六年级奥数工程问题

1 一项工程 甲乙两队合作需 12 天完成 乙丙两队合作需 15 天完成 甲丙两 队合作需 20 天完成 如果由甲乙丙三队合作需几天完成 分析 设这项工程为 1 个单位 则甲 乙合作的工作效率是 1 12 乙丙合作的 工作效率为 1 15 甲丙合作的工作效率为 1 20 因此甲乙丙三队合作的工作效 率的两倍为 1 12 1 15 1 20 所以甲乙丙三队合作的工作效率为 1 12 1 15 1 20 2 1 10 因此三队合作完成这项工程的时间为 1 1 10 10 天 答 1 1 12 1 15 1 20 2 1 1 5 2 1 1 10 10 天 答 甲乙丙三队合作需 10 天完成 说明 我们通常把工作总量 一项工程 看成一个单位 这样 工作效率就用 工作时间的倒数来表示 如例 1 中甲乙两队合作的工作时间为 12 天 那么工作 效率为 1 12 它表示甲乙两队一天完成全部工程的 1 12 2 师徒二人合作生产一批零件 6 天可以完成任务 师傅先做 5 天后 因事外 出 由徒弟来接着做 3 天 共完成任务的 7 10 如果每人单独做这批零件各需 几天 分析 设这批零件为单位 1 其中 6 天完成任务 用 1 6 表示师徒的工作效 率的和 要求每人单独做各需几天 首先要求出各自的工作效率 关键在于把 师傅先做 5 天 接着徒弟做 3 天 理解成两人先合作 3 天 然后师傅做 2 天 答 师傅的工作效率是 7 10 3 1 6 5 3 1 10 徒弟的工作效率是 1 6 1 10 1 15 所以师傅单独作需要 1 1 10 10 天 徒弟单独做需要 1 1 15 15 天 3 一项工程 甲单独做 12 天可以完成 如果甲单独做 3 天 余下工作由乙去做 乙再用 6 天可以做完 问若甲单独做 6 天 余下工作乙要做几天 答 甲单独做 3 天完成 3 12 1 4 余下工程的 1 1 4 3 4 得乙的工效是 3 4 6 1 8 若甲单独做 6 天 则完成 1 2 余下工程的 1 2 则乙要做 1 2 1 8 4 天 4 一条水渠 甲乙两队合挖 30 天完工 现在合挖 12 天后 剩下的由乙队挖 又用 24 天挖完 这条水渠由乙单独挖 需要多少天 答 由题意可知 甲乙两队的工效是 1 30 合挖 12 天 完成 2 5 剩下 3 5 乙队用 24 天完成 得乙队工效是 3 5 24 1 40 则乙队单独挖需要 40 天 5 客车与货车同时从甲 乙两站相对开出 经 2 小时 24 分钟相遇 相遇时客车 比货车多行 9 6 千米 已知客车从甲站到乙站行 4 小时 30 分钟 求客车与货车 的速度各是多少 解 当两车相遇时 客车已超过中点 9 6 2 4 8 千米 客车行半程要用 4 5 2 2 25 时 相遇时间比到中点时间多了 2 4 2 25 0 15 小时 得客车速度为 4 8 0 15 32 千米 由客车比货车 2 4 小时多行 9 6 千米 得客车速度比货车快 9 6 2 4 4 千米 即货车速度为 32 4 28 千米 6 一项工程 甲乙两队合作 6 天完成 5 6 已知单独做 甲完成 1 3 与乙完成 1 2 的时间相等 问单独做 甲乙各需要多少天 解 由甲完成 1 3 与乙完成 1 2 的时间相等 可知当甲完成 2 份时 乙完成了 3 份 由甲乙两队合作 6 天完成 5 6 得甲乙两队合作一天完成 5 36 则甲完成 2 36 1 18 甲单独做需要 18 天 则乙完成 3 36 1 12 乙单独做需要 12 天 7 一件工作甲先做 6 小时 乙接着做 12 小时可以完成 甲先做 8 小时 乙接着 做 6 小时也可以完成 如果甲做 3 小时后由乙接着做 还需要多少小时完成 解 若由乙单独做共需几小时 6 3 12 30 小时 甲做 3 小时后乙接着做还需几小时 30 3 3 21 小时 另解 若由甲单独做需几小时 8 6 3 10 小时 甲先做 3 小时后乙接着做还需几小时 10 3 3 21 小时 答 乙还需 21 小时完成 8 筑路队预计 30 天修一条公路 先由 18 人修 12 天只完成全部工程的 1 3 如 果想提前 6 天完工 还需增加多少人 分析 由 18 人修 12 天完成了全部工程的 1 3 可通过 18 12 求出用一天完成 1 3 工作量共需要的总人数 也可以通过 18 12 求出用 1 人完成 1 3 工作量需 要的总天数 所以由 1 