【创新设计】2011届高三数学 一轮复习 第12知识块第1讲 合情推理与演绎推理随堂训练 文 新人教A版

第十二知识块第十二知识块推理与证明推理与证明 第第 1 1 讲讲 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 一 选择题一 选择题 1 下面使用类比推理恰当的是下面使用类比推理恰当的是 A 若若 a 3 b 3 则 则 a b 类推出类推出 若若 a 0 b 0 则 则 a b B a b c ac bc 类推出类推出 a b c a c b c C a b c ac bc 类推出类推出 c 0 a b c a c b c D ab n anbn 类推出类推出 a b n an bn 解析 解析 由类比推理的特点 知由类比推理的特点 知 C 正确 正确 答案 答案 C 2 2010 模拟精选模拟精选 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 他们研究过图他们研究过图 1 中的中的 1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似地 称图类似地 称图 2 中的中的 1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是 正正 方形数的是方形数的是 A 289 B 1 024 C 1 225 D 1 378 解析 解析 根据图形的规律可知第根据图形的规律可知第 n 个三角形数为个三角形数为 an 第 第 n 个正方形数为个正方形数为 n n 1 2 bn n2 由此可排除由此可排除 D 1 378 不是平方数不是平方数 将 将 A B C 选项代入到三角形数表达式中检验可知 选项代入到三角形数表达式中检验可知 符合题意的是符合题意的是 C 选项 选项 答案 答案 C 3 观察等式 观察等式 sin230 cos260 sin 30 cos 60 sin220 cos250 sin 20 cos 50 3 4 3 4 和和 sin215 cos245 sin 15 cos 45 由此得出以下推广命题不正确的是 由此得出以下推广命题不正确的是 3 4 A sin2 cos2 sin cos 3 4 B sin2 30 cos2 sin 30 cos 3 4 C sin2 15 cos2 15 sin 15 cos 15 3 4 D sin2 cos2 30 sin cos 30 3 4 解析 解析 观察已知等式不难发现 观察已知等式不难发现 60 30 50 20 45 15 30 从而推断错误的 从而推断错误的 命题为命题为 A 答案 答案 A 4 2009 南京第一次调研南京第一次调研 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表 设把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表 设 aij i j N 是位于这个三角形数表中从上往下数第是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行 从左往右数第行 从左往右数第 j 个数 如个数 如 a42 8 若若 aij 2 009 则 则 i 与与 j 的和为的和为 A 105 B 106 C 107 D 108 解析 解析 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列 偶数行为偶数列 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列 偶数行为偶数列 2 009 2 1 005 1 所以 所以 2 009 为第为第 1 005 个奇数 又前个奇数 又前 31 个奇数行内数的个数的和为个奇数行内数的个数的和为 961 前 前 32 个奇个奇 数行内数的个数的和为数行内数的个数的和为 1 024 故 故 2 009 在第在第 32 个奇数行内 所以个奇数行内 所以 i 63 因为第 因为第 63 行行 的第一个数为的第一个数为 2 962 1 1 923 2 009 1 923 2 m 1 所以 所以 m 44 即 即 j 44 所 所 以以 i j 107 答案 答案 C 二 填空题二 填空题 5 2009 青岛二检青岛二检 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案 则第则第 n 个图案中有白色地面砖的块数是个图案中有白色地面砖的块数是 解析 解析 白色地面砖的块数构成以白色地面砖的块数构成以 6 为首项 以为首项 以 4 为公差的等差数列 故第为公差的等差数列 故第 n 个图案中个图案中 有有 白色地面砖白色地面砖 6 4 n 1 4n 2 块块 答案 答案 4n 2 6 2010 广东深圳调研广东深圳调研 给出下列不等式 给出下列不等式 请将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广 使上述不等式成为请将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广 使上述不等式成为 推推 广不等式的特例 