心力公式 有Fmax mg mv2 1 R 得Fmax mg 11 3 3 设绳长为l 绳断时球的速度大小为v3 绳承受的最大拉力不变 有 Fmax mg m 解得v3 v2 3 l 8 3gl 绳断后球做平抛运动 竖直位移为d l 水平位移为x 时间为t1 由平抛运动规律有 d l gt x v3t1 1 22 1 得x 4 当l 时 x有最大值xmax d l d l 3 d 2 2 3 3 模拟题组 3 如图 9 所示 一质量为 2m的小球套在一 滑杆上 小球与滑杆的动摩擦因数为 0 5 BC段为半径为R 的半圆 静止于A处的小球在大小为F 2mg 方向与 水平面成 37 角的拉力F作用下沿杆运动 到达B点时 图 9 立刻撤去F 小球沿圆弧向上冲并越过C点后落在D点 图中未画出 已知D点到B点 的距离为R 且AB的距离为s 10R 试求 1 小球在C点对滑杆的压力 2 小球在B点的速度大小 3 BC过程小球克服摩擦力所做的功 答案 1 mg 方向竖直向下 2 2 3 3 23gR 31mgR 4 解析 1 小球越过C点后做平抛运动 有竖直方向 2R gt2 1 2 水平方向 R vCt 解 得 vC gR 2 在C点对小球由牛顿第二定律有 2mg FNC 2m v2C R 10 解得FNC 3mg 2 由牛顿第三定律有 小球在C点对滑杆的压力FNC FNC 方向竖直向下 3mg 2 2 在A点对小球受力分析有 FN Fsin 37 2mg 小球从A到B由动能定理有 Fcos 37 s FN s 2mv 1 22B 解 得vB 2 3gR 3 BC过程对小球由动能定理有 2mg 2R Wf 2mv 2mv 1 22C 1 22B 解得Wf 31mgR 4 4 如图 10 所示 质量为m 1 kg 的小物块由静止轻轻放在水平 匀速运动的传送带上 从A点随传送带运动到水平部分的最 右端B点 经半圆轨道C点沿圆弧切线进入竖直光滑的半圆 轨道 恰能做圆周运动 C点在B点的正上方 D点为轨道 的最低点 小物块离开D点后 做平抛运动 恰好垂直于倾 图 10 斜挡板打在挡板跟水平面相交的E点 已知半圆轨道的半径R 0 9 m D点距水平面的 高度h 0 75 m 取g 10 m s2 试求 1 摩擦力对小物块做的功 2 小物块经过D点时对轨道压力的大小 3 倾斜挡板与水平面间的夹角 答案 1 4 5 J 2 60 N 方向竖直向下 3 60 解析 1 设小物块经过C点时的速度大小为v1 因为经过C点恰能做圆周运动 所以 由牛顿第二定律得 mg m v2 1 R 解得 v1 3 m s 小物块由A到B的过程中 设摩擦力对小物块做的功为W 由动能定理得 W mv 1 22 1 解得 W 4 5 J 2 设小物块经过D点时的速度大小为v2 对从C点运动到D点的过程 由机械能守恒 11 定律得 mv mg 2R mv 1 22 1 1 22 2 小物块经过D点时 设轨道对它的支持力大小为FN 由牛顿第二定律得 FN mg m v2 2 R 联立解得 FN 60 N 由牛顿第三定律可知 小物块经过D点时对轨道的压力大小为 FN FN 60 N 方向竖直向下 3 小物块离开D点后做平抛运动 设经时间t打在E点 由h gt2得 1 2 t s 15 10 设小物块打在E点时速度的水平 竖直分量分别为vx vy 速度跟竖直方向的夹角为 则 vx v2 vy gt tan vx vy 解得 tan 3 所以 60 由几何关系得 60 12 限时 45 分钟 题组 1 平抛运动与直线运动的组合 1 如图 1 所示 在距地面高为H 45 m 处 有一小球A以初速度 v0 10 m s 水平抛出 与此同时 在A的正下方有一物块B也 以相同的初速度v0同方向滑出 B与地面间的动摩擦因数为 0 5 A B均可视做质点 空气阻力不计 重力加速度g取 10 m s2 求 1 A球从抛出到落地的时间和这段时间内的水平位移 图 1 3 A球落地时 A B之间的距离 答案 1 3 s 30 m 2 20 m 解析 1 对A球 由平抛运动规律得 水平方向 x1 v0t 竖直方向 H gt2 1 2 解得x1 30 m t 3 s 2 对于物块B 根据牛顿第二定律得 mg ma 解得a 5 m s2 当B速度减小到零时 有 0 v0 at 得t 2 s 判断得 在A落地之前B已经停止运动 由运动学公式v2 v 2ax2 2 0 得 x2 10 m 则 x x1 x2 20 m 2 如图 2 所示 一物块质量m 1 0 kg 自平台上以速度v0水平抛出 刚好落在邻近一倾 角为 53 的粗糙斜面AB顶端 并恰好沿该斜面下滑 已知斜面顶端与平台的高度 差h 0 032 m 粗糙斜面BC倾角为 37 足够长 物块与两斜面间的动摩擦因数 为 0 5 A点离B点所在平面的高度H 1 2 m 物块在斜面上运动的过程中始终未 脱离斜面 不计在B点的机械能损失 最大静摩擦力等于滑动摩擦力 sin 37 0 6 cos 37 0 8 g取 10 m s2 13 图 2 1 物块水平抛出的初速度v0是多少 2 若取A所在水平面为零势能面 