3 18 12 求出 1 人 1 天完成全部工程的几分之几 即一人的工作效率 解 一人一天完成全部工程的几分之几 即一人的工作效率 1 3 18 12 1 648 剩余工作量若要提前 6 天完成共需多少人 1 1 3 1 648 30 12 6 2 3 12 648 36 人 需要增加几人 36 18 18 人 9 一件工作 甲 5 小时先完成了 1 4 乙 6 小时又完成了剩下任务的一半 最后 余下的部分由甲 乙合作 还需要多少时间才能完成 分析 这道题是工程问题与分数应用题的复合题 解题时先要分别求出甲 乙工 作效率 再把余下的工作量转化为占单位 1 总工作量 的几分之几 解 甲工作效率 1 4 5 1 20 乙工作效率 1 1 4 1 2 6 1 16 余下的任务 1 1 4 1 1 2 3 8 需要的时间 3 8 1 20 1 16 10 3 小时 10 有一项工程 甲 乙两队合作 6 天能完成 5 6 已知单独做 甲完成 1 3 与 乙完成 1 2 所需要的时间相等 问单独做甲 乙各需多少天 答 根据 甲完成 1 3 与乙完成 1 2 所需要的时间相等 可以得出 甲 乙的工效比为 1 3 1 2 2 3 因此 两队合作 6 天时 甲队完成了 5 6 2 5 1 3 乙队完成 1 2 甲队每天完成 1 3 6 1 18 完成全部工程需要 18 天 乙队每天完成 1 2 6 1 12 完成全部工程需要 12 天 11 甲乙两人植树 单独植完这批树甲比乙所需的时间多 1 3 如果二人一起干 完成任务时乙比甲多植树 36 棵 这批树一共多少棵 分析 求这批树一共多少棵 必须找出与 36 棵所对应的甲 乙工效差 已知甲 比乙所用的时间多 1 3 可以求出甲与乙所用的时间比为 4 3 当工作总量一 定的情况下 工效与工时成反比例 甲与乙的工时比为 4 3 1 4 3 所以甲与 乙的工效比是 3 4 这个间接条件一旦揭示出来 问题就得到解决了 解 设乙所用时间为 1 甲的时间是乙的 1 1 3 4 3 倍 则甲与乙的时间 比是 4 3 工作总量一定 工作效率和工作时间成反比例 所以甲与乙的工效 比是 3 4 共植树多少棵 36 4 7 3 7 252 棵 答 这批树一共 252 棵 12 甲乙两人分别同时从 A B 两地相向而行 甲行到的时间比乙少用 1 6 当甲 到中点时 乙还差 15 千米 求 A B 两地相距多远 答 由 甲行到的时间比乙少用 1 6 可得甲用时 1 1 6 5 6 那么甲和乙的 速度比是 6 5 由 当甲到中点时 乙还差 15 千米 可得每一份是 15 千米 那么甲行了 15 6 90 千米 13 加工一批零件 甲 乙合作 24 天可以完成 现在由甲先做 16 天 然后乙再 做 12 天 还剩下这批零件的 2 5 没有完成 已知甲每天比乙多加工 3 个零件 求这批零件共多少个 分析 欲求这批零件共多少个 由题中条件只需知道甲 乙二人每天共做多少 个即可 然后这就转化为求甲 乙两人单独做各需多少天 有了这个结论后 只需算出 3 个零件相当于总数的几分之几即可 由条件知甲做 16 天 乙做 12 天共完成工程的 3 5 也就是相当于甲乙二人合做 12 天 另外加上甲又做 4 天 共完成这批零件的 3 5 又知道甲乙二人合做 24 天可以完成 因此甲单独做所 用天数可求出 那么乙单独做所用天数也就迎刃而解 解 甲 乙合作 12 天完成总工程的几分之几 1 24 12 1 2 甲 1 天能完成全工程的几分之几 3 5 1 2 16 12 1 40 乙 1 天可完成总工程的几分之几 1 24 1 40 1 60 这批零件共多少个 3 1 40 1 60 360 个 答 这批零件共 360 个 则 A B 两地相距 90 2 180 千米 14 一项工程 甲单独做要 12 小时完成 乙单独做要 18 小时完成 若甲先做 1 小时 然后乙接替甲做 1 小时 再由甲接替乙做 1 小时 两人如此交替工 作 问完成任务时 共用了多少小时 分析 要求共用多少小时 可以设想把这些小时重新分配 甲做 1 小时 乙做 1 小时 它们相当于合作 1 小时 也即是每 2 小时 相当于合做 1 小时 这样 先大致算一下一共进行了多少个这样的 2 小时 余下部分问题就好解决了 解答 若甲 乙两人合作共需多少小时 1 1 12 1 18 7 2 时 甲 乙两人各单独做 7 小时后 还剩多少 1 7 1 12 