【步步高】2014届高三数学一轮 13.4 数学归纳法导学案 理 北师大版

1 13 4 13 4 数学归纳法数学归纳法 2014 高考会这样考 1 考查数学归纳法的原理和证题步骤 2 用数学归纳法证明与等式 不等式或数列有关的命题 考查分析问题 解决问题的能力 复习备考要这样做 1 理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用 2 规范书写 数学归纳法的证题步骤 数学归纳法 一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n0 n0 N N 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k N N 时命题成立 证明当n k 1 时命题也成 立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明 方法叫作数学归纳法 难点正本 疑点清源 1 数学归纳法是一种重要的数学思想方法 主要用于解决与正整数有关的数学问题 证 明时步骤 1 和 2 缺一不可 步骤 1 是步骤 2 的基础 步骤 2 是递推的依据 2 在用数学归纳法证明时 第 1 步验算n n0的n0不一定为 1 而是根据题目要求 选 择合适的起始值 第 2 步 证明n k 1 时命题也成立的过程 一定要用到归纳假设 否则就不是数学归纳法 1 凸k边形内角和为f k 则凸k 1 边形的内角和为f k 1 f k 答案 解析 易得f k 1 f k 2 用数学归纳法证明 1 1 由n k k 1 不等式成立 1 2 1 3 1 2n 1 推证n k 1 时 左边应增加的项的项数是 答案 2k 解析 n k时 左边 1 当n k 1 时 1 2 1 2k 1 左边 1 1 2 1 3 1 2k 1 1 2k 1 1 所以左边应增加的项的项数为 2k 3 用数学归纳法证明 1 a a2 an 1 a 1 n N N 在验证n 1 成立 1 an 2 1 a 2 时 左边需计算的项是 A 1 B 1 a C 1 a a2 D 1 a a2 a3 答案 C 解析 观察等式左边的特征易知选 C 4 已知n为正偶数 用数学归纳法证明 1 2时 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n 2 1 n 4 1 2n 若已假设n k k 2 且k为偶数 时命题为真 则还需要用归纳假设再证 A n k 1 时等式成立 B n k 2 时等式成立 C n 2k 2 时等式成立 D n 2 k 2 时等式成立 答案 B 解析 因为假设n k k 2 且k为偶数 故下一个偶数为k 2 故选 B 5 已知f n 则 1 n 1 n 1 1 n 2 1 n2 A f n 中共有n项 当n 2 时 f 2 1 2 1 3 B f n 中共有n 1 项 当n 2 时 f 2 1 2 1 3 1 4 C f n 中共有n2 n项 当n 2 时 f 2 1 2 1 3 D f n 中共有n2 n 1 项 当n 2 时 f 2 1 2 1 3 1 4 答案 D 解析 从n到n2共有n2 n 1 个数 所以f n 中共有n2 n 1 项 题型一 用数学归纳法证明等式 例 1 已知n N N 证明 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 1 n 1 1 n 2 1 2n 思维启迪 等式的左边有 2n项 右边有n项 左边的分母是从 1 到 2n的连续正整数 末项与n有关 右边的分母是从n 1 到n n的连续正整数 首 末项都与n有关 证明 当n 1 时 左边 1 1 2 1 2 右边 等式成立 1 2 3 假设当n k k N N 时等式成立 即 1 1 2 1 3 1 4 1 2k 1 1 2k 1 k 1 1 k 2 1 2k 那么当n k 1 时 左边 1 1 2 1 3 1 4 1 2k 1 1 2k 1 2 k 1 1 1 2 k 1 1 k 1 1 k 2 1 2k 1 2k 1 1 2 k 1 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 2k 1 1 k 1 1 2 k 1 右边 1 k 1 1 1 k 1 2 1 k 1 k 1 k 1 k 1 所以当n k 1 时等式也成立 综合 知对一切n N N 等式都成立 探究提高 用数学归纳法证明恒等式应注意 明确初始值n0的取值并验证n n0时命 题的真假 必不可少 假设n k k N N 且k n0 时命题正确 并写出命题形式分 析 n k 1 时 命题是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别 弄清左端应增 加的项 明确等式左端变形目标 掌握恒等式变形常用的方法 乘法公式 