“等时圆”物理专题

1 妙用妙用 等时圆等时圆 解物理问题解物理问题 一 什么是一 什么是 等时圆等时圆 2004 年高考试题 年高考试题 如图 1 所示 ad bd cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆 a b c d 位于同一圆 周上 a 点为圆周的最高点 d 点为最低点 每根杆上都套有一个小滑环 图中未画出 三个滑环分别从 a b c 处释放 初速为 0 用 t1 t2 t3依次表示各滑环到达 d 所用的 时间 则 A t1 t2t2 t3 C t3 t1 t2 D t1 t2 t3 解析 解析 选任一杆上的环为研究对象 受力分析并建立坐标如图所示 设圆半径为 R 由牛顿第二定律得 mamg cos 再由几何关系 细杆长度 cos2RL 设下滑时间为 则 t 2 2 1 atL 由以上三式得 可见下 4 滑时间与细杆倾角无关 所以 D 正确 由 g R t2 此题我们可以得出一个结论 结论 结论 物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑 到达圆周最低点的时间相等 推论 推论 若将图 1 倒置成图 2 的形式 同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点 所用的时间相等 1 物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑 到达圆周最低点时间均相等 且为t 2 如图甲所示 R g 2 物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由 静止下滑 到达圆周低端时间相等为t 2 如图乙所示 R g 象这样的竖直圆我们简称为 等时圆 关于它在解题中的应用 我们看下面的例子 一 一 等时圆模型 如图所示 等时圆模型 如图所示 二 二 等时圆规律 等时圆规律 1 小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下 滑到弦轨道与圆的交点的 时间相等 如图 a 2 小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下 滑到圆的底端的时间相等 如图 b 图 2 图 a 图 b 图 1 2 3 沿不同的弦轨道运动的时间相等 都等于小球沿竖直直径 自由落体的时间 即 d 式中 R 为圆的半径 g R g R g d t2 42 0 三 等时性的证明三 等时性的证明 设某一条弦与水平方向的夹角为 圆的直径为 如右图 根据物体沿光滑弦作初 d 速度为零的匀加速直线运动 加速度为 位移为 所以运动时间为 singa sinds g d g d a s t 2 sin sin22 0 即沿各条弦运动具有等时性 运动时间与弦的倾角 长短无关 规律 AB AC AD 是竖直面内三根固定的光滑细杆 A B C D 位于同一圆周上 A 点为圆周的最高点 D 点为最低点 每根杆上都套着一个光滑的小滑环 图中未画出 三个滑环分别从 A 处由静止开始释放 到达圆 周上所用的时间是相等的 与杆的长度和倾角大小都无关 推导 设圆环沿细杆 AB 滑下 过 B 点作水平线构造斜面 并设斜面的倾角为 如图 2 所示 连接 BD 根据牛顿 第二运动定律有环的加速度 a gsin 由几何关系有 AB x 2Rsin 由运动学公式有 x 12at2 解得 环的运动 时间 t 2Rg 与倾角 杆长无关 所以环沿不同细杆下滑的时间是相等的 说明 1 如果细杆是粗糙的 环与细 杆间的动摩擦因数都为 由运动学公式有 2Rsin 12 gsin gcos t2 解得 t 2Rsin gsin gcos 2Rg gcot 增大 时间 t 减小 规律不成立 二 二 等时圆等时圆 的应用的应用 巧用等时圆模型解题巧用等时圆模型解题 对于涉及竖直面上物体运动时间的比较 计算等问题可考虑用等时圆模型求解 对于涉及竖直面上物体运动时间的比较 计算等问题可考虑用等时圆模型求解 1 可直接观察出的可直接观察出的 等时圆等时圆 例例 1 如图 3 通过空间任一点 A 可作无限多个斜面 若将若干个小物体从点 A 分别沿这 些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下 