【高考调研】2013届高考数学一轮复习课时作业(四十) 新人教版

用心 爱心 专心1 课时作业课时作业 四十四十 1 一个长方体其一个顶点的三个面的面积分别是 这个长方体的对角线是 236 A 2 B 3 32 C 6 D 6 答案 D 解析 设长方体共一顶点的三棱长分别为a b c 则ab bc ac 236 解得 a b 1 c 23 故对角线长l a2 b2 c26 2 圆柱的侧面展开图是边长为 6 和 4 的矩形 则圆柱的全面积为 A 6 4 3 B 8 3 1 C 6 4 3 或 8 3 1 D 6 4 1 或 8 3 2 答案 C 解析 分清哪个为母线 哪个为底面圆周长 应分类讨论 3 已知正方体外接球的体积是 那么正方体的棱长等于 32 3 A 2 B 2 2 3 3 C D 4 2 3 4 3 3 答案 D 解析 由题意知V R3 R 2 外接球直径为 4 即正方体的体对角线 4 3 32 3 设棱长为a 则体对角线l a 4 a 3 4 3 3 4 将棱长为 3 的正四面体的各顶点截去四个棱长为 1 的小正四面体 使截面平行于底 面 所得几何体的表面积为 A 7 B 6 33 C 3 D 9 33 答案 A 解析 原正四面体的表面积为 4 9 每截去一个小正四面体 表面减小三个 9 3 43 小正三角形 增加一个小正三角形 故表面积减少 4 2 2 故所得几何体的表面 3 43 积为 7 故选 A 3 用心 爱心 专心2 5 2011 陕西 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 A 8 B 8 2 3 3 C 8 2 D 2 3 答案 A 解析 圆锥的底面半径为 1 高为 2 该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积 即 V 22 2 12 2 8 正确选项为 A 1 3 2 3 6 2011 广东理 如图 某几何体的正视图 主视图 是平行四边形 侧视图 左视图 和俯视图都是矩形 则该几何体的体积为 A 18 B 12 33 C 9 D 6 33 答案 用心 爱心 专心3 C 解析 该几何体为一个斜棱柱 其直观图如图所示 由题知该几何体的底面是边长为 3 的正方形 高为 故V 3 3 9 333 7 2010 北京 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 动点E F在棱A1B1上 动点P Q分别在棱AD CD上 若EF 1 A1E x DQ y DP z x y z大于零 则四 面体PEFQ的体积 A 与x y z都有关 B 与x有关 与y z无关 C 与y有关 与x z无关 D 与z有关 与x y无关 答案 D 解析 由于点Q到直线A1B1的距离为 2 EF 1 故 EFQ的面积为定值 所以这个 2 用心 爱心 专心4 三角形的面积与x y无关 由于点P到平面EFQ的距离等于点P到平面A1B1CD的距离 这个距离等于点P到直线A1D的距离 等于z 故四面体PEFQ的体积为 1 2 2 2 1 3 1 22 z z 故四面体PEFQ的体积只与z有关 与x y无关 2 2 1 3 8 如图所示 正四棱锥P ABCD底面的四个顶点A B C D在球O的同一个大圆上 点P在球面上 如果VP ABCD 则球O的表面积是 16 3 A 4 B 8 C 12 D 16 答案 D 9 2011 山西四校第二次联考 四棱锥P ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好 是A 其三视图如下图所示 则四棱锥P ABCD的表面积为 用心 爱心 专心5 答案 2 a2 2 解析 依题意得知 在该四棱锥中 PA 底面ABCD PA a 底面四边形ABCD是边长 为a的正方形 因此有PD CD PB BC PB PD a 所以该四棱锥的表面积等于 2 a2 2 a2 2 a a 2 a2 1 2 1 222 10 如图所示 在长方体ABCD A B C D 中 用截面截下一个棱锥C A DD 求棱锥C A DD 的体积与剩余部分的体积之比为 解析 方法一 设AB a AD b DD c 则长方体ABCD A B C D 的体积V abc 又S A DD bc 且三棱锥C A DD 的高为CD a 1 2 V三棱锥C A DD S A DD CD abc 1 3 1 6 则剩余部分的几何体积V剩 abc abc abc 1 6 5 6 故V棱锥C A D D V剩 abc abc 1 5 1 6 5 6 用心 爱心 