因式分解 添拆项 配方等 简言之 两个步骤 一个结论 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 用数学归纳法证明 对任意的n N N 1 1 3 1 3 5 1 2n 1 2n 1 n 2n 1 证明 1 当n 1 时 左边 1 1 3 1 3 右边 左边 右边 所以等式成立 1 2 1 1 1 3 2 假设当n k k N N 时等式成立 即 1 1 3 1 3 5 1 2k 1 2k 1 k 2k 1 则当n k 1 时 1 1 3 1 3 5 1 2k 1 2k 1 1 2k 1 2k 3 k 2k 1 1 2k 1 2k 3 k 2k 3 1 2k 1 2k 3 2k2 3k 1 2k 1 2k 3 k 1 2k 3 k 1 2 k 1 1 所以当n k 1 时 等式也成立 由 1 2 可知 对一切n N N 等式都成立 题型二 用数学归纳法证明不等式 例 2 用数学归纳法证明 4 1 1 n n N N n 2 1 2 1 3 1 2n 1 2 思维启迪 利用假设后 要注意不等式的放大和缩小 证明 1 当n 1 时 左边 1 右边 1 1 2 1 2 1 即命题成立 3 2 1 2 3 2 2 假设当n k k N N 时命题成立 即 1 1 k k 2 1 2 1 3 1 2k 1 2 则当n k 1 时 1 1 2 1 3 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 1 2k 2k 1 2k 1 k 2 1 2k 2k k 1 2 又 1 1 2 1 3 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 1 2k 2k 均成立 1 1 2n 1 2n 1 2 证明 1 当n 2 时 左边 1 右边 1 3 4 3 5 2 左边 右边 不等式成立 2 假设当n k k 2 且k N N 时不等式成立 即 1 1 3 1 1 5 1 1 2k 1 2k 1 2 则当n k 1 时 1 1 3 1 1 5 1 1 2k 1 1 1 2 k 1 1 2k 1 2 2k 2 2k 1 2k 2 2 2k 1 5 4k2 8k 4 2 2k 1 4k2 8k 3 2 2k 1 2k 3 2k 1 2 2k 1 2 k 1 1 2 当n k 1 时 不等式也成立 由 1 2 知 对于一切大于 1 的自然数n 不等式都成立 题型三 用数学归纳法证明整除性问题 例 3 用数学归纳法证明 42n 1 3n 2能被 13 整除 其中n为正整数 思维启迪 当n k 1 时 把 42 k 1 1 3k 3配凑成 42k 1 3k 2的形式是解题的关 键 证明 1 当n 1 时 42 1 1 31 2 91 能被 13 整除 2 假设当n k k N N 时 42k 1 3k 2能被 13 整除 则当n k 1 时 方法一 42 k 1 1 3k 3 42k 1 42 3k 2 3 42k 1 3 42k 1 3 42k 1 13 3 42k 1 3k 2 42k 1 13 能被 13 整除 42k 1 3k 2能被 13 整除 42 k 1 1 3k 3能被 13 整除 方法二 因为 42 k 1 1 3k 3 3 42k 1 3k 2 42k 1 42 3k 2 3 3 42k 1 3k 2 42k 1 13 42k 1 13 能被 13 整除 42 k 1 1 3k 3 3 42k 1 3k 2 能被 13 整除 因而 42 k 1 1 3k 3能被 13 整除 当n k 1 时命题也成立 由 1 2 知 当n N N 时 42n 1 3n 2能被 13 整除 探究提高 用数学归纳法证明整除问题 P k P k 1 的整式变形是个难点 找出它 们之间的差异 然后将P k 1 进行分拆 配凑成P k 的形式 也可运用结论 P k 能 被p整除且P k 1 P k 能被p整除 P k 1 能被p整除 已知n为正整数 a Z Z 用数学归纳法证明 an 1 a 1 2n 1能被 a2 a 1 整除 证明 1 当n 1 时 an 1 a 1 2n 1 a2 a 1 能被a2 a 1 整除 2 假设n k k N N 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1 整除 那么当n k 1 时 ak 2 a 1 2k 1 a 1 2 ak 1 a 1 2k 1 ak 2 ak 1 a 1 2 6 a 1 2 ak 1 a 1 2k 1 ak 1 a2 a 1 能被a2 a 1 整除 即当n k 1 时命题也成立 根据 1 2 可知 对于任意n N N an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1 整除 归纳 猜想 证明 典例 12 分 在各项为正的数列 