牛吃草问题例题及练习

牛吃草问题 牛吃草问题又称为消长问题 是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的 典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变 不同头数的牛吃光同一片草地所需的 天数各不相同 求若干头牛吃这片草地可以吃多少天 由于吃的天数不同 草又是天天在生长的 所以草的存量随吃的天数不断地变化 基本思路 假设每头牛一定时间内吃草的速度为 1 份 根据两次不同的吃法 求出其中的 总草量的差 再找出造成这种差异的原因 即可确定草的生长速度和总草量 基本特点 原草量和新草生长速度是不变的 解决牛吃草问题常用到四个基本公式 分别是 1 草的生长速度 对应的牛头数 草的生长速度 对应的牛头数 吃的较多天数 相应的牛头数吃的较多天数 相应的牛头数 吃的较少天数 吃的较少天数 吃的较多天数 吃的较少天数 吃的较多天数 吃的较少天数 2 原有草量 牛头数 原有草量 牛头数 吃的天数 草的生长速度吃的天数 草的生长速度 同一个吃的天数 同一个吃的天数 3 吃的天数 原有草量 吃的天数 原有草量 牛头数 草的生长速度 牛头数 草的生长速度 4 牛头数 原有草量 牛头数 原有草量 吃的天数 草的生长速度 吃的天数 草的生长速度 例例 1 牧场上有一片匀速生长的牧草 可供牧场上有一片匀速生长的牧草 可供 27 头牛吃头牛吃 6 天 或供天 或供 23 头牛吃头牛吃 9 天 那么这片牧天 那么这片牧 草可供多少头牛吃草可供多少头牛吃 12 天 天 解 27 头牛 6 周的吃草量 27 6 162 23 头牛 9 周的吃草量 23 9 207 每天新生的草量 207 162 9 6 15 原有的草量 207 15 9 72 吃 12 天牛的头数 72 12 15 21 头 例例 2 一只船发现漏水时 已经进了一些水 水匀速进入船内 如果派一只船发现漏水时 已经进了一些水 水匀速进入船内 如果派 10 人淘水 人淘水 6 小时淘完 小时淘完 如果派如果派 6 人淘水 人淘水 18 小时淘完 如果派小时淘完 如果派 22 人淘水 多少小时可以淘完 人淘水 多少小时可以淘完 解 10 人 6 小时淘水量 10 6 60 6 人 18 小时淘水量 6 18 108 漏进的新水 108 60 18 6 4 原有漏进的水 60 4 6 36 22 人需要时间 36 22 4 2 时 例例 3 某车站在检票前若干分钟就开始排队 每分钟来的旅客人数一样多 从开始检票到等候检某车站在检票前若干分钟就开始排队 每分钟来的旅客人数一样多 从开始检票到等候检 票的队伍消失 同时开票的队伍消失 同时开 4 个检票口需个检票口需 30 分钟 同时开分钟 同时开 5 个检票口需个检票口需 20 分钟 如果同时打开分钟 如果同时打开 7 个检票口 那么需多少分钟 个检票口 那么需多少分钟 解 等候检票的旅客人数在变化 旅客 相当于 草 检票口 相当于 牛 可以用牛吃草问题 的解法求解 假设一个检票口一分钟能检票的人数看成 1 份 30 分钟的总量 4 30 120 20 分钟的总量 5 20 100 每分钟新增的量 120 100 30 20 2 原有的量 120 2 30 60 或 100 2 20 60 7 个检票口需要时间 60 7 2 12 分 例例 4 两个顽皮的孩子逆着自动滚梯行走 男孩每秒可走两个顽皮的孩子逆着自动滚梯行走 男孩每秒可走 3 级台阶 女孩每秒可走级台阶 女孩每秒可走 2 级台阶 结级台阶 结 果从滚梯一端到达另一端 男孩走了果从滚梯一端到达另一端 男孩走了 100 秒 女孩走了秒 女孩走了 300 秒 该滚梯共有多少级 秒 该滚梯共有多少级 解 男生走了 3 100 300 级 女生走了 2 300 600 级 每秒新增的量 600 300 300 100 1 5 级 自动滚梯的速度 原有的量 自动滚梯原有的级数 300 1 5 100 150 级 或 600 1 5 300 150 级 例例 5 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着 两位性急的孩子要从扶梯上楼 已知男孩每分钟走自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着 两位性急的孩子要从扶梯上楼 已知男孩每分钟走 80 级梯级 女孩每分钟走级梯级 女孩每分钟走 60 级梯级 结果男孩用了级梯级 结果男孩用了 0 5 分钟到达楼上 女孩用了分钟到达楼上 女孩用了 0 