【走向高考】2013年高考数学总复习 8-5 双曲线但因为测试 新人教B版

用心 爱心 专心1 走向高考走向高考 2013 2013 年高考数学总复习年高考数学总复习 8 58 5 双曲线但因为测试双曲线但因为测试 新人教新人教 B B 版版 1 文 2011 烟台调研 与椭圆 y2 1 共焦点且过点 P 2 1 的双曲线方程是 x2 4 A y2 1 B y2 1 x2 4 x2 2 C 1 D x2 1 x2 3 y2 3 y2 2 答案 B 解析 椭圆的焦点 F1 0 F2 0 33 由双曲线定义知 2a PF1 PF2 2 3 2 1 2 3 2 1 2 8 4 38 4 32 a b2 c2 a2 1 2 双曲线方程为 y2 1 x2 2 理 2011 山东理 8 已知双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线均和圆 x2 a2 y2 b2 C x2 y2 6x 5 0 相切 且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心 则该双曲线的方程为 A 1 B 1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 5 C 1 D 1 x2 3 y2 6 x2 6 y2 3 答案 A 解析 依题意 C 方程为 x 3 2 y2 4 圆心 C 3 0 半径 r 2 双曲线 的右焦点 F2为 3 0 即 c 3 又双曲线的渐近线方程为 y x 即 bx ay 0 b a 2 即 b 2 a2 9 4 5 故选 A 3b a2 b2 2 文 2011 巢湖质检 设双曲线 1 的一个焦点为 0 2 则双曲线的离 y2 m x2 2 心率为 A B 2 2 C D 2 62 答案 A 用心 爱心 专心2 解析 由条件知 m 2 4 m 2 离心率 e 2 22 理 2011 浙江金华十校模拟 若椭圆 1 a b 0 的离心率为 则双曲线 x2 a2 y2 b2 3 2 1 的离心率为 x2 a2 y2 b2 A B 5 4 5 2 C D 3 2 5 4 答案 B 解析 因为椭圆的离心率 e 即 也即 所以 则 3 2 c a 3 2 a2 b2 a2 3 4 b2 a2 1 4 1 即 则双曲线离心率 e 故选 B b2 a2 5 4 a2 b2 a2 5 4 c a 5 2 3 文 2011 南昌一模 设 F 为双曲线 1 的左焦点 在 x 轴上 F 点的右侧有 x2 16 y2 9 一点 A 以 FA 为直径的圆与双曲线左 右两支在 x 轴上方的交点分别为 M N 则 的值为 FN FM FA A B 2 5 5 2 C D 5 4 4 5 答案 D 解析 对点 A 特殊化 不妨设点 A 为双曲线的右焦点 依题意得 F 5 0 A 5 0 FN NA 8 FM NA 所以 FN FM 8 选 D FN FM FA 8 10 4 5 理 2011 新泰一中模拟 设 P 是双曲线 1 a 0 b 0 左支上的一点 F1 F2 x2 a2 y2 b2 分别是双曲线的左 右焦点 则以 PF2 为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关 系是 A 内切 B 外切 C 内切或外切 D 不相切 答案 A 解析 如下图 取 PF2的中点 M 则 2 OM F1P 且 O M 为两圆圆心 OM 为圆心 距 用心 爱心 专心3 由双曲线定义可知 PF2 PF1 2a 即 2 MF2 2 OM 2a OM MF2 a 即圆心距等于两圆半径之差 则两圆内切 4 文 2011 青岛一检 设 F1 F2分别是双曲线 x2 1 的左 右焦点 若点 P 在 y2 9 双曲线上 且 0 则 PF1 PF2 PF1 PF2 A B 2 1010 C D 2 55 答案 B 解析 如下图 F1 F2为双曲线的左右焦点 F1 0 F2 0 由向量 1010 加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知 2 2 故 PF1 PF2 PO 10 选 B 理 2011 湖南湘西联考 已知双曲线 1 直线 l 过其左焦点 F1 交双曲线 x2 m y2 7 左支于 A B 两点 且 AB 4 F2为双曲线的右焦点 ABF2的周长为 20 则 m 的值为 A 8 B 9 C 16 D 20 答案 B 解析 由已知 AB AF2 BF2 20 又 AB 4 则 AF2 BF2 16 据双曲线定义 2a AF2 AF1 BF2 BF1 所以 4a AF2 BF2 AF1 BF1 16 4 12 即 a 3 所以 m a2 9 