那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是 A 球面 B 抛物面 C 水平面 D 无法确定 解析 解析 由 等时圆 可知 同一时刻这些小物体应在同一 等时圆 上 所以 A 正确 变式训练变式训练 1 1 如图所示 AB 和 CD 是两条光滑斜槽 它们各自的两端分别位于半径为 R 和 r 的两个相切的竖直圆上 并且斜槽都通过切点 P 设有一个重物先后沿斜槽从静止出发 从 A 滑到 B 和从 C 滑到 D 所用的时间分别等于 t1和 t2 则 t1和 t2之比为 A 2 1 B 1 1 C 3 1 D 1 2 图 3 A 图 8 3 例例 4 圆 O1和圆 O2相切于点 P O1 O2的连线为一竖直线 如图 8 所示 过点 P 有两条光滑的轨道 AB CD 两个小物体由静止开始分别沿 AB CD 下滑 下滑时间分别为 t1 t2 则 t1 t2的关系是 A t1 t2 B t1 t2 C t1 ta g R4 g R c 做自由落体运动 tc 而 d 球滚下是一个单摆模型 摆长为 R td g R2 所以 C 正确 tb ta td tc 4 T 2 g R 解 析 如图所示 令圆环半径为 R 则 c 球由 C 点自由下落到 M 点用时满足 R gt 所以 tc 对于 a 球令 AM 与水平面成 角 则 a 球下滑到 M 用时满 1 2 2 c 2R g 足 2Rsin gsin t 即 ta 2 同理 b 球从 B 点下滑到 M 点用时也满足 AM 1 22 a R g tb 2 r 为过 B M 且与水平面相切于 M 点的竖直圆的半径 r R 综上所述可得 r g tb ta tc 三个相同小球从三个相同小球从 a 点沿点沿 ab ac ad 三条光滑轨道从静止释放 哪个小球先运动到最三条光滑轨道从静止释放 哪个小球先运动到最 低点 低点 解析解析 设斜面侧边长为 倾角为 则物体沿光滑斜面下滑时加速度为l 物体的位移为 singa sinlx 物体由斜面顶端由静止开始运动到底端 由运动学公式得 2 sin 2 1 sin tg l 得 一定 所以越大时 下滑所用时间越短 2 sin 2 g l t lg 奇妙的等时圆 2004 年全国高考理科综合第 15 题的解析与应用 从一道高考题得到的一个重要结论及其应用从一道高考题得到的一个重要结论及其应用 A B C D M 图 4 图 1 4 2004 年高考试题 年高考试题 如图 1 所示 ad bd cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆 a b c d 位于同一圆周上 a 点为圆周的最高点 d 点为最低点 每根杆上都套有一个小滑环 图中未画出 三个滑环分别从 a b c 处释 放 初速为 0 用 t1 t2 t3依次表示各滑环到达 d 所用的时间 则 A t1 t2t2 t3 C t3 t1 t2 D t1 t2 t3 解析 解析 选任一杆上的环为研究对象 受力分析并建立坐标如图 2 由牛顿第二定律得 由几何关系 细杆长度 mamg cos cos2RL 设下滑时间为 则 t 2 2 1 atL 由以上三式得 可见下滑时间与细杆倾角无关 所 g R t2 以 D 正确 若将图 1 倒置成图 3 的形式 同样可以证明物体从最高点由静止开 始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等 结论 结论 物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑 到 达圆周最低点的时间相等 物体沿着位于同一竖直圆上的过顶点的所有光滑弦由静止下滑 到达圆周低端的时间相 等 我们把这两种圆叫做 等时圆 下面举例说明 等时圆 的应用 例例 1 如图 4 所示 通过空间任一点 A 可作无限多个斜面 若将若干个小物体从点 A 分别 沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下 那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是 A 球面 B 抛物面 C 水平面 D 无法确定 解 解 由 等时圆 可知 