求物块第一次到达B点的机械能 3 从滑块第一次到达B点时起 经 0 6 s 正好通过D点 求B D之间的距离 答案 1 0 6 m s 2 4 J 3 0 76 m 解析 1 物块离开平台做平抛运动 由平抛运动知识得 vy m s 0 8 m s 2gh2 10 0 032 由于物块恰好沿斜面下滑 则 vA m s 1 m s vy sin 53 0 8 0 8 v0 vAcos 53 0 6 m s 2 物块在A点时的速度vA 1 m s 从A到B的运动过程中由动能定理得 mgH mgcos 53 mv mv H sin 53 1 22B 1 22A 在B点时的机械能 EB mv mgH 4 J 1 22B 3 物块在B点时的速度vB 4 m s 物块沿BC斜面向上运动时的加速度大小为 a1 g sin 37 cos 37 10 m s2 物块从B点沿BC斜面向上运动到最高点所用时间为t1 0 4 s 然后沿斜面下滑 vB a1 下滑时的加速度大小为 a2 g sin 37 cos 37 2 m s2 B D间的距离 xBD a2 t t1 2 0 76 m v2B 2a1 1 2 题组 2 平抛运动与圆周运动组合问题 3 水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc相切 一小球以初速度v0沿直轨道向右运动 如图 3 所示 小球进入 圆形轨道后刚好能通过c点 然后小球做平抛运动落在直轨道 上的d点 则 图 3 14 A 小球到达c点的速度为 gR B 小球到达b点时对轨道的压力为 5mg C 小球在直轨道上的落点d与b点距离为 2R D 小球从c点落到d点所需时间为 2 R g 答案 ACD 解析 小球在c点时由牛顿第二定律得 mg vc A 项正确 mv2c RgR 小球由b到c过程中 由机械能守恒定律得 mv 2mgR mv 1 22b 1 22c 小球在b点 由牛顿第二定律得 FN mg 联立解得 mv2b R FN 6mg B 项错误 小球由c点平抛 在平抛运动过程中由运动学公式得 x vct 2R gt2 解得t 2 x 2R C D 项正确 1 2 R g 4 如图 4 所示 P是水平面上的圆弧凹槽 从高台边B点以某速度 v0水平飞出的小球 恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨道的左 端A点沿圆弧切线方向进入轨道 O是圆弧的圆心 1是OA与 竖直方向的夹角 2是BA与竖直方向的夹角 则 图 4 A 2 B tan 1 tan 2 2 tan 2 tan 1 C 2 D 2 1 tan 1 tan 2 tan 1 tan 2 答案 B 解析 由题意可知 tan 1 tan 2 所以 tan 1 tan vy vx gt v0 x y v0t 1 2gt2 2v0 gt 2 2 故 B 正确 5 如图 5 所示 在水平匀速运动的传送带的左端 P点 轻放一质量为m 1 kg 的物块 物块随传送带运动到A点后水平抛出 物块恰好无碰撞的沿圆弧切线从B点进入竖直光 滑圆弧轨道下滑 B D为圆弧的两端点 其连线水平 已知圆弧半径R 1 0 m 圆弧 对应的圆心角 106 轨道最低点为C A点距水平面的高度h 0 8 m g取 10 m s2 sin 53 0 8 cos 53 0 6 求 15 图 5 1 物块离开A点时水平初速度的大小 2 物块经过C点时对轨道压力的大小 3 设物块与传送带间的动摩擦因数为 0 3 传送带的速度为 5 m s 求PA间的距离 答案 1 3 m s 2 43 N 3 1 5 m 解析 1 物块由A到B在竖直方向有v 2gh 2y vy 4 m s 在B点 tan vA 3 m s 2 vy vA 2 物块从B到C由功能关系得 mgR 1 cos mv mv 2 1 22C 1 22B vB 5 m s v2A v2y 解得v 33 m2 s2 2C 在C点 FN mg m v2C R 由牛顿第三定律知 物块经过C点时对轨道压力的大小为FN FN 43 N 3 因物块到达A点时的速度为 3 m s 小于传送带速度 故物块在传送带上一直做匀 加速直线运动 mg ma a 3 m s2 PA间的距离xPA 1 5 m v2A 2a 6 如图 6 所示 半径R 1 0 m 的光滑圆弧轨道固定在竖直 平面内 轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向 间的夹角 37 另一端点C为轨道的最低点 C点 右侧的水平路面上紧挨C点放置一木板 木板质量M 1 kg 上表面与C点等高 质量m 1 kg 的物块 可视 图 6 为质点 从空中A点以v0 1 2 m s 的速度水平抛出 恰好从轨道的B端沿切线方向进 入轨道 已知物块与木板间的动摩擦因数 1 0 2 木板与路面间的动摩擦因数 2 0 05 sin 37 0 6 cos 37 0 8 取g 10 m s2 试求 1 物块经过轨道上的C点时对轨道的压力 16 2 设木板受到的最大静摩擦力跟滑动摩擦力相等