故选 B 用心 爱心 专心4 5 已知方程 1 表示双曲线 则 k 的取值范围是 x2 1 k y2 1 k A 1 k0 C k 0 D k 1 或 k0 1 k 1 6 文 2010 湖南长沙雅礼中学 过双曲线 2x2 y2 2 0 的右焦点作直线 l 交双曲 线于 A B 两点 若 AB 4 则这样的直线有 A 4 条 B 3 条 C 2 条 D 1 条 答案 B 解析 过双曲线右焦点作直线 l 交双曲线于 A B 两点 若 l x 轴 则 AB 4 若 l 经过顶点 此时 AB 2 因此当 l 与双曲线两支各交于一点 A B 时 满足 AB 4 的直 线有两条 故选 B 理 若直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 6 的右支交于不同的两点 则 k 的取值范围是 A B 15 3 15 3 0 15 3 C D 15 3 0 15 3 1 答案 D 解析 直线与双曲线右支相切时 k 直线 y kx 2 过定点 0 2 当 15 3 k 1 时 直线与双曲线渐近线平行 顺时针旋转直线 y x 2 时 直线与双曲线右支 有两个交点 k0 的一条渐近线方程为 3x 2y 0 x2 a2 y2 9 则 a 的值为 答案 2 解析 焦点在 x 轴上 渐近线方程为 y x 3 a 又一条渐近线方程为 x a 2 3 2 用心 爱心 专心5 8 文 2011 江西文 12 若双曲线 1 的离心率 e 2 则 m y2 16 x2 m 答案 48 解析 2 16 m 4 m 48 理 2011 辽宁理 13 已知点 2 3 在双曲线 C 1 a 0 b 0 上 C 的焦距 x2 a2 y2 b2 为 4 则它的离心率为 答案 2 解析 Error Error a 1 c 2 e 2 c a 9 文 2011 长沙二模 设椭圆 C1的离心率为 焦点在 x 轴上且长轴长为 26 若曲 5 13 线 C2上的点到椭圆 C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8 则曲线 C2的标准方程为 答案 1 x2 16 y2 9 解析 由已知得在椭圆中 a 13 c 5 曲线 C2为双曲线 由此知道在双曲线中 a 4 c 5 故双曲线中 b 3 双曲线方程为 1 x2 16 y2 9 理 2011 宁波二模 设双曲线 C 1 a 0 b 0 的右焦点为 F O 为坐标原 x2 a2 y2 b2 点 若以 F 为圆心 FO 为半径的圆与双曲线 C 的渐近线 y x 交于点 A 不同于 O 点 则 b a OAF 的面积为 答案 ab 解析 因为右焦点 F c 0 到渐近线 y x 即 bx ay 0 的距离为 b 所 b a bc a2 b2 以 OA 2a 故 OAF 的面积为 2a b ab 1 2 10 文 设双曲线 C y2 1 a 0 与直线 l x y 1 相交于两个不同的点 A B x2 a2 1 求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 2 设直线 l 与 y 轴的交点为 P 若 求 a 的值 PA 5 12PB 用心 爱心 专心6 解析 1 将 y x 1 代入双曲线 y2 1 中得 1 a2 x2 2a2x 2a2 0 x2 a2 由题设条件知 Error 解得 0 a 且 a 1 2 又双曲线的离心率 e 1 a2 a 1 a2 1 0 a且 e 2 6 22 2 设 A x1 y1 B x2 y2 P 0 1 PA 5 12PB x1 y1 1 x2 y2 1 x1 x2 5 12 5 12 x1 x2是方程 的两根 且 1 a2 0 x2 x 17 12 2a2 1 a2 5 12 2 2 2a2 1 a2 消去 x2得 2a2 1 a2 289 60 a 0 a 17 13 理 2011 江西理 20 P x0 y0 x0 a 是双曲线 E 1 a 0 b 0 上一 x2 a2 y2 b2 点 M N 分别是双曲线 E 的左 右顶点 直线 PM PN 的斜率之积为 1 5 1 求双曲线的离心率 2 过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A B 两点 O 为坐标原点 C 为 双曲线上一点 满足 求 的值 OC OA OB 解析 1 点 P x0 y0 x0 a 在双曲线 1 上 有 1 x2 a2 y2 b2 x2 0 a2 y2 0 b2 由题意又有 可得 a2 5b2 c2 a2 b2 6b2 则 e y0 x0 a y0 x0 a 1 5 c a 30 5 2 联立Error 得 4x2 10cx 