专心6 方法二 已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD A BCC B 设它的 底面ADD A 面积为S 高为h 则它的体积为V Sh 而棱锥C A DD 的底面面积为S 高是h 1 2 因此 棱锥C A DD 的体积 VC A DD Sh Sh 1 3 1 2 1 6 余下的体积是Sh Sh Sh 1 6 5 6 所以棱锥C A DD 的体积与剩余部分的体积之比为 Sh Sh 1 5 1 6 5 6 11 已知一个圆锥的展开图如上图所示 其中扇形的圆心角为 120 底面圆的半径 为 1 则该圆锥的体积为 答案 2 2 3 解析 因为扇形弧长为 2 所以圆锥母线长为 3 高为 2 所求体积 2 V 12 2 1 32 2 2 3 12 已知A 0 0 B 1 0 C 2 1 D 0 3 四边形ABCD绕y轴旋转 210 则所得 几何体的体积为 答案 35 12 用心 爱心 专心7 解析 如图 V圆锥 22 2 1 3 8 3 V圆台 1 22 2 1 12 四边形ABCD绕y轴旋转 360 所得几何体的 1 3 7 3 体积为 5 8 3 7 3 绕y轴旋转 210 所得几何体的体积为 5 210 360 35 12 13 2011 全国新课标文 已知两个圆锥有公共底面 且两圆锥的顶点和底面的圆周 都在同一个球面上 若圆锥底面面积是这个球面面积的 则这两个圆锥中 体积较小者 3 16 的高与体积较大者的高的比值为 答案 1 3 解析 设球心为O1 半径为r1 圆锥底面圆圆心为O2 半径为r2 则有 4 r r 即r2 r1 所以O1O2 设两个圆锥中 体积较小者的 3 162 12 2 3 2r2 1 r2 2 r1 2 高与体积较大者的高分别为h1 h2 则 h1 h2 r1 r1 2 r1 r1 2 1 3 14 已知六棱锥P ABCDEF 其中底面为正六边形 点P在底面上的投影为正六边形 中心 底面边长为 2 cm 侧棱长为 3 cm 求六棱锥P ABCDEF的体积 答案 2 15 解析 用心 爱心 专心8 如图 O为正六边形中心 则PO为六棱锥的高 G为CD中点 则PG为六棱锥的斜高 由已知得 CD 2 cm 则OG CG 1 3 在 Rt PCG中 PC 3 CG 1 则 PG 2 PC2 CG22 在 Rt POG中 PG 2 OG 则 23 PO PG2 OG25 或直接用 PO PC2 OC232 225 VP ABCDEF SABCDEF PO 6 22 2 1 3 1 3 3 4515 15 棱长为a的正四面体的四个顶点均在一个球面上 求此球的表面积 答案 a2 3 2 解析 以正四面体的每条棱作为一个正方体的面的一条对角线构造如图所示的正方体 则该 正四面体的外接球也就是正方体的外接球 由图知正方体的棱长为a 正方体的对角线 2 2 用心 爱心 专心9 长为a 设正四面体的外接球的半径为R 则 2R a R a 6 2 6 2 6 4 于是球的表面积S 4 a 2 a2 6 4 3 2 1 把一个棱长为a的正方体 切成 27 个全等的小正方体 则所有小正方体的表面积 为 答案 18a2 2 要做一个圆锥形漏斗 其母线长为 20 cm 要使体积最大 则高应为 答案 20 3 3 解析 设圆锥底面半径为r 高为h 则h2 r2 202 r 圆锥体积 400 h2 V r2h 400 h2 h 400h h3 令V 400 3h2 0 得h 当 1 3 1 3 1 3 1 3 20 3 3 h0 当h 时 V 0 h 时 体积最大 20 3 3 20 3 3 20 3 3 3 2011 湖南文 如下图是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 用心 爱心 专心10 A 9 42 B 36 18 C 12 9 2 D 18 9 2 答案 D 解析 这个空间几何体上半部分是一个半径为 的球 下半部分是一个底面正方形边长 3 2 为 3 高为 2 的正四棱柱 故其体积为 3 3 3 2 18 4 3 3 2 9 2 4 2011 辽宁文 已知球的直径SC 4 A B是该球球面上的两点 AB 2 ASC BSC 45 则棱锥S ABC的体积为 A B 3 3 2 3 3 C D 4 3 3 5 3 3 答案 C 用心 爱心 专心11 解析 由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上 作过AB的小圆交直径SC于 D 如图所示 设SD x 则DC 4 x 