2013年高考数学总复习 8-6抛物线 新人教B版

1 8 68 6 抛物线抛物线 基础巩固强化 1 动点P到直线x y 4 0 的距离等于它到点M 2 2 的距离 则点P的轨迹是 A 直线 B 抛物线 C 椭圆 D 双曲线 答案 A 解析 M 2 2 在直线x y 4 0 上 而 PM 即为P到直线x y 4 0 的距离 动点P的轨迹为过点M垂直于直线x y 4 0 的直线 故选 A 2 2012 山东苍山县期末 设椭圆 1 m 0 n 0 的右焦点与抛物线y2 8x的 x2 m2 y2 n2 焦点相同 离心率为 则此椭圆的方程为 1 2 A 1 B 1 x2 12 y2 16 x2 16 y2 12 C 1 D 1 x2 48 y2 64 x2 64 y2 48 答案 B 解析 抛物线y2 8x的焦点F 2 0 由条件得Error Error 故选 B 3 文 2011 陕西文 2 设抛物线的顶点在原点 准线方程为x 2 则抛物线的 方程是 A y2 8x B y2 4x C y2 8x D y2 4x 答案 C 解析 由抛物线准线方程为x 2 知p 4 且开口向右 抛物线方程为y2 8x 故选 C 理 已知直线l1 4x 3y 6 0 和直线l2 x 1 P是抛物线y2 4x上一动点 则 点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 A 2 B 3 C D 11 5 37 16 答案 A 解析 直线l2 x 1 为抛物线y2 4x的准线 由抛物线的定义知 P到l1的距 离等于P到抛物线的焦点F 1 0 的距离 故本题化为在抛物线y2 4x上找一个点P 使得 P到点F 1 0 和直线l2的距离之和最小 最小值为F 1 0 到直线l1 4x 3y 6 0 的距 2 离 即dmin 2 故选 A 4 0 6 5 4 2012 厦门市质检 抛物线y2 mx的焦点为F 点P 2 2 在此抛物线上 M为 2 线段PF的中点 则点M到该抛物线准线的距离为 A 1 B 3 2 C 2 D 5 2 答案 D 解析 点P 2 2 在抛物线上 2 2 2m 22 m 4 P到抛物线准线的距离为 2 1 3 F到准线距离为 2 M到抛物线准 线的距离为d 3 2 2 5 2 5 文 2011 石家庄模拟 直线 3x 4y 4 0 与抛物线x2 4y和圆x2 y 1 2 1 从左到右的交点依次为A B C D 则的值为 AB CD A 16 B 1 16 C 4 D 1 4 答案 B 解析 由Error 得x2 3x 4 0 xA 1 xD 4 yA yD 4 1 4 直线 3x 4y 4 0 恰过抛物线的焦点F 0 1 AF yA 1 DF yD 1 5 5 4 故选 B AB CD AF 1 DF 1 1 16 理 若抛物线y2 4x的焦点是F 准线是l 则经过点F M 4 4 且与l相切的圆共 有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 答案 C 解析 经过F M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上 设圆心为C 则 CF CM 又圆C与l相切 所以C到l距离等于 CF 从而C在抛物线y2 4x上 故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点 显然有两个交点 所以共有两个圆 3 6 文 2012 山西四校联考 已知双曲线 1 a 0 b 0 与抛物线y2 8x有一 x2 a2 y2 b2 个公共的焦点F 且两曲线的一个交点为P 若 PF 5 则双曲线的渐近线方程为 A y x B y x 3 33 C y x D y x 2 2 2 答案 B 解析 设点P m n 依题意得 点F 2 0 由点P在抛物线y2 8x上 且 PF 5 得Error 由此解得m 3 n2 24 于是有Error 由此解得a2 1 b2 3 该双曲线 的渐近线方程为y x 选 B 3 理 2012 辽宁文 12 已知P Q为抛物线x2 2y上两点 点P Q的横坐标分别为 4 2 过P Q分别作抛物线的切线 两切线交于点A 则点A的纵坐标为 A 1 B 3 C 4 D 8 答案 C 解析 本题考查了导数的几何意义 由已知可设P 4 y1 Q 2 y2 点P Q在抛物线x2 2y上 Error Error P 4 8 Q 2 2 又 抛物线可化为y x2 y x 1 2 过点P的切线斜率为k1 4 切线方程为y 4x 8 又 过点Q的切线斜率为k2 2 过点Q的切线为y 2x 2 4 联立Error 解得x 1 y 4 点A的纵坐标为 4 点评 注意对抛物线方程的整理 化为二次函数形式 然后利用导数求切线方程 7 文 2011 烟台检测 已知抛物线型拱桥的顶点距离水面 2m 时 测量水面宽为 8m 当水面上升 m 后 水面的宽度是 m 1 2 答案 4 3 解析 