【四维备课】高中数学 2.4《平面向量的数量积》导学案 新人教A版必修4

1 2 4 2 4 平面向量的数量积平面向量的数量积 导学案导学案 学习目标学习目标 1 掌握平面向量的数量积及其几何意义 2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度 角度和垂直的问题 4 掌握向量垂直的条件 导入新课导入新课 复习引入 1 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是 有且只有一个非零实数 b a 使 b a 2 平面向量基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面 1 e 2 e 内的任一向量 有且只有一对实数 1 2使 1 2a a 1 e 2 e 3 平面向量的坐标表示 分别取与轴 轴方向相同的两个单位向量 作为基底 任作一个向量 由平面xyija 向量基本定理知 有且只有一对实数 使得xyyjxia 把叫做向量的 直角 坐标 记作 yxa yxa 4 平面向量的坐标运算 若 则 11 yxa 22 yxb ba 2121 yyxx 若 则ba 2121 yyxx yxa 11 yxA 22 yxB 1212 yyxxAB 5 的充要条件是 x1y2 x2y1 0a b b 0 6 线段的定比分点及 P1 P2是直线l上的两点 P 是l上不同于 P1 P2的任一点 存在实数 使 叫做点 P 分所成的比 有三种情况 PP 12 PP 21P P 2 0 内分 外分 0 1 外分 0 1 0 7 定比分点坐标公式 若点P x1 y1 x2 y2 为实数 且 则点P的坐标为 PP 12 PP 我们称 为点P分所成的比 1 1 2121 yyxx 21P P 8 点P的位置与 的范围的关系 当 时 与同向共线 这时称点P为的内分点 PP 12 PP 21P P 当 时 与反向共线 这时称点P为的外分点 1 PP 12 PP 21P P 9 线段定比分点坐标公式的向量形式 在平面内任取一点O 设 1 OP 2 OP 可得 OPba ba 11 1 1 10 力做的功 W F s cos 是F与s的夹角 新授课阶段新授课阶段 1 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 与 作 则 叫 OAOB 与 的夹角 说明 1 当 时 与 同向 2 当 时 与 反向 3 当 时 与 垂直 记 2 4 注意在两向量的夹角定义 两向量必须是同起点的 范围 0 180 2 平面向量数量积 内积 的定义 已知两个非零向量 与 它们的夹角是 则数 量 a a b b cos 叫 与 的数量积 记作a a b b 即有a a b b a b cos 并规定0与任何向量的数量积为 0 C 3 探究 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1 两个向量的数量积是一个实数 不是向量 符号由 cos 的符号所决定 2 两个向量的数量积称为内积 写成a b 今后要学到两个向量的外积a b 而a b是 两个向量的数量的积 书写时要严格区分 符号 在向量运算中不是乘号 既不能省 略 也不能用 代替 3 在实数中 若a 0 且a b 0 则b 0 但是在数量积中 若a 0 且a b 0 不能推 出b 0 因为其中 cos 有可能为 0 4 已知实数a b c b 0 则ab bc a c 但是a b b c a c 如右图 a b a b cos b OA b c b c cos b OA a b b c 但a c 显然 这是因为左端是与c共线的向量 而右端是与a共线的向量 而一般a与c不共线 3 投影 的概念 作图 定义 b cos 叫做向量b在a方向上的投影 投影也是一个数量 不是向量 当 为锐角时投影为正值 当 为钝角时投影为负值 当 为直角时投影为 0 当 0 时投影为 b 当 180 时投影为 b 4 向量的数量积的几何意义 数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影 b cos 的乘积 5 两个向量的数量积的性质 设a b为两个非零向量 e是与b同向的单位向量 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 4 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别的a a a 2或aaa 4 cos ba ba 5 a b a b 