“等时圆”模型的基本规律及应用

1 等时圆等时圆 模型的基本规律及应用模型的基本规律及应用 此文章已发表于 此文章已发表于 考试考试 杂志 杂志 前段时间在网上发了一个帖子 等时圆规律有哪 些应用 居然有同志认为是 等势圆 吧 而在物 理教学中 借助各种模型 把抽象问题具体化 把复 杂问题简单化 能使得物理问题便于理解和接受 基 于此我对 等时圆 规律和应用阐述如下 一 何谓一 何谓 等时圆等时圆 如图 1 所示 ad bd cd 是竖直面内三根固定 的光滑细杆 a b c d 位于同一圆周上 a 点为圆 周的最高点 d 点为最低点 每根杆上都套有一个小 滑环 图中未画出 三个滑环分别从 a b c 处释 放 初速为 0 用 t1 t2 t3依次表示各滑环到达 d 所用的时间 则 A t1 t2t2 t3 C t3 t1 t2 D t1 t2 t3 解析 解析 选任一杆上的环为研究对象 受力分析并建立坐标如图所示 设圆半径 为 R 由牛顿第二定律得 mamg cos 图 1 x y mg 2 再由几何关系 细杆长度 cos2RL 设下滑时间为 则 t 2 2 1 atL 由以上三式得 可见下滑 g R t2 时间与细杆倾角无关 所以 D 正确 由 此题我们可以得出一个结论 结论 结论 物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦 由静止下滑 到达圆周最低点的时间相等 推论 推论 若将图 1 倒置成图 2 的形式 同样可以证 明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周 上各点所用的时间相等 象这样的竖直圆我们简称为 等时圆 关于它 在解题中的应用 我们看下面的例子 二 二 等时圆等时圆 的应用的应用 1 可直接观察出的可直接观察出的 等时圆等时圆 例例 1 如图 3 通过空间任一点 A 可作无 限多个斜面 若将若干个小物体从点 A 分别沿这些 倾角各不相同的光滑斜面同时滑下 那么在同一时刻 这些小物体所在位置所构成的面是 A 球面 B 抛物面 C 水平面 D 无 法确定 解析 解析 由 等时圆 可知 同一时刻这些小物体应在 图 2 图 3 A 3 同一 等时圆 上 所以 A 正确 例例2 如图4 位于竖直平面内的固定光滑圆轨 道与水平面相切于M点 与竖直墙相切于点A 竖 直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为 600 C是圆环轨道的圆心 D是圆环上与M靠得很 近的一点 DM远小于CM 已知在同一时刻 a b两球分别由A B两点从静止开始沿光滑倾斜直 轨道运动到M点 c球由C点自由下落到M点 d球 从D点静止出发沿圆环运动到M点 则 A a球最先到达M点 B b球最先到 达M点 C c球最先到达M点 D d球最先到 达M点 解解析析 设圆轨道半径为R 据 等时圆 理论 ta 2 tb ta c做自 g R4 g R 由落体运动tc 而d球滚下是一个 g R2 单摆模型 摆长为R td 所 4 T 2 g R 以C正确 2 运运用用等等效效 类类比比自自建建 等等时时圆圆 例例3 如图5所示 在同一竖直线上有 A B两点 相 A B C D M 图 4 4 距为h B点离地高度为H 现在要在地面上寻找一 点P 使得从A B两点分别向点P安放的光滑木板 满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点 的时间相等 求O P两点之间的距离 OP 解析解析 由 等时圆 特征可知 当 A B 处于等时圆 周上 且 P 点处于等时圆的最低点时 即能满足题设 要求 如图6所示 此时等时圆的半径为 1 2 h RO PH 所以 22 2 h OPRH Hh 例例 4 如图 7 AB 是一倾角为 的输送带 P 处为原料输入口 为避免粉尘 飞扬 在 P 与 AB 输送带间建 立一管道 假使光滑 使原料 从 P 处以最短的时间到达输送 带上 则管道与竖直方向的夹 角应为多大 A B 图 7 P P A B 图 8 C O A B P H h O 图 5 图 6 A B P H h O O1 5 解析 解析 借助 等时圆 可以过 P 点的竖直线为 半径作圆 要求该圆与输送带 AB 相切 如图所示 C 为切点 O 为圆心 显然 沿着 PC 弦建立管道 原料从 P 处到达 C 点处的时间与沿其他弦到达 等 时圆 的圆周上所用时间相等 因而 要使原料从 P 处到达输送带上所用时间最短 需沿着 PC 建立管道 由几何关系可得 PC 与竖直方向间的夹角等于 2 三 三 形似质异形似质异 问题的区分问题的区分 1 还是如图 1 的圆周 如果各条轨道不光滑 它们的摩擦因数均为 小滑环分别从 a b c 处 释放 初速为 0 到达圆环底部的时间还等不等 解析 解析 bd 的长为 2Rcos bd 面上物体下滑的 加速度为 a gcos gsin tbd 2 sincos cos4 gg R 可见 t 与 有关 tangg R 6 2 如图 9 圆柱体的仓库内有三块长度不同的 滑板 aO bO cO 其下端都固定于底部圆心 O 而 上端则搁在仓库侧壁 三块滑块与水平面的夹角依次 为 300 450 600 若有三个小孩同时从 a b c 处 开始下滑 忽略阻力 则 A a 处小孩最先到 O 点 B b 处小孩最先到 O 点 C c 处小孩最先到 O 点 D a c 处小孩同时到 O 点 解析 解析 三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑 但 a b