2012年高考数学《导数及其应用》专题 导数的概念及性质学案

1 第第 2 2 课时课时 导数的概念及性质导数的概念及性质 1 1 函数的单调性 函数 y xf在某个区间内可导 若 x f 0 则 xf为 若 x f 0 则 xf为 逆命题不成立 2 如果在某个区间内恒有0 x f 则 xf 注 连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的 3 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 确定函数 xf的 求 x f 令 解此方程 求出它在定义区间内的一切实根 把函数 xf的间断点 即 xf的无定义点 的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺 序排列起来 然后用这些点把函数 xf的定义区间分成若干个小区间 确定 x f 在各小开区间内的 根据 x f 的符号判定函数 xf在各个相应小开区间 内的增减性 2 2 可导函数的极值 极值的概念 设函数 xf在点 0 x附近有定义 且对 0 x附近的所有点都有 或 则称 0 xf为函数的一个极大 小 值 称 0 x为极大 小 值点 求可导函数极值的步骤 求导数 x f 求方程 x f 0 的 检验 x f 在方程 x f 0 的根左右的符号 如果在根的左侧附近为正 右侧附近为负 那么函数 y xf在这个根处取得 如果在根的左侧附近为负 右侧为正 那么函 数 y xf在这个根处取得 3 3 函数的最大值与最小值 设 y xf是定义在区间 a b 上的函数 y xf在 a b 内有导数 则函数 y xf在 a b 上 有最大值与最小值 但在开区间内 有最大值与最小值 2 求最值可分两步进行 求 y xf在 a b 内的 值 将 y xf的各 值与 af bf比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为 最小值 3 若函数 y xf在 a b 上单调递增 则 af为函数的 bf为函数的 基础过关基础过关 2 若函数 y xf在 a b 上单调递减 则 af为函数的 bf为函数的 例例 1 1 已知 f x ex ax 1 1 求 f x 的单调增区间 2 若 f x 在定义域 R R 内单调递增 求 a 的取值范围 3 是否存在 a 使 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求 出 a 的值 若不存在 说明理由 解 解 xf ex a 1 若 a 0 xf ex a 0 恒成立 即 f x 在 R R 上递增 若 a 0 ex a 0 ex a x lna f x 的单调递增区间为 lna 2 f x 在 R R 内单调递增 xf 0 在 R R 上恒成立 ex a 0 即 a ex在 R R 上恒成立 a ex min 又 ex 0 a 0 3 方法一方法一 由题意知 ex a 0 在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 ex在 0 上为增函数 x 0 时 ex最大为 1 a 1 同理可知 ex a 0 在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 a 1 a 1 方法二方法二 由题意知 x 0 为 f x 的极小值点 0 f 0 即 e0 a 0 a 1 变式训练变式训练 1 1 已知函数 f x x3 ax 1 1 若 f x 在实数集 R R 上单调递增 求实数 a 的取值范围 2 是否存在实数 a 使 f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出 a 的取值范围 若不 存在 说明理由 3 证明 f x x3 ax 1 的图象不可能总在直线 y a 的上方 1 解解 由已知 xf 3x2 a f x 在 上是单调增函数 xf 3x2 a 0 在 上恒成立 即 a 3x2对 x R R 恒成立 3x2 0 只需 a 0 又 a 0 时 xf 3x2 0 故 f x x3 1 在 R R 上是增函数 则 a 0 2 解解 由 xf 3x2 a 0 在 1 1 上恒成立 得 a 3x2 x 1 1 恒成立 1 x 1 3x2 3 只需 a 3 当 a 3 时 xf 3 x2 1 在 x 1 1 上 xf 0 即 f x 在 1 1 上为减函数 a 3 故存在实数 a 3 使 f x 在 1 1 上单调递减 3 证明证明 f 1 a 20 即 e ax ax2 2x 0 得 0 x a 2 f x 在 0 2 a 上是减函数 在 a 2 0上是增函数 当 0 a 2 2 时 f x 在 1 2 上是减函数 f x max f 1 e a 4 当 1 a 2 2 即 1 a 2 时 f x 在 a 2 1上是增函数 在 2 2 a 上是减函数 f x max f a 2 4a 2e 2 当 a 2 2 时 即 0 a 1 时 f x 在 1 2 上是增函数 f x max f 2 4e 2a 综上所述 当 0 a2 时 f x 的最大值为 e a 变式训练变式训练 3 3 设函数 f x x x a 2 x R R 其中 a R R 1 当 a 1 时 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 当 a 0 时 求函数 f x 的极大值和极小值 解解 1 当 a 1 时 f x x x 1 2 x3 2x2 x f 2 2 xf 3x2 4x 1 2 f 12 8 1 5 当 a 1 时 曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 5x y 8 0 2 f x x x a 2 x3 2ax2 a2x xf 3x2 4ax a2 3x a x a 令 xf 0 解得 x 3 a 或 x a 由于 a 0 以下分两种情况讨论 若 a 0 当 x 变化时 xf 的正负如下表 x 3 a 3 a 3 a a a a xf 0 0 f x 3 27 4 a 0 因此 函数 f x 在 x 3 a 处取