公因数与公倍数基本概念及应用汇总

公因数与公倍数基本概念及应用汇总公因数与公倍数基本概念及应用汇总 1 公因数 几个数共有的因数 叫这几个数的公因数 最大公因数 公因数中最大的一个叫这几个数的最大公因数 2 公倍数 几个数共有的倍数 叫这几个数的公倍数 最小公倍数 公倍数中最小的一个叫这几个数的最小公倍数 3 三种关系的数如何求最小公倍数与最大公因数 当两个数是互质数时 它们的最大公因数是 1 最小公倍是 它们的积 当两个数是倍数关系时 较小的数是这两个数的最大公因数 较大的数是这两个数的最小公倍数 当两个数是一般关系时 用短除法求这两个数的最大公因数 与最小公倍数 由此可知 最大公因数是公有质因数连乘的积 最小公倍数是 公有和独有因数连成的积 可见 最小公倍数是最大公因数的倍数 最大公因数是最小公倍数的因数 掌握这一点是解决此类问题的 关键 4 最大公因数与最小公倍数实际应用例题 例 1 A 2 3 5 7 则 A 因数有 个 分析 一个合数分解质因数后 其因数是一个或几个质因数连 成的积 因此 数 A 的因数为 一个质因数构成的 2 3 5 7 两 个质因数构成的 6 10 14 15 21 35 三个质因数构成的 30 42 105 70 四个质因数构成的 210 除此之外还有 1 共 16 个 例 2 A 2 2 3 B 2 3 5 则 A B 的最大公因数与最小公倍 数分别是 分析 因为 最大公因数是公有质因数连乘的积 所以 A B 的最大公因数为 2 3 6 最小公倍数是公有和独有因数 连成的积 A B 的最小公倍数为 2 3 2 5 60 练习 已知甲 乙两数的最大公因数是 6 最小公倍数是 36 求甲 乙两数 分析 最小公倍数是公有和独有因数连成的积 因此最小公 倍数是最大公因数的倍数 解析 36 6 6 6 即为独有因数的积 6 1 6 或 6 2 3 因此甲乙两个数分别为 1 6 6 6 6 36 或 2 6 12 3 6 18 两个数最大公因数是 12 最小公倍数是 180 且大数不是小 数的倍数 求这两个数 解析 180 12 15 15 3 5 3 12 36 5 12 60 例 3 两个数的最大公因数是 42 最小公倍数是 2940 且两个 数的和是 714 这两个数各是多少 解析 2940 42 70 70 为独有因数连成的积 两个数 的和是 714 则两数和是最大公因数的倍数 它是最大公因数与 独有因数和的积 因此 714 42 17 17 是独有因数的和 因此 70 只能分解成 10 和 7 的积 70 7 10 7 42 294 10 42 420 练习 已知两个自然数的和为 72 它们的最大公因数是 12 求 这两个数 解析 72 12 6 6 1 5 1 12 12 5 12 60 例 4 把长 20 厘米 宽 42 厘米的长方形铁片剪成边长是整厘 米数 面积相等的正方形铁片 并且没有剩余 至少可剪多少块 分析 因为要剪成 面积相等的正方形铁片 并且没有剩余 因此 正方的边长既是 20 的因数 也是 42 的因数 并且是最大的 公因数 42 和 20 的最大公因数是 2 故正方形边长为 2 厘米 剪得块数即为 20 2 42 2 210 块 求 54 36 72 的最大公因数 练习 把长 120 厘米 宽 80 厘米的铁板裁成面积相等 最大的 正方形而且没有剩余 可以裁成多少块 提示 求 120 18 的最大公因数 例 5 用长 5 厘米 宽 3 厘米的长方形铁片 摆成一个正方形 中间没有空隙 至少要有多少块这种长方形铁片 分析 用这样的长方形摆成正方形 则正方形的边长既是 5 的 倍数 也是 3 的倍数 因是至少需几块 所以应该是 5 和 3 的最小 公倍数 5 和 3 的最小公倍数是 15 所以需块数为 15 5 15 3 15 块 练习 排练团体操时 要求队伍变成 10 行 15 行 18 行 24 行时 队形都能成为长方形 最少需要多少人参加团体操的排练 提示 求 10 15 18 24 的最小公倍数 10 15 18 24 360 1 例 6 某幼儿园借阅图书 如借 35 本 平均分给每个小朋友差 1 本 如借 56 本 平均分给每个小朋友后还剩 2 本 如借 69 本 平均分给每个小朋友则差 3 本 这个班的小朋友最多有多少人 分析 小朋友数即为 36 54 72 的最大公因数 例 7 现在有香蕉 42 千克 苹果 112 千克 桔子 70 千克 平均 分给幼儿园的几个班 每班分到的这三种水果的数量分别相等 那 么最多分给了多少个班 每个班至少分到了三种水果各多少千克 分析 班数即为 42 112 70 的最大公因数 每种水果数除以 班数即为分得的水果 练习 有三根铁丝 一根长 54 米 一根长 72 米 一根长 36 米 要把它们截成同样长的小段 不许剩余 每段最长是多少米 例 8 练习 有一个自然数 被 6 除余 1 被 5 除余 1 被 4 除余 1 这个