建立平面直角坐标系如图 设开始时水面与抛物线的一个交点为A 由题意可知 A 4 2 故可求得抛物线的方程为y x2 设水面上升后交点为B 则点B的纵坐标 1 8 为 代入抛物线方程y x2可求出B点的横坐标为 2 所以水面宽为 4m 3 2 1 833 理 2012 陕西理 13 下图是抛物线形拱桥 当水面在l时 拱顶离水面 2m 水面 宽 4m 水位下降 1m 后 水面宽 m 答案 2 6 解析 本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用 5 如图建立坐标系 设方程x2 2py p 0 由题意知点 2 2 在抛物线上 可得p 1 则方程为x2 2y 当y 3 时 x 6 所以水面宽 2m 6 点评 抛物线方程在实际问题中的应用 关键是合理建立平面直角坐标系 还要注 意数据的实际意义 8 文 抛物线的焦点为椭圆 1 的左焦点 顶点在椭圆中心 则抛物线方程为 x2 9 y2 4 答案 y2 4x 5 解析 由c2 9 4 5 得F 0 5 抛物线方程为y2 4x 5 理 若点 3 1 是抛物线y2 2px的一条弦的中点 且这条弦所在直线的斜率为 2 则 p 答案 2 解析 设弦两端点P1 x1 y1 P2 x2 y2 则Error 两式相减得 2 y1 y2 x1 x2 2p y1 y2 y1 y2 2 p 2 9 2012 银川一中三模 已知抛物线y2 2px p 0 过其焦点且斜率为 1 的直线交 抛物线于A B两点 若线段AB的中点的纵坐标为 2 则该抛物线的准线方程为 答案 x 1 解析 由Error 消去x得 y2 2py p2 0 设A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 2p 由条件知 y1 y2 4 p 2 抛物线的准线方程为x 1 10 已知动圆过定点P 1 0 且与直线x 1 相切 6 1 求动圆圆心M的轨迹C的方程 2 设A B是轨迹C上异于原点O的两个不同点 若OA OB 证明直线AB恒过定点 并求出该定点的坐标 解析 1 设圆心M x y 由题意知点M到点P的距离等于点M到直线x 1 的距离 故点M的轨迹C是以P 1 0 为焦点 直线x 1 为准线的抛物线 轨迹C的方程是y2 4x 2 当直线AB的斜率存在时 设直线AB的方程为y kx b k 0 代入C的方程并整理得k2x2 2kb 4 x b2 0 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 x1x2 4 2kb k2 b2 k2 故y1y2 kx1 b kx2 b k2x1x2 kb x1 x2 b2 4b k 由OA OB得x1x2 y1y2 0 即 0 b2 k2 4b k 解得b 4k或b 0 舍去 此时 直线AB的方程为 y kx 4k 即y k x 4 此时直线AB过定点 4 0 当直线AB的斜率不存在时 由OA OB可知A B两点的坐标分别是 4 4 4 4 此时直线AB也过定点 4 0 综上所述 直线AB恒过定点 4 0 能力拓展提升 11 文 已知P为抛物线y2 4x上一个动点 Q为圆x2 y 4 2 1 上一个动点 那 么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是 A 5 B 8 C 1 D 2 175 答案 C 解析 抛物线y2 4x的焦点为F 1 0 圆x2 y 4 2 1 的圆心为C 0 4 设点 P到抛物线的准线距离为d 根据抛物线的定义有 d PF PQ d PQ PF PC 1 PF CF 1 1 17 理 2012 安徽理 9 过抛物线y2 4x的焦点F的直线交该抛物线于A B两点 O 为坐标原点 若 AF 3 则 AOB的面积为 7 A B 2 22 C D 2 3 2 22 答案 C 解析 设 AFx 0 p 4 8 又 FM y0 2 y0 2 故选 C 13 已知抛物线y2 2px p 0 上一点M 1 m m 0 到其焦点的距离为 5 双曲线 y2 1 的左顶点为A 若双曲线的一条渐近线与直线AM平行 则实数a的值是 x2 a 答案 1 9 解析 根据抛物线定义可得 抛物线准线方程为x 4 则抛物线方程为y2 16x 把M 1 m 代入y2 16x得m 4 即M 1 4 在双曲线 y2 1 中 A 0 则 x2 aa kAM 解得a 4 1 a 1 a 1 9 14 文 已知点A 2 0 B 4 0 动点P在抛物线y2 4x上运动 则 取得 AP BP 最小值时的点P的坐标是 答案 0 0 解析 设P 则 y2 4 y AP y2 4 2 y BP y2 4 4 y AP BP y2 4 2 y2 y2 8 8 当且仅当y 0 时取等号 此时点P的坐标为 0 0 y2 4 4 y4 16 5 2 理 如图 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点 