此时所求棱锥即分割成两个棱锥S ABD和 C ABD 在 SAD和 SBD中 由已知条件可得AD BD x 又因为SC为直径 所以 SBC SAC 90 所以 DBC DAC 45 所以在 BDC中 BD 4 x 所以 x 4 x 解得x 2 所以AD BD 2 所以 ABD为正三角形 所以V S ABD 4 1 3 4 3 3 5 2011 北京理 某四面体的三视图如下图所示 该四面体四个面的面积中最大的是 A 8 B 6 2 C 10 D 8 2 答案 C 解析 由三视图可知 该几何体的四个面都是直角三角形 面积分别为 6 6 8 10 所以面积最大的是 10 故选择 C 2 用心 爱心 专心12 1 2010 新课标全国 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱的长都为a 顶点都在一 个球面上 则该球的表面积为 A a2 B a2 7 3 C a2 D 5 a2 11 3 答案 B 解析 如上图 O1 O分别为上 下底面的中心 D为O1O的中点 则DB为球的半径 有 r DB OD2 OB2 a2 4 a2 3 7a2 12 S表 4 r2 4 a2 7a2 12 7 3 2 半球内有一个内接正方体 则这个半球的体积与正方体的体积之比为 A 6 B 2 56 C 2 D 5 12 答案 B 解析 方法一 作过正方体对角面的截面 如图 设半球的半径为R 正方体的棱长为a 用心 爱心 专心13 那么CC a OC a 2 2 在 Rt C CO中 由勾股定理得 CC 2 OC2 OC 2 即a2 a 2 R2 R a 2 2 6 2 V半球 R3 a 3 a3 V正方体 a3 2 3 2 3 6 2 6 2 因此V半球 V正方体 a3 a3 2 6 26 方法二 将半球补成整个球 同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体 构成的长方体刚好是球的内接长方体 那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径 设原正方体棱长为a 球的半径是R 则根据长方体的对角线性质 得 2R 2 a2 a2 2a 2 即 4R2 6a2 R a 6 2 从而V半球 R3 a 3 a3 2 3 2 3 6 2 6 2 V正方体 a3 因此V半球 V正方体 a3 a3 2 6 26 3 如图 1 一个正三棱柱容器 底面边长为a 高为 2a 内装水若干 将容器放倒 把一个侧面作为底面 如图 2 这时水面恰好为中截面 则图 1 中容器内水面的高度是 图 1 图 2 答案 a 3 2 用心 爱心 专心14 解析 如图 1 中容器内液面的高度为h 液体的体积为V 则V S ABCh 又如题图 2 中液体组成了一个直四棱柱 其底面积为S ABC 高度为 2a 则V S ABC 2a 3 4 3 4 h a 故填a 3 4SABC 2a S ABC 3 2 3 2 4 如图所示 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 3 长度为 2 的线段MN的一个端点 M在DD1上运动 另一端点N在底面ABCD上运动 则MN的中点P的轨迹 曲面 与共一顶点 D的三个面所围成的几何体的体积为 答案 6 解析 由于ABCD A1B1C1D1是正方体 所以DD1 DN 故三角形DMN是直角三角形 斜 边MN 2 又因为P为MN中点 所以DP 1 即P点到定点D的距离等于常数 1 因此P 点的轨迹是一个以D为球心 1 为半径的球面被正方体所截得的部分 所以所求几何体的 体积V 13 1 8 4 3 6 5 如图 1 所示 一只装了水的密封瓶子可以看成是由半径为 1 cm 和半径为 3 cm 的 两个圆柱组成的几何体 当这个几何体如图 2 水平放置时 液面高度为 20 cm 当这个几 何体如图 3 水平放置时 液面高度为 28 cm 则这个几何体的总高度为 用心 爱心 专心15 A 29 cm B 30 cm C 32 cm D 48 cm 答案 A 解析 设这个几何体的总高度为x cm 则由两次不同放置方式没有液体的部分体积相 等得 x 20 12 x 28 32 解得x 29 因此 这个几何体的总高度为 29 cm 6 已知在直三棱柱ABC A1B1C1中 底面为直角三角形 ACB 90 AC 6 BC CC1 P是BC1上一动点 如图所示 则CP PA1的最小值为 2 答案 5 2 解析 PA1在平面A1BC1内 PC在平面BCC1内 将其铺平后转化为平面上的问题解 决 