例 1 已知 a 5 b 4 a与b的夹角 120o 求a b 例 2 已知 a 6 b 4 a与b的夹角为 60o求 a 2b a 3b 例 3 已知 a 3 b 4 且a与b不共线 k 为何值时 向量 a kb 与 a kb 互相垂直 例 4 判断正误 并简要说明理由 0 0 0 0 若ABBA 0 则对任一非零 有 则 与 中至少有一个为 0 对 任意向量 都有 与 是两个单位向量 则 解 评述 这一类型题 要求学生确实把握好数量积的定义 性质 运算律 例 5 已知 当 与 的夹角是 60 时 分别求 解 5 评述 两个向量的数量积与它们的夹角有关 其范围是 0 180 因此 当 时 有 0 或 180 两种可能 课堂小结课堂小结 略 作业作业 略 拓展提升拓展提升 1 已知向量 是不平行于轴的单位向量 且 则 3 1 a b x3a b b A B C D 3 1 22 13 22 1 3 3 44 1 0 2 设两点的坐标分别为 条件甲 条件乙 点的坐标BA 0 1 0 1 0AC BC C 是方程的解 则甲是乙的 1 22 yx A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 3 已知与的夹角为 则以为邻边的平行 2 2 3 pqp q 4 52 3apq bpq 四边形的较短的对角线长为 A B C D 15151416 4 把点按向量平移到点 此时点在的延长线上 且 2 2 A 2 2 BBOC 2 OBBC 则点的坐标为 C 5 把函数的图象按向量平移 得到的图象 且 542 2 xxya 2 2xy ab 1 1 c 则 4 cb b 6 不共线向量 的夹角为小于的角 且 已知向量 求a b 120 1 2ab 2cab c 的取值范围 6 7 已知向量满足 且 其中 a b 1ab 3 akbkab 0k 1 试用表示 并求出的最大值及此时与的夹角的值 ka b a b a b 2 当取得最大值时 求实数 使的值最小 并对这一结果作出几何a b ab 解释 8 已知向量 33 cos sin cos sin 22226 4 xxxx abx 1 求及 a b ab 2 求函数且的最小值 a b f xR ab 0 7 参考答案参考答案 例 1 略 例 2 略 例 3 略 例 4 解 上述 8 个命题中只有 正确 对于 两个向量的数量积是一个实数 应有 0 对于 应有 0 对于 由数量积定义有 cos 这里 是 与 的夹角 只有 或 时 才有 对于 若非零向量 垂直 有 对于 由 可知 可以都非零 对于 若 与 共线 记 则 若 与 不共线 则 评述 这一类型题 要求学生确实把握好数量积的定义 性质 运算律 例 5 解 当 时 若 与 同向 则它们的夹角 cos0 3 6 1 18 若 与 反向 则它们的夹角 180 cos180 3 6 1 18 当 时 它们的夹角 90 当 与 的夹角是 60 时 有 cos60 3 6 9 2 1 评述 两个向量的数量积与它们的夹角有关 其范围是 0 180 因此 当 时 有 0 或 180 两种可能 拓展提升拓展提升 1 提示 设 则有且 0 bx yy 33xy 22 1 0 xyy 8 2 提示 设点的坐标为 C x y0AC BC 2 1 1 0 xxy 甲是乙的充要条件 0AC BC 1 22 yx 3 提示 经验证 知以为对角线时 其长度较短 ab 6abpq 4 提示 点的坐标为 设点的坐标为 则 可求得点 0 2 B 0 4 C x y2OBBC 的坐标为C 0 2 5 提示 由函数 的图象按向量平移 得到的图象 1 3 542 2 xxya 2 2xy 可得 1 3 a 设 由和得 解之得 bm n ab 4 cb 30 4 mn mn 3 1mn 6 解 其中为与的夹角 2222 2 44 178coscabaa bb a b 的取值范围为 0120 1 cos1 2 13 5c c 13 5 7 解 1 2 22 1 3 3 0 4 k akbkabakbkaba bk k 此时 111 42 a bk k 1 cos 2 2 3 的最大值为 此时与的夹角的值为 2 1 0 4 k a bk k a b 1 2 a b 2 3 2 由题意 故 1 2 a b 222 13 1 24 ab 当时 的值最小 此时 这表明当 1 2 ab 1 0 2 ab b 1 2 abb 8 解 1 333 coscossinsincos cos2 222222 xxxxxx a bx 22 3333 coscos sinsin coscos sinsin 22222222