an 中 数列的前n项和Sn满足Sn 1 2 an 1 an 1 求a1 a2 a3 2 由 1 猜想数列 an 的通项公式 并且用数学归纳法证明你的 猜想 审题视角 1 数列 an 的各项均为正数 且Sn 所以可根据解方程求出 1 2 an 1 an a1 a2 a3 2 观察a1 a2 a3猜想出 an 的通项公式an 然后再证明 规范解答 解 1 S1 a1 得a 1 1 2 a1 1 a1 2 1 an 0 a1 1 1 分 由S2 a1 a2 1 2 a2 1 a2 得a 2a2 1 0 a2 1 2 分 2 22 又由S3 a1 a2 a3 1 2 a3 1 a3 得a 2a3 1 0 a3 3 分 2 3232 2 猜想an n N N 5 分 nn 1 证明 当n 1 时 a1 1 猜想成立 6 分 10 假设当n k k N N 时猜想成立 即ak kk 1 则当n k 1 时 ak 1 Sk 1 Sk 1 2 ak 1 1 ak 1 1 2 ak 1 ak 即ak 1 1 2 ak 1 1 ak 1 1 2 k k 1 1 k k 1 1 2 ak 1 1 ak 1 k a 2ak 1 1 0 ak 1 2k 1kk 1k 即n k 1 时猜想成立 11 分 由 知 an n N N 12 分 nn 1 温馨提醒 1 本题运用了从特殊到一般的探索 归纳 猜想及证明的思维方式去探索 7 和发现问题 并证明所得结论的正确性 这是非常重要的一种思维能力 2 本题易错原因是 第 1 问求a1 a2 a3的值时 易计算错误或归纳不出an的一般 表达式 第 2 问想不到再次利用解方程的方法求解 找不到解决问题的突破口 方法与技巧 1 在数学归纳法中 归纳奠基和归纳递推缺一不可 在较复杂的式子中 注意由n k 到n k 1 时 式子中项数的变化 应仔细分析 观察通项 同时还应注意 不用假 设的证法不是数学归纳法 2 对于证明等式问题 在证n k 1 等式也成立时 应及时把结论和推导过程对比 以 减 少计算时的复杂程度 对于整除性问题 关键是凑假设 证明不等式时 一般 要运用放缩法 3 归纳 猜想 证明属于探索性问题的一种 一般经过计算 观察 归纳 然后猜想出 结论 再用数学归纳法证明 由于 猜想 是 证明 的前提和 对象 务必保证猜 想的正确性 同时必须注意数学归纳法步骤的书写 失误与防范 1 数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题 2 严格按照数学归纳法的三个步骤书写 特别是对初始值的验证不可省略 有时要取两 个 或两个以上 初始值进行验证 初始值的验证是归纳假设的基础 3 注意n k 1 时命题的正确性 4 在进行n k 1 命题证明时 一定要用n k时的命题 没有用到该命题而推理证明的 方法不是数学归纳法 A 组 专项基础训练 时间 35 分钟 满分 57 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 2 2n 3 1 在验证n 1 时 左边计算所得 的式子为 A 1 B 1 2 C 1 2 22 D 1 2 22 23 答案 D 8 解析 左边的指数从 0 开始 依次加 1 直到n 2 所以当n 1 时 应加到 23 故 选 D 2 用数学归纳法证明 2n n2 1 对于n n0的正整数n都成立 时 第一步证明中的起 始值n0应取 A 2 B 3 C 5 D 6 答案 C 解析 令n0分别取 2 3 5 6 依次验证即得 3 用数学归纳法证明 1 2 3 n2 则当n k 1 时左端应在n k的基础 n4 n2 2 上加上 A k2 1 B k 1 2 C D k2 1 k 1 4 k 1 2 2 k2 2 k 1 2 答案 D 解析 当n k时 左端 1 2 3 k2 当n k 1 时 左端 1 2 3 k2 k2 1 k2 2 k 1 2 故当n k 1 时 左端应在n k的基础上加上 k2 1 k2 2 k 1 2 故应 选 D 4 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 从 k到k 1 左端需增乘的代数式为 A 2k 1 B 2 2k 1 C D 2k 1 k 1 2k 3 k 1 答案 B 解析 n k 1 时 左端为 k 2 k 3 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 k 1 k 2 k k 2 2k 1 应乘 2 2k 1 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 9 5 用数学归纳法证明 2n 1 n2 n 2 n N N 时 第一步验证为 答案 当n 1 时 左边 4 右边 不等式成立 解析 由n N N 可知初始值为 1 6 若f n 12 22 32 2n 2 则f