35b2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则Error 设 x3 y3 即Error OC OC OA OB 又 C 为双曲线上一点 即 x 5y 5b2 有 x1 x2 2 5 y1 y2 2 5b2 2 32 3 用心 爱心 专心7 化简得 2 x 5y x 5y 2 x1x2 5y1y2 5b2 2 12 12 22 2 又 A x1 y1 B x2 y2 在双曲线上 所以 x 5y 5b2 x 5y 5b2 2 12 12 22 2 由 式又有 x1x2 5y1y2 x1x2 5 x1 c x2 c 4x1x2 5c x1 x2 5c2 10b2 得 2 4 0 解出 0 或 4 11 文 2011 皖南八校联考 已知抛物线 x2 4y 的准线过双曲线 y2 1 的一 3 x2 m2 个焦点 则双曲线的离心率为 A B 3 2 4 3 10 4 C D 3 3 3 答案 C 解析 易知抛物线的焦点坐标为 0 其准线方程为 y 双曲线 33 y2 1 的焦点坐标为 0 x2 m2m2 1 m2 1 3 c2 c 3 双曲线的离心率为 e c a3 理 2011 山东潍坊一中期末 已知抛物线 y2 2px p 0 与双曲线 1 有相同 x2 a2 y2 b2 的焦点 F 点 A 是两曲线的交点 且 AF x 轴 则双曲线的离心率为 A B 1 5 1 23 C 1 D 2 2 2 1 2 答案 C 解析 由 AF x 轴知点 A 坐标为 代入双曲线方程中得 1 双 p 2 p p2 4a2 p2 b2 曲线与抛物线焦点相同 c 即 p 2c p 2 又 b2 c2 a2 1 4c2 4a2 4c2 c2 a2 由 e 代入整数得 e4 6e2 1 0 c a e 1 e2 3 2 e 1 22 用心 爱心 专心8 12 文 2011 浙江文 9 已知椭圆 C1 1 a b 0 与双曲线 C2 x2 1 x2 a2 y2 b2 y2 4 有公共的焦点 C2的一条渐近线与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A B 两点 若 C1恰好将 线段 AB 三等分 则 A a2 B a2 13 13 2 C b2 D b2 2 1 2 答案 C 解析 由已知双曲线渐近线为 y 2x 圆方程为 x2 y2 a2 则 AB 2a 不妨取 y 2x 与椭 圆交于 P Q 两点 且 P 在 x 轴上方 则由已知 PQ AB 1 3 2a 3 OP 则点 P 坐标为 a 3 5a 15 2 5a 15 又 点 P 在椭圆上 1 5a2 225 a2 20a2 225 b2 又 a2 b2 5 b2 a2 5 解 得Error 故选 C 理 2011 江西南昌调研 设圆 C 的圆心在双曲线 1 a 0 的右焦点上 且与 x2 a2 y2 2 此双曲线的渐近线相切 若圆 C 被直线 l x y 0 截得的弦长等于 2 则 a 3 A B 146 C D 2 2 答案 C 解析 由条件知 圆心 C 0 C 到渐近线 y x 的距离为 d a2 2 2 a 用心 爱心 专心9 为 C 的半径 又截得弦长为 2 圆心 C 到直线 l x y 0 的距离 2 a2 2 2 a223 1 a2 2 a 0 a a2 2 22 13 已知中心在原点 焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线为 mx y 0 若 m 为集合 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中任意一个值 则使得双曲线的离心率大于 3 的概率是 答案 7 9 解析 由题意知双曲线方程可设为 m2x2 y2 1 从而 e 3 m 2 故所求 m2 12 概率是 故填 7 9 7 9 14 已知双曲线的中心在原点 焦点 F1 F2在坐标轴上 离心率为 且过点 4 2 10 1 求双曲线方程 2 若点 M 3 m 在双曲线上 求证 0 MF1 MF2 3 求 F1MF2的面积 解析 1 因为 e 2 所以可设双曲线方程为 x2 y2 因为双曲线过点 4 10 所以 16 10 即 6 所以双曲线方程为 x2 y2 6 2 证明 由 1 可知 双曲线中 a b 6 所以 c 2 3 所以 F1 2 0 F2 2 0 33 所以 kMF1 kMF2 m 3 2 3 m 3 2 3 kMF1 kMF2 m2 9 12 m2 3 因为点 3 m 在双曲线上 所以 9 m2 6 即 m2 3 故 kMF1 kMF2 1 所以 MF1 MF2 所以 0 MF1 MF2 3 F1MF2的底边 F1F2 4 3 F1MF2的高 