同一时刻这些小物体应在同一 等时圆 上 所以 A 正确 例例 2 两光滑斜面的高度都为 h 甲 乙两斜面的总长度都为 l 只是乙斜面由两部分 组成 如图 5 所示 将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放 不计拐角处的能量 损失 问哪一个球先到达斜面底端 解 解 构想一辅助圆如图 6 所示 在 AF 上取一点 O 使 OA OC 以 O 点为圆心 以 OA 为半径画圆 此圆交 AD 于 E 点 由 等时圆 可知 由机械能守 AEAC tt 恒定律可知 所以 又因为两斜面的总长度相 EC vv DB vv EDBC vv 等 所以 根据得 所以有 即乙球先到 DEBC ss t s v EDBC tt 乙甲 tt 达斜面底端 2 在离坡底 B 为 10cm 的山坡面上竖直地固定一根直杆 杆高 OA 也是 10cm 杆的上端 A 到坡底 B 之间有钢绳 一穿心于钢绳上的物体 如图 11 从 A 点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下 求它在钢绳上滑 图 3 图 4 图 2 图 5 图 6 图 11图 12 5 行时间 g 10m s2 答案 如图 12 把 AO 延长到 C 使 OC OA 10cm 则点 O 到 A B C 三点的距离相等 以 O 为圆心 OA 为半径作圆 则 B C 一定在该圆的圆周上 由结论可知 物体从 A 到 B 的时间与从 A 到 C 的时间相等 即 s 210 202 2 gACtt ACAB 例 1 倾角为 30 的长斜坡上有 C O B 三点 CO OB 10m 在 C 点竖直 地固定一长 10 m 的直杆 AO A 端与 C 点间和坡底 B 点间各连有一光滑的钢绳 且 各穿有一钢球 视为质点 将两球从 A 点由静止开始 同时分别沿两钢绳滑到钢 绳末端 如图 1 所示 则小球在钢绳上滑行的时间 tAC和 tAB分别为 取 g 10m s2 A 2s 和 2s B 和 2s s2 C 和 4s D 4s 和s2s2 解析 由于 CO OB OA 故 A B C 三点共圆 O 为圆心 又因直杆 AO 竖 直 A 点是该圆的最高点 如图 2 所示 两球由静止释放 且光滑无摩擦 满足 等时圆 条件 设钢绳 AB 和 AC 与竖直方向夹角分别为 1 2 该圆半径为 r 则对钢球均有 2 cos 2 1 cos2tgr 解得 钢球滑到斜坡时间 t 跟钢绳与竖直方向夹角 无关 且都等于 g r t 4 由 A 到 D 的自由落体运动时间 代入数值得 t 2s 选项 A 正确 2 运运用用等等效效 类类比比自自建建 等等时时圆圆 例例3 如图5所示 在同一竖直线上有 A B两点 相距为 h B点离地高度为 H 现在要在地面上寻找一点 P 使得从A B两点分别向点 P安放的光滑木板 满足 物体从静止开始分别由 A和B沿木板下滑到 P点的时间相等 求 O P两点之间的 距离 OP 解析解析 由 等时圆 特征可知 当 A B 处于等时圆周上 且 P 点处于等时圆的最低 点时 即能满足题设要求 如图6所示 此时等时圆的半径为 1 2 h RO PH A B P H h O 图 5 图 6 A B P H h O O1 A O B C 30 图 1 图 2 A O B C 30 1 2 D 6 所以 22 2 h OPRH Hh 例例 2 2 如图 2 在斜坡上有一根旗杆长为 L 现有一个小环从旗 杆顶部沿一根光滑钢丝 AB 滑至斜坡底部 又知 OB L 求小环从 A 滑到 B 的时间 解析 可以以 O 为圆心 以 L 为半径画一个圆 根据 等时 圆 的规律可知 从 A 滑到 B 的时间等于从 A 点沿直径到底端 D 的 时间 所以有 g L g L g d tt ADAB 2 42 例例 2 在一竖直墙面上固定一光滑的杆 AB 如图所示 BD 为水平地面 ABD 三点在同一竖直平面内 且连线 AC BC 0 1m 一小球套在杆上自 A 端 滑到 B 端的时间为 B A 0 1s B 0 2s C D s 10 2 2 解析 以 C 为圆心作一个参考园 由结论知 小球自 A 到 B 运动 的时间与自 A 到 B 自由落体运动的时间相等 即 AE 2R 0 2m AE gt t 0 2s 2 1 2 4 如图 4 所示 在离坡底 