k 1 与f k 的递推关系式是 答案 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 解析 f k 12 22 2k 2 f k 1 12 22 2k 2 2k 1 2 2k 2 2 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 7 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 当第二步假设 n 2k 1 k N N 命题为真时 进而需证n 时 命题亦真 答案 2k 1 解析 因为n为正奇数 所以与 2k 1 相邻的下一个奇数是 2k 1 三 解答题 共 22 分 8 10 分 若n为大于 1 的自然数 求证 1 n 1 1 n 2 1 2n 13 24 证明 1 当n 2 时 1 2 1 1 2 2 7 12 13 24 2 假设当n k k N N 时不等式成立 即 1 k 1 1 k 2 1 2k 13 24 那么当n k 1 时 1 k 2 1 k 3 1 2 k 1 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 1 k 1 1 k 1 1 k 1 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 1 k 1 13 24 1 2k 1 1 2k 2 1 k 1 13 24 1 2k 1 1 2k 2 13 24 1 2 2k 1 k 1 13 24 这就是说 当n k 1 时 不等式也成立 由 1 2 可知 原不等式对任意大于 1 的自然数都成立 9 12 分 已知点Pn an bn 满足an 1 an bn 1 bn 1 n N N 且点P1的坐标为 bn 1 4a2n 1 1 1 求过点P1 P2的直线l的方程 2 试用数学归纳法证明 对于n N N 点Pn都在 1 中的直线l上 1 解 由P1的坐标为 1 1 知a1 1 b1 1 10 b2 a2 a1 b2 b1 1 4a2 1 1 3 1 3 点P2的坐标为 1 3 1 3 直线l的方程为 2x y 1 2 证明 当n 1 时 2a1 b1 2 1 1 1 成立 假设当n k k N N 时 2ak bk 1 成立 则当n k 1 时 2ak 1 bk 1 2ak bk 1 bk 1 2ak 1 bk 1 4a2k 1 bk 1 2ak 1 2ak 1 2ak 当n k 1 时 命题也成立 由 知 对于n N N 都有 2an bn 1 即点Pn在直线l上 B 组 专项能力提升 时间 25 分钟 满分 43 分 一 选择题 每小题 5 分 共 15 分 1 对于不等式 n 1 n N N 某同学用数学归纳法证明的过程如下 n2 n 1 当n 1 时 1 1 不等式成立 12 1 2 假设当n k k N N 时 不等式成立 即 k 1 则当n k 1 时 k2 k k k 1 2 k 1 k2 3k 2 k2 3k 2 k 2 k 2 2 1 1 当n k 1 时 不等式成立 则上述证法 A 过程全部正确 B n 1 验得不正确 C 归纳假设不正确 D 从n k到n k 1 的推理不正确 答案 D 解析 在n k 1 时 没有应用n k时的假设 不是数学归纳法 2 用数学归纳法证明不等式 n N N 成立 其初始值至少应取 1 2 1 4 1 2n 1 127 64 A 7 B 8 C 9 D 10 答案 B 解析 左边 1 2 代入验证可知n的最小值是 8 1 2 1 4 1 2n 1 1 1 2n 1 1 2 1 2n 1 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 4 已知整数对的序列如下 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 1 5 2 4 则第 60 个数对是 答案 5 7 解析 本题规律 2 1 1 3 1 2 2 1 4 1 3 2 2 3 1 5 1 4 2 3 3 2 4 1 一个整数n所拥有数对为 n 1 对 设 1 2 3 n 1 60 60 n 1 n 2 n 11 时还多 5 对数 且这 5 对数和都为 12 12 1 11 2 10 3 9 4 8 5 7 第 60 个数对为 5 7 5 用数学归纳法证明 k 1 则当n k 1 时 1 1 3 1 1 5 1 1 7 1 1 2k 1 2k 1 2 左端应乘上 这个乘上去的代数式共有因式的个数是 答案 2k 1 1 1 2k 1 1 1 2k 3 1 1 2k 1 1 12 解析 因为分母的公差为 2 所以乘上去的第一个因式是 最后一个是 1 1 2k 1 根据等差数列通项公式可求得共有 1 1 2k 1 1 1 2k 2k 1 2k 1项 2k 1 1 2k