计算A1B AB1 BC1 2 又A1C1 6 故 A1BC1是 A1C1B 90 的直角三角 40 形 铺平平面A1BC1 平面BCC1 如图所示 CP PA1 A1C 在 A1C1C中 由余弦定理得 A1C 5 62 2 2 2 6 2 cos135 502 故 CP PA1 min 5 2 7 右图所示为某几何体的三视图 其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形 侧视图是半径为 1 的半圆 则该几何体的 表面积是 用心 爱心 专心16 思路 先根据三视图确定几何体的形状 并确定其几何度量 根据几何体的形状灵活 选择求解方法 解析 由俯视图可知 几何体的底面是一个四边形 结合正视图与侧视图可知 该几何体是 由底面半径为 1 母线长为 2 的两个半圆锥组成的一个组合体 其形状如上图所示 该几何体的表面由两个半圆锥所在圆锥侧面积的一半以及两个圆锥的轴截面构成 因 为这两个半圆锥的底面半径和母线长都相等 故该几何体的表面积就等于一个圆锥的侧面 积与圆锥轴截面面积的两倍之和 其中圆锥的侧面积S1 1 2 2 圆锥的轴截面 PAB中 AB 2 PO 故其面积S2 AB OP 2 22 123 1 2 1 233 所以该几何体的表面积为S S1 2S2 2 2 故填 2 2 33 点评 本题的难点在于根据几何体的三视图确定空间几何体的结构特征 解决此类问 题应从俯视图入手 先确定几何体的底面形状 然后根据主视图与侧视图确定其顶点或上 底面 并根据三视图中的虚线逐步调整 该题是一个组合体的三视图 抓住侧视图的特征 是确定组合体中简单几何体形状的关键 由三视图求解几何体体积 表面积特别要注意侧 视图中的相关数据的转化 8 如下图 1 所示 在直角梯形ABEF中 图中数字表示线段的长度 将直角梯形 DCEF沿CD折起 使平面DCEF 平面ABCD 连接部分线段后围成一个空间几何体 如图 2 所 示 用心 爱心 专心17 1 求证 BE 平面ADF 2 求三棱锥F BCE的体积 思路 1 根据折叠前后位置关系的不变性 寻找线线平行或面面平行 2 将体积转 化或者直接求出三棱锥的高和底面积进行计算 解析 1 解法一 取DF的中点G 连接AG EG CE綊DF EG綊CD 又 AB綊 1 2 CD EG綊AB 四边形ABEG为平行四边形 BE AG BE 平面ADF AG 平面ADF BE 平面ADF 解法二 由上图 1 可知BC AD CE DF 折叠之后平行关系不变 BC AD BC 平面ADF AD 平面ADF BC 平面ADF 同理CE 平面ADF BC CE C BC CE 平面BCE 平面BCE 平面ADF BE 平面BCE BE 平面ADF 2 解法一 VF BCE VB CEF 由上图 1 可知BC CD 平面DCEF 平面ABCD 平面DCEF 平面ABCD CD BC 平面ABCD BC 平面DCEF 由上图 1 可知 DC CE 1 S CEF CE DC VF BCE VB CEF BC S CEF 1 2 1 2 1 3 1 6 解法二 由上图 1 可知CD BC CD CE BC CE C CD 平面 BCE DF CE 点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为 1 由上图 1 可知 BC CE 1 S BCE BC CE VF BCE CD S BCE 1 2 1 2 1 3 1 6 用心 爱心 专心18 解法三 如右图所示 过E作EH FC 垂足为H 由右图 可知BC CD 平面DCEF 平面ABCD 平面 DCEF 平面ABCD CD BC 平面ABCD BC 平面DCEF 又 EH 平面DCEF BC EH EH 平面BCF 由 BC FC FC S BCF BC CF 在 DC2 DF25 1 2 5 2 CEF中 由等面积法可得 EH VF BCE VE BCF EH S BCF 1 5 1 3 1 6 讲评 解决折叠问题要注意折叠前后位置关系的变化 特别是对折叠前后不变的 条件的应用 求三棱锥的体积 基本方法就是直接根据体积公式计算 其难点是求出这个 三棱锥的高 也就是顶点到底面的距离 一般可以根据平行关系转化为其他的点到底面的 距离 也可以借助于两个平面垂直的性质定理直接作出高 如解法三 同时要注意转化思 想的运用 三棱锥的特点就是可以以任何一个面作为底面 9 如图 1 在直角梯形ABCD中 ADC 90 CD AB AB 4 AD CD 2 将 ADC沿AC折起 使平面ADC 平面ABC 得到几何体D ABC