15m 的山坡上竖直固定一长 15m 的直杆 AO A 端与坡底 B 间连有一钢绳 一穿于钢绳上的小球从 A 点由静止 开始沿钢绳无摩擦地滑下 求其在钢绳上滑行的时间 t 例 5 图甲是某景点的山坡滑道图片 为了探究滑行者在滑道 直线部分 AE 滑行的时间 技术人员通过测量绘制出如图乙所 示的示意图 AC 是滑道的竖直高度 D 点是 AC 竖直线上的一 点 且有 AD DE 10 m 滑道 AE 可视为光滑 滑行者从坡顶 A 点由静止开始沿滑道 AE 向下做直线滑动 g 取 10 m s2 则 滑行者在滑道 AE 上滑行的时间为 A s B 2 s O A B L L D 图 2 7 C s D 2 s 解析 AE 两点在以 D 为圆心 半径为 R 10 m 的圆上 在 AE 上的滑行时间与沿 AD 所在的直径自由下落 的时间相同 t 2 s 选 B 4R g 例 4 如图所示 圆弧 AB 是半径为 R 的 圆弧 在 AB 上放置一光滑木 1 4 板 BD 一质量为 m 的小物体在 BD 板的 D 端由静止下滑 然后冲向水 平面 BC 在 BC 上滑行 L 后停下 不计小物体在 B 点的能量损失 已 知小物体与水平面 BC 间的动摩擦因数为 求 小物体在 BD 上下滑过 程中重力做功的平均功率 解析 由动能定理可知小物体从 D 到 C 有 WG mgL 0 所以 WG mgL 由等时圆知识可知小物体从 D 到 B 的时间等于物体从圆周的最高点下落到 B 点的时间 即为 t 所以小物 4R g 体在木板 BD 上下滑过程中 重力做功的平均功率为 P WG t mgL 2 g R 例例 3 如图 7 一质点自倾角为的斜面上方的定点 O 沿光滑斜槽 OP 从静止开始下滑 为使质点从 O 点滑到斜面的时间最短 则斜槽与竖直方向的夹角应为多大 解 解 如图 7 作以 OP 为弦的辅助圆 使圆心 O 与 O 的连线在竖直线上 且与斜面相切 于 P 点 由 等时圆 可知 唯有在 O 点与切点 P 点架设的斜槽满足题设条件 质点沿其它斜 槽滑至斜面的时间都大于此时间 由图可知 又为等腰三角形 所 AOPPO O 以 2 例例 4 如图 7 AB 是一倾角为 的输送带 P 处为原料输入口 为避免粉尘飞扬 在 P 与 AB 输送带间建 立一管道 假使光滑 使原料从 P 处以最短的时间到达输送带上 则管道与竖直方向的夹角应为多大 A B 图 7 P P A B 图 8 C O 图 7 8 解析 解析 借助 等时圆 可以过 P 点的竖直线为半径作圆 要求该圆与输送带 AB 相切 如图所示 C 为切点 O 为圆心 显然 沿着 PC 弦建立管道 原料从 P 处到达 C 点处的时间与沿其他弦到达 等时圆 的圆周上所用时间相等 因而 要使原料从 P 处到达输送带上所用时间最短 需沿着 PC 建立管道 由几何关系可得 PC 与竖直 方向间的夹角等于 2 例 4 如图 7 所示 在同一竖直平面内 从定点 P 到固定斜面 倾角为 搭建一 条光滑轨道 PM 使物体从 P 点释放后 沿轨道下滑到斜面的时间最短 则此轨道与 竖直线的夹角 为多少 解析 先用解析法求解 从定点 P 向斜面作垂线 垂足为 D 如图 8 所示 设 P 到斜面距离为 h 则轨道长 度为 cos h PM 物体沿轨道下滑的加速度 cosga 由于 2 2 1 atPM 联立解得 cos cos 2 g h t 令根式中分母 利用积化和差得 cos cos y 一定 当时 分母 y 取得最大值 物体沿轨道下滑的时间 t 最小 2cos cos 2 1 y 2 再用 等时圆 作图求解 以定点 P 为 等时圆 最高点 作出系列半径 r 不同 动态的 等时圆 所有 轨道的末端均落在对应的 等时圆 圆周上 如图 9 中甲所示 则轨道长度均可表示为 cos2RPM 物体沿轨道下滑的加速度 cosga 由于 故得 2 2 1 atPM g r t 4 欲 t 最小 则须 等时圆 的半径 r 最小 显然 半径最小 的 等时圆 在图中与斜面相切于 M2点 如图 9 中乙所示 再根据几何关系可知 2 在这里 用了转化的思想 把求最短时间转化为求作半径最小的 等时圆 避免了用解析法求解的复杂计 算 例例 4 4 如图 5 所示 在倾角为的传送带的正上方 有一发货口 A 为了 使货物从静止开始 由 A 