h m 3 用心 爱心 专心10 所以 S F1MF2 6 15 文 双曲线 C 与椭圆 1 有相同的焦点 直线 y x 为 C 的一条渐近线 x2 8 y2 43 1 求双曲线 C 的方程 2 过点 P 0 4 的直线 l 交双曲线 C 于 A B 两点 交 x 轴于 Q 点 Q 点与 C 的顶点不 重合 当 1 2 且 1 2 时 求 Q 点的坐标 PQ QA QB 8 3 解析 1 设双曲线的方程为 1 x2 a2 y2 b2 由椭圆 1 求得两焦点为 2 0 2 0 x2 8 y2 4 对于双曲线 C c 2 又 y x 为双曲线 C 的一条渐近线 3 解得 a2 1 b2 3 b a3 双曲线 C 的方程为 x2 1 y2 3 2 解 如下图所示 由题意知 直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 设 l 的方程为 y kx 4 A x1 y1 B x2 y2 则 Q 0 4 k 1 PQ QA 4 1 x1 y1 4 k 4 k Error 即Error A x1 y1 在双曲线 C 上 用心 爱心 专心11 2 1 0 16 k2 1 1 1 16 3 2 1 16 32 1 16 k2 k2 0 2 1 16 32 1 16 k2 32 1 16 k2 0 2 1 16 3 同理有 16 k2 32 2 16 k2 0 2 2 16 3 若 16 k2 0 则直线 l 过顶点 不合题意 16 k2 0 1 2是二次方程 16 k2 x2 32x 16 k2 0 的两根 16 3 1 2 32 k2 16 8 3 k2 4 此时 0 k 2 所求点 Q 的坐标为 2 0 理 2011 临沂模拟 已知椭圆 C1的方程为 y2 1 双曲线 C2的左 右焦点分别 x2 4 是 C1的左 右顶点 而 C2的左 右顶点分别是 C1的左 右焦点 1 求双曲线 C2的方程 2 若直线 l y kx 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B 且 2 其中 O 2 OA OB 为原点 求 k 的取值范围 解析 1 设双曲线 C2的方程为 1 x2 a2 y2 b2 则 a2 4 1 3 c2 4 再由 a2 b2 c2 得 b2 1 故 C2的方程为 y2 1 x2 3 2 将 y kx 代入 y2 1 中得 2 x2 3 1 3k2 x2 6kx 9 0 2 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 Error k2 且 k22 得 xAxB yAyB 2 OA OB xAxB yAyB xAxB kxA kxB 22 k2 1 xAxB k xA xB 2 2 k2 1 k 2 9 1 3k22 6 2k 1 3k2 3k2 7 3k2 1 于是 2 即 0 3k2 7 3k2 1 3k2 9 3k2 1 解此不等式得 k2 3 1 3 由 得 k2 1 k 1 或 1 k0 b 0 的左顶点与抛物线 x2 a2 y2 b2 y2 2px p 0 的焦点的距离为 4 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 2 1 则双曲线的焦距为 A 2 B 2 35 C 4 D 4 35 答案 B 解析 由交点 2 1 得 2 p 4 p 2 抛物线方程为 y2 8x F 2 0 又 a a 2 4 a 2 p 2 双曲线的一条渐近线为 y x 且过点 2 1 b a a 2b 0 b 1 c2 a2 b2 5 c 2c 2 故选 B 55 2 若椭圆 m n 0 和双曲线 1 a 0 b 0 有相同的焦点 F1 F2 P 是两 x2 m2 y2 n2 x2 a2 y2 b2 曲线的一个交点 则 PF1 PF2 的值为 A m a B m a 1 2 用心 爱心 专心13 C m2 a2 D m2 a2 1 2 答案 C 解析 PF1 PF2 2 4m2 PF1 PF2 2 4a2 PF1 PF2 m2 a2 选 C 3 设双曲线 1 a 0 b 0 的两焦点为 F1 F2 点 Q 为双曲线左支上除顶点外 x2 a2 y2 b2 的任一点 过 F1作 F1QF2的平分线的垂线 垂足为 P 则点 P 的轨迹是 A 椭圆的一部分 B 双曲线的一部分 C 抛物线的一部分D 圆的一部分 答案 D 解析 延长 F1P 交 QF2于 R 则 QF1 QR QF2 QF1 2a QF2 QR 2a RF2 又 OP RF2 OP a 1 2 4 2011 广东揭阳市模拟 已知双曲线 1 a 0 b 0 的离心率为 2 一个焦 x2 a2 y2 b2 点与抛