A B C 若 BC 2 BF 且 AF 3 则抛物线的方程是 答案 y2 3x 解析 解法 1 过A B作准线垂线 垂足分别为A1 B1 则 AA1 3 BB1 BF BC 2 BF BC 2 BB1 AC 2 AA1 2 AF 6 CF 3 9 p CF 抛物线方程为y2 3x 1 2 3 2 解法 2 由抛物线定义 BF 等于B到准线的距离 由 BC 2 BF 得 BCM 30 又 AF 3 从而A在抛物线上 代入抛物线方程y2 2px 解得p p 2 3 2 3 3 2 3 2 15 文 2011 韶关月考 已知动圆过定点F 0 2 且与定直线L y 2 相切 1 求动圆圆心的轨迹C的方程 2 若AB是轨迹C的动弦 且AB过F 0 2 分别以A B为切点作轨迹C的切线 设 两切线交点为Q 证明 AQ BQ 解析 1 依题意 圆心的轨迹是以F 0 2 为焦点 L y 2 为准线的抛物线 因为抛物线焦点到准线距离等于 4 所以圆心的轨迹方程是x2 8y 2 证明 因为直线AB与x轴不垂直 设AB y kx 2 A x1 y1 B x2 y2 由Error 可得x2 8kx 16 0 x1 x2 8k x1x2 16 抛物线方程为y x2 求导得y x 1 8 1 4 所以过抛物线上A B两点的切线斜率分别是 k1 x1 k2 x2 k1k2 x1 x2 x1 x2 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1 16 所以AQ BQ 理 若椭圆C1 1 0 b0 的焦点 x2 4 y2 b2 3 2 在椭圆C1的顶点上 1 求抛物线C2的方程 2 若过M 1 0 的直线l与抛物线C2交于E F两点 又过E F作抛物线C2的切线 l1 l2 当l1 l2时 求直线l的方程 解析 1 已知椭圆的长半轴长为a 2 半焦距c 4 b2 由离心率e 得 b2 1 c a 4 b2 2 3 2 椭圆的上顶点为 0 1 即抛物线的焦点为 0 1 p 2 抛物线的方程为x2 4y 2 由题知直线l的斜率存在且不为零 则可设直线l的方程为y k x 1 E x1 y1 F x2 y2 10 y x2 y x 1 4 1 2 切线l1 l2的斜率分别为x1 x2 1 2 1 2 当l1 l2时 x1 x2 1 即x1 x2 4 1 2 1 2 由Error 得x2 4kx 4k 0 由 4k 2 4 4k 0 解得k0 又x1 x2 4k 4 得k 1 直线l的方程为y x 1 16 文 2012 东北三校联考 椭圆C 1 的焦点在x轴上 右顶点A为抛物 x2 a2 y2 2 线y2 16x的焦点 1 求椭圆C的方程 2 已知点Q 0 若斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点M N 2 2 2 求 的最小值 QM QN 解析 1 抛物线y2 16x的焦点为F 4 0 故椭圆C中a 4 所以椭圆C的方程为 1 x2 16 y2 2 2 设直线l的方程为y x b 2 2 由Error 消去y整理得 5x2 8bx 8b2 16 0 2 因为动直线l与椭圆C交于不同的两点 所以 128b2 20 8b2 16 0 解得 b 1010 设M x1 y1 N x2 y2 则 x1 x2 b x1x2 8 2 5 8b2 16 5 y1y2 x1 b x2 b x1x2 x1 x2 b2 2 2 2 2 1 2 2b 2 b2 8 5 因为 x1 y1 x2 y2 QM 2 QN 2 所以 x1 y1 x2 y2 x1x2 x1 x2 y1y2 2 QM QN 222 9b2 16b 14 5 11 因为 b0 上 另一个顶点是此抛物线 焦点的正三角形个数记为n 则 A n 0 B n 1 C n 2 D n 3 答案 C 解析 设抛物线上点A y1 B y2 y2 1 2p y2 2 2p 且y1 y2 焦点F 0 p 2 由 AF BF 得 y y 0 2 12 2 y2 1 y2 2 2p2 4p2 13 y1 y2 y1 y2 A B关于x轴对称 过点F作直线y x y x 分别与抛物线有 2 个交点 3 3 p 2 3 3 p 2 等边三角形有 AFB和 A FB 2 个 故选 C 2 过抛物线y ax2 a 0 的焦点F作一直线交抛物线于A B两点 若线段AF BF的 长分别为m n 则等于 mn m n A B 1 2a 1 4a C 2a D a 4 答案 B 解析 特例法 取通径AB 则m n 1 2a 故 mn m n 1 4a 3 设双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线与抛物线y x2 1 相切 则该双曲线的离 x2 a2 y2 b2 心率等于 A B 2 3 C D 56 答案 C 解析 双曲线的渐近线方程为y x 与抛物线方程联立得x2 x 1 0 b a