点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带 则斜槽与竖 图 5 M P 图 7 M P 图 8 D h 图 9 P 1 M1 M2 2 P M2 甲乙 9 直方向的夹角应为多少 解析 如图 6 所示 首先以发货口 A 点为最高点作一个圆 O 与传送带相切 切点为 B 然后过圆心 O 画一条竖直线 而连接 A B 的直线 就是既过发货口 A 又过切点 AB B 的惟一的弦 根据 等时圆 的规律 货物沿 AB 弦到达传送带的时间最短 因此 斜 槽应沿 AB 方向安装 AB 所对的圆周角 为圆心角的一半 而圆心角又等 于 所以 2 1 如图 3 所示 在一个坡面与水平面成 40 角的山坡 AB 的脚下 A 处有一个高塔 为防止意外 需要在塔顶 O 与山坡之间搭一个滑道 以便塔上的人能尽快沿滑道滑到山坡上 假设滑道光滑 试求滑道与山坡坡面 AB 的夹 角 多大 解析 如图 4 所示 过 O 点作一条水平线与山坡交于 B 点 过 B 点作 ABO 的角平分线 交过 O 点作的竖 直线于点 C 以点 C 为圆心 OC 为半径作圆与山坡相切于点 D 连接 OD CD 根据上述结论可知 人从 O 点出发沿滑道到达圆上的时间是相等的 沿滑道 O 已到达山坡 沿其他滑道还 要再走一段距离才能到达山坡 所以人沿滑道 OD 到达山坡所用时间最短 此时夹角 90 70 另解 如图 5 所示 过点 O 作山坡的垂线 OD 设其长度为 x 过点 O 画直线 OE 作为滑道 设其与竖直方向 的夹角为 由几何知识可知滑道的长度 OE xcos 由牛顿第二运动定律 得人运动的加速度为 a gsin 90 由运动学公式有 xcos 12gcos t2 解得 t 2xgcos cos 其中 cos cos 12 cos cos 2 所以当 2 40 时 时间取得最小值 此时夹角 90 70 3 3 形似质异形似质异 问题的区分问题的区分 如图 1 所示 ad bd cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆 a b c d 位于 同一圆周上 a 点为圆周的最高点 d 点为最低点 每根杆上都套有一个小滑环 图中未画出 三个滑环分别从 a b c 处释放 初速为 0 用 t1 t2 t3依次表示各滑环到达 d 所用的时间 则 A t1 t2t2 t3 C t3 t1 t2 D t1 t2 t3 解析 解析 选任一杆上的环为研究对象 受力分析并建立坐标如图所示 设圆半径 为 R 由牛顿第二定律得 mamg cos 再由几何关系 细杆长度 cos2RL 设下滑时间为 则 t 2 2 1 atL 由以上三式得 可见下 4 滑时间与细杆倾角无关 所以 D 正确 g R t2 图 6 P H L 图 10 图 2 图 1 x y mg 10 由此题我们可以得出一个结论 结论 结论 物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑 到达圆周最低点的时间相等 推论 推论 若将图 1 倒置成图 2 的形式 同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点 所用的时间相等 象这样的竖直圆我们简称为 等时圆 关于它在解题中的应用 我们看下面的例子 例 1 还是如图 1 的圆周 如果各条轨道不光滑 它们的摩擦因数均为 小滑环分别从 a b c 处释放 初速为 0 到达圆环底部的时间还等不等 解析 解析 bd 的长为 2Rcos bd 面上物体下滑的加速度为 a gcos gsin tbd 2 sincos cos4 gg R 可见 t 与 有关 tangg R 例 2 如图 3 所示 Oa Ob Oc 是竖直平面内三根固定的光滑细杆 O a b c 四点位于同一圆周上 d 点为圆周的最高点 c 为最低点 每根杆上套着 一个小滑环 图中未画出 三个滑环都从图中 O 点无初速释放 用 t1 t2 t3 依次 表示滑到 a b c 所用的时间 则 A B 321 ttt 321 ttt C D 321 ttt 213 ttt 解析 如果不假思索 套用结论 就会落入 陷阱 错选 A 必须注意 等时圆 的适用条件是 光滑斜面上初速为零的匀加速直线运动 且运动起 点 或终点 应在 等时圆 的最高 或最低 点 题图中 O 