1 18 1 36 余下的 1 36 由甲单独做需要多少小时 1 36 1 12 1 3 时 共用了多少小时 7 2 1 3 14 又 1 3 时 答 共用了 14 又 1 3 小时 15 一件工作 甲单独做 20 小时完成 乙单独做 12 小时完成 丙单独做 15 小 时完成 若先由甲 丙合做 5 小时 然后由甲 乙合做 问还需几天完成 答 甲 丙合做 5 小时完成工作量 1 20 1 15 5 7 12 甲 乙合做的工作量 1 7 12 5 12 甲 乙合做的时间 5 12 1 20 1 12 25 8 天 16 挖土机挖土 5 台每天工作 8 小时 4 天可挖长 40 米 宽 20 米 深 3 米 的一条水沟 6 台每天挖 5 小时 要挖长 100 米宽 15 米 深 3 米的一条水沟 需要多少天 答 每台每小时工作量 40 20 3 5 8 4 15 立方米 要挖长 100 米宽 15 米深 3 米的水沟 需要 100 15 3 6 5 50 小时 50 5 10 天 17 小李和小张同时开始制作同一种零件 每人每分钟能做一个零件 但小李每 制作 3 个零件要休息 1 分钟 小张每制作 4 个零件要休息 1 5 分钟 现在他们 要共同完成制作 300 个零件的任务 需要多少分钟 解 由题意知 包括休息时间 小李每 4 分钟做 3 个 小张每 5 5 分钟做 4 个 所以每 44 分钟 小李做 33 个 小张做 32 个 二人共做 33 32 65 个 由 300 65 4 40 推知 经过 4 个 44 分钟还剩下 40 个零件未完成 这 40 个零件二人合做仍需要 28 分钟 所以共需 44 4 28 204 分钟 18 师徒两人共加工零件 168 个 师傅加工一个零件用 5 分钟 徒弟加工一个零 件用 9 分钟 完成任务时 两人各加工零件多少个 分析 师傅加工一个零件用 5 分钟 每分钟加工 1 5 个零件 徒弟加工一个零件用 9 分钟 每分钟加工 1 9 个零件 师徒两人工作效率的比是 1 5 1 9 由于两人 的工作时间一定 根据工作量 工作效率 工作时间 一定 工作量与工作时 间成正比例 解答 解法 1 设师傅加工 x 个 徒弟加工 168 x 个 x 168 x 1 5 1 9 x 168 x 9 5 5x 168 9 9x 14x 168 9 x 108 168 x 168 108 60 个 答 师傅加工 108 个 徒弟加工 60 个 解法 2 由于师徒工作效率的比是 1 5 1 9 那么他们工作量的比也是 1 5 1 9 因此 师傅工作量是徒弟工作量的 1 5 1 9 9 5 倍 徒弟的工作量是 1 徒弟加工的个数 168 1 5 1 9 1 168 14 5 60 个 师傅加工的个数 60 1 5 1 9 108 个 解法 3 师傅每分钟加工 1 5 个 徒弟每分钟加工 1 9 个 用相遇问题思考方法可求出 两人各用多少分钟 然后用师徒每分钟做的零件个数乘 540 就是各自加工的个 数 共用的时间 168 1 5 1 9 540 分 师傅加工的个数 540 1 5 108 个 徒弟加工的个数 540 1 9 60 个 19 洗衣机厂计划 20 天生产洗衣机 1600 台 生产 5 天后由于改进技术 效率提 高 25 完成计划还要多少天 分析 这是一道比例应用题 工效和工时是变量 不变量是计划生产 5 天后剩下的台 数 从工效看 有原来的效率 1600 20 80 台 天 又有提高后的效率 80 1 25 100 台 天 从时间看 有原来计划的天数 要求效率提高 后还需要的天数 根据工效和工时成反比例的关系 得 提高后的效率 所需天数 剩下的台数 解法 1 设完成计划还需 x 天 1600 20 1 25 x 1600 1600 20 5 80 1 25 x 1600 400 100 x 1200 x 12 答 完成计划还需 12 天 解法 2 此题还可以转化成正比例 根据实际效率是原来效率的 1 25 1 25 倍 把原来效率看作单位 1 实际和原来效率之比是 5 4 因为工效和工 时成反比例 所以实际与原来所需时间的比是 4 5 如果设实际还需要 x 天 原来计划的天数是 20 5 15 天 根据实际与原来时间的比等于实际天数与原 来天数的比 可以用正比例解答 设完成计划还需 x 天 4 5 x 20 5 5x 60 x 12 解法 3 按工程问题解 设完成计