则推广的不等式为广不等式的特例 则推广的不等式为 解析 解析 由由 23 53 22 5 2 52 24 54 23 5 2 53 可得推广形式的最基本的印象 应具有可得推广形式的最基本的印象 应具有 的形式 的形式 再分析底数间的关系 可得较细致的印象 应具有再分析底数间的关系 可得较细致的印象 应具有 a b a b a b 的形的形 式 式 再分析指数间的关系 可得准确的推广形式 再分析指数间的关系 可得准确的推广形式 am n bm n ambn anbm a b 0 a b m n 0 答案 答案 am n bm n ambn anbm a b 0 a b m n 0 7 对于等差数列对于等差数列 an 有如下命题 有如下命题 若若 an 是等差数列 是等差数列 a1 0 s t 是互不相等的正整是互不相等的正整 数 则有数 则有 s 1 at t 1 as 类比此命题 给出等比数列 类比此命题 给出等比数列 bn 相应的一个正确命题是 相应的一个正确命题是 答案 答案 若若 bn 是等比数列 是等比数列 b1 1 s t 是互不相等的正整数 则有是互不相等的正整数 则有 b b s 1tt 1s 8 2010 山东聊城调研山东聊城调研 椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质 如对于椭圆有如下命题 椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质 如对于椭圆有如下命题 AB 是椭圆是椭圆 1 a b 0 的不平行于对称轴且不过原点的弦 的不平行于对称轴且不过原点的弦 M 为为 AB 的中点 的中点 x2 a2 y2 b2 则则 k kOM k kAB 那么对于双曲线则有如下命题 那么对于双曲线则有如下命题 AB 是双曲线是双曲线 1 a 0 b 0 的的 b2 a2 x2 a2 y2 b2 不不 平行于对称轴且不过原点的弦 平行于对称轴且不过原点的弦 M 为为 AB 的中点 则的中点 则 k kOM k kAB 解析 解析 设设 A x1 y1 B x2 y2 M x0 y0 则有则有Error 1 1 x2 1 a2 y2 1 b2 x2 2 a2 y2 2 b2 两式相减得两式相减得 x2 1 x2 2 a2 y2 1 y2 2 b2 即即 x1 x2 x1 x2 a2 y1 y2 y1 y2 b2 即即 即 即 k kOM k kAB y1 y2 y1 y2 x1 x2 x1 x2 b2 a2 b2 a2 答案 答案 b2 a2 三 解答题三 解答题 9 已知函数已知函数 f x ax a x a 1 a a2 1 1 用用 a 表示表示 f 2 f 3 并化简 并化简 2 比较比较 f 2 2 与与 f 1 1 f 3 3 与与 f 2 2 的大小 并由此归纳出一个更一般的结论的大小 并由此归纳出一个更一般的结论 不要求写出证明过程不要求写出证明过程 解 解 1 f 2 a f 3 a2 1 1 a 1 a2 2 因为因为 f 1 1 0 f 2 2 a 2 0 1 a 所以所以 f 2 2 f 1 1 因为因为 f 3 3 f 2 2 0 所以 所以 f 3 3 f 2 2 a 1 a3 1 a2 一般地 一般地 f n 1 n 1 f n n n N 10 已知 已知 sin230 sin290 sin2150 3 2 sin25 sin265 sin2125 3 2 通过观察上述两等式的规律 请你写出一般性的命题 并给出证明 通过观察上述两等式的规律 请你写出一般性的命题 并给出证明 解 解 一般性的命题为一般性的命题为 sin2 60 sin2 sin2 60 3 2 证明如下 证明如下 左边 左边 1 cos 2 120 2 1 cos 2 2 1 cos 2 120 2 cos 2 120 cos 2 cos 2 120 3 2 1 2 右边 右边 3 2 结论正确 结论正确 1 设设 ABC 的三边长分别为的三边长分别为 a b c ABC 的面积为的面积为 S 则 则 ABC 的内的内 切圆半径为切圆半径为 r 将此结论类比到空间四面体 设四面体 将此结论类比到空间四面体 设四面体 S ABCD 的四个面的的四个面的 2S a b c 面积分别为面积分别为 S1 S2 S3 S4 体积为 体积为 V 则四面体的内切球半径 则四面体的内切球半径 r 答案 答案 3V S1 S2 S3 S4 2 2010 创新题创新题 在计算在计算 1 2 2 3 n n 1 时 某同学学到了如下一种方法 时 某同学学到了如下一种方法 先改写第先改写第 k k 项 项 k k k k 1 k k k k 1 k k 2 k k 1 k k k k 1 1 3 由此得由此得 1 2 1 2 3 0 1 2 1 3 2 3 2 3 4 1 2 3 1 3 n n 1 n n 1 n 2 n 1 n n 1 1 3 相加 得相加 得 1 2 2 3 n n 1 n n 1 n 2 1 3 类比上述方法 请你计算类比上述方法 请你计算 1 3 2 4 n n 2 其结果写成关于 其结果写成关于 n 的一次因式的一次因式 的积的形式为的积的形式为 解析 解析 k k k k 2 k k k k 2 k k 4 k k 2 k k k k 2