不是最高点 题设圆不是 等时圆 现以 O 点为最高点 取合适的竖直直径 Oe 作 等时圆 交 Ob 于 b 如 图 4 所示 显然 O 到 f b g e 才是等时的 比较图示位移 Oa Of Oc Og 故可推知 正确的选项是 B 321 ttt 例 3 如图 5 所示 在竖直面内有一圆 圆内OD为水平线 圆周上有 三根互成的光滑杆 每根杆上套着一个小球 图中未 0 30OAOBOC 画出 现让一个小球分别沿三根杆顶端无初速下滑到O 所用的时间分别为 A t B t 则 C t A B C D 无法确定 ABC ttt ABC ttt ABC ttt 解析 题设图中 O 点不在圆的最低点 故不是 等时圆 延长 OA 过 B 作 a O b c d 图 3 c b a d O e f g 图 4 O A B C 0 30 0 30 0 30 B C 图 6 D O A B C 0 30 0 30 0 30 图 5 D 11 B B BO 则 O B B 在同一圆周上 B 处自由下落到 O 的时间和小球沿光滑杆由 B 无初速滑到 O 的时间相 同 同理 过 C 作 C C CO 则 O C C 在同一圆周上 C 处自由下落到 O 的时间和小球沿光滑杆由 C 无初速 滑到 O 的时间相同 C B A 自由下落到 O 的时间依次递减 故选项 B 正确 3 延伸 如图 6 所示 AB AC AD 是竖直面内三根固定的光滑细杆 A B C D 位于同一圆周上 O 点为圆周 的圆心 A 点不是圆的最高点 每根杆上都套着一个光滑小滑环 图中未画出 三个滑环分别从 A 处从静止开始 释放 用 t1 t2 t3 依次表示滑环到达 B C D 所用的时间 则三个时间的关系是什么 解析 A 不在圆的最高点 前面的结论直接用是不行的 可以采用如下的方法解决 如图 7 所示 过点 A 作竖 直线交 AB 的垂直平分线于点 O1 以 O1 为圆心 O1A 为半径画圆交 AB 于 B 分别交 AC AD 的延长线于 C1 D1 在圆 ABC1D1 中用前面的结论可知 所以 t1 t2 不可以根据 CC1 另解 假设圆的半径为 R 建立如 图 8 所示的直角坐标系 连接 AO 并假设其与 x 轴的夹角为 则 A 点的坐标为 Rcos Rsin 设直线 AB 与 x 轴的夹角为 则直线 AB 的斜率为 k tan 直线 AB 的方程为 y sin tan x cos 整理变形有 xtan y sin tan cos 0 由数学知识可知 坐标原点到直线 AB 的距离为 OE sin tan cos 1 tan2 由几何知识解得 BE2 R2 1 sin2 tan2 cos2 2sin cos tan 1 tan2 整理得 BE cos cos sin sin R 由牛顿第二运动定律有环的加速度 a gsin 由运动学公式有 2BE 12gsin t2 解得小环运动时间为 t 4R cos cos sin sin gsin 4Rg cos cot sin 所以 增大 时间减小 t1 t2 t3 当式中 90 时 t 2Rg 与倾角 杆长无关 就是前面推导的等时圆规律 说明 2 如果细杆是粗糙的 环与细杆间的动摩擦因数都为 环处于加速下滑的条件是 2BE 12 gsin gcos t2 解得环运动时间 t 4R cos cos sin sin gsin gcos 变形为 t 4Rg cos tan sin 1 tan 由此式可知 增大 时间 t 减小 即 t1 t2 t3 当式中 90 或 90 0 时 时间 t 2Rg 可见等时圆规律适用的条件是 细杆光滑 A 点为圆周的最高点或最低点 四 比较应用等时圆模型解典型例题四 比较应用等时圆模型解典型例题 如图 9 底边为定长 b 的直角斜面中 球从光滑直角斜面顶端由静止滑到底端 至少需 要多少时间 答案 用作图求解 如图 10 以 b 为半径 O 为圆心作一个圆 作出圆的一条竖直切线 MN 于圆切于 D 点 A 点为所作圆的最低点 由图可看出 从 MN 上不同的点由静止滑到 A 点 以 DA 时间为最短 由 等时圆 可知 图中 E D C 各点到达 A 的时间相等 所以小球 从底边 b 为定长的光滑直角斜面上滑下时以 45 的时间为最少 而且此时间与球从 P 点自由下落 图 9 图 10 12 图 3 到圆最低点的时间相等 所以 g b t 4 min 2 有三个光滑斜轨道 1 2 3 它们的倾角依次是 600 450和 300 这些轨道交于 O 点 现有位于同一竖直线 上的 3 个小物体甲 乙 丙 分别沿这 3 个轨道同时从静止自由下滑 如图 物体滑到 O 点的先后顺序是 B A 甲最先 乙稍后 丙最后 B 乙最先 然后甲和丙同时到达 C 甲 乙 丙同时到达 D 乙最先 甲稍后 丙最后 解析解析 设斜面底边长为 倾角为 则物体沿光滑斜面下滑时加速度为 物体的位移为l singa coslx 物体由斜面顶端由静止开始运动到底端 由运动学公式得 2 sin 2 1 cos tg l 得 一定 所以当时 2sin 4 cossin 2 g l g l t lg 45 g l t 4 min 2 如图 9 圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板 aO bO cO 其下端都固定于底部圆心 O 而上端则搁 在仓库侧壁 三块滑块与水平面的夹角依次为 300 450 600 若有三个小孩同时从 a b c 处开始下滑 忽略阻 力 则 A a 处小孩最先到 O 点 B b 处小孩最先到 O 点 C c 处小孩最先到 O 点 D a c 处小孩同时到 O 点 解析 解析 三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑 但 a b c 三点不可能在同一竖直 圆周上 所以下滑时间不一定相等 设圆柱底面半径为 R 则 gsin t2 t2 当 450时 t 最小 当 300和 600时 cos R 2 1 2sin 4 g R sin2 的值相等 例例 3 如图 3 在设计三角形的屋顶时 为了使雨水能尽快地从屋顶流下 并认为雨水是从静止开始由屋顶 无摩擦地流动 试分析和解 在屋顶宽度 2l 一定的条件下 屋顶的倾角应该多大 雨水流下的最短时间是多 少 解析解析 方法一 方法一 如图所示 设斜面底边长为 倾角为 则雨滴沿光滑斜面下淌时加速度为l 雨滴的位移为 singa coslx 雨滴由斜面顶端由静止开始运动到底端 由运动学公式得 2 sin 2 1 cos tg l a O b c 13 得 一定 所以当时 2sin 4 cossin 2 g l g l t lg 45 g l t 4 min 方法二 等时圆 方法二 等时圆 如图 4 所示 通过屋顶作垂线 AC 与水平线 BD 相垂直 并以 L 为半径 O 为圆心画一个圆与 AC BC 相切 然后 画倾角不同的屋顶 BA1 BA2BA3 从图 4 可以看出 在不同倾角的屋顶中 只有是圆的弦 而其余均为圆的割BA2 线 根据 等时圆 规律 雨水沿运动的时间最短 且最短时间为BA2 g L g L g d t2 222 min 而屋顶的倾角则为 0 451tan L L 例 6 在竖直平面内 固定一个半径为 R 的大圆环 其圆心为 O 在圆内与圆心 O 同一水平面上的 P 点搭 一光滑斜轨道 PM 到大环上 如图 13 所示 d R 欲使物体从 P 点释放后 沿轨道滑到大环的时间最短 OP 求 M 点位置 用 OM 与水平面的夹角 的三角函数表达 解析 若用解析法求解 轨道长度由余弦定理求得 cos2 22 dRRdPM 设轨道 PM 与水平面夹角为 则物体沿轨道下滑的加速度 singa 由正弦定理得 sin sin Rd 又 2 2 1 atPM 联立以上四个方程 有 a 和 t 五个变量 可以建立起下滑时间PM t 与 OM 倾角 之间的函数关系 再利用数学工具求极值 但计算相当复杂 如果改用 等时圆 作图求解 以定点 P 为最高点 可作出系列半径 r 不 同 动态的 等时圆 所有轨道的末端均落在对应的 等时圆 圆周上 其 中 刚好与大环内切的 等时圆 半径最小 如图 14 所示 该 等时圆 的圆 心 O 满足 且在 OM 连线上 该圆就是由 P 到定圆的半径最小的POMO 等时圆 物体沿轨道由 P 滑到 M 点的时间也最短 O P M d 图 13 O P M d O r 图 14 图 4 14 几何关系有 得rRdr 22 R dR r 2 22 则 OM 与水平面的夹角 满足或 dR dR d r 2 tan 22 dR dR 2 arctan 22 例 5 如图 10 所示 在同一竖直平面内 地面上高 H 的定点 P 到半