6 分钟到分钟到 达楼上 问 该扶梯共有多少级 达楼上 问 该扶梯共有多少级 每分钟减少的量 80 0 5 60 0 6 0 6 0 5 40 级 分 自动扶梯的速度 自动扶梯的速度 原有的量 80 0 5 40 0 5 60 级 例例 6 由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不长大 反而以固定的速度在减少 已知某块草地由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不长大 反而以固定的速度在减少 已知某块草地 上的草可供上的草可供 20 头牛吃头牛吃 5 天 或可供天 或可供 15 头牛吃头牛吃 6 天 照此计算 可供多少头牛吃天 照此计算 可供多少头牛吃 10 天 天 解 与例 1 不同的是 不仅没有新长出的草 而且原有的草还在减少 但是 我们同样可以利 用例 1 的方法 求出每天减少的草量和原有的草量 每天减少的量 20 5 15 6 6 5 10 原有的量 20 5 5 10 150 吃 10 牛的头数 150 10 10 5 头 头 解决方法二解决方法二 利用公式解方程利用公式解方程 草地原有草量草地原有草量 牛数牛数 每天长草量每天长草量 x x 天数作为等量关系式 天数作为等量关系式 y N X T 其中 Y 代表原有草量 N 代表牛的头数 X 代表草生长速度 T 代表天数 例 1 一片牧场 假设每天的长草量相同 9 头牛吃 3 天 5 头牛吃 6 天 多少头牛 2 天 吃完 A 12 B 13 C 14 D 15 解析 题目给了 2 个条件 将两个条件分别代入公式中 得到两个方程 y 9 X 3 5 X 6 两个方程可以解得 x 1 y 24 将 x 1 y 24 带入并将题目要求的问题再列个方程 24 N 1 2 可以解得 N 13 选 B 例 2 有一块草地 每天草生长的速度相同 现在这片牧草可供 16 头牛吃 20 天 或者供 80 只羊吃 12 天 如果一头牛一天的吃草量相当于 4 只羊一天的吃草量 那么这片草地可供 10 头牛和 60 只羊一起吃多少天 A 6 B 8 C 12 D 15 解析 虽然题目涉及到了牛和羊 但是给出了 1 头牛相当于 4 只羊的换算关系 因此可以 将羊换算为牛 即 16 头牛可以吃 20 天 20 头牛可以吃 12 天 10 头牛和 60 只羊可换算成 25 头 牛 题目可变成求 25 头牛可以吃多少天 将两个条件分别带入公式 y N X T 可以得到两个方程 y 16 X 20 20 X 12 两个方程可以解得 x 10 y 120 将 x 10 y 120 带入后题目求的问题可列方程得到 120 25 10 T 解得 T 8 选 B 2014 年 10 月 19 号课后作业 1 一片牧场长满牧草 每天牧草都匀速生长 这片牧场可供 10 头牛吃 20 天 或可供 15 头牛吃 10 天 问 可供多少头牛吃 5 天 2 有一片牧场 草每天生长的速度相同 草地上的草可供 10 头牛吃 10 周 或可供 24 只羊吃 20 周 已知每周 1 头牛和 3 只羊的吃草量相同 那么 10 头牛和 12 只羊一起吃草 可以吃多少周 3 船有个漏洞 水以均匀速度进入船内 发现漏水时 船已进一些水 若 12 个人来舀水 3 小 时可舀光 5 个人来舀水 10 小时才舀光 现在要 2 小时舀光 需安排多少人 4 一水库原有水量一定 河水每天均匀入库 用 5 台同样的抽水机连续 20 天可将水抽干 用 6 台同样的抽水机连续 15 天可将水抽干 若想 6 天将水库里的水全部抽干 需要多少台抽水机 5 客运站早上 5 点开始售票 但早就有人排队等候买票了 每分钟来的旅客一样多 从开始售 票到等候买票的队伍消失 若同时开 5 个售票口需 30 分钟 同时开 6 个售票口需 20 分钟 如果 让队伍 10 分钟消失 要同时开几个售票口 6 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走 男孩 20 秒走了 27 级 女孩走了 24 级 按此速度 男孩子 2 分钟到达另一端 而女孩需 3 分钟才能到达 问该自动扶梯共有多少级 7 由于天气逐渐变冷 牧场上草每天以均匀的速度减少 经计算 牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天 或可供 16 头牛吃 6 天 则 11 头牛可以吃多少天 例例 7 有三块草地 面积分别为有三块草地 面积分别为 5 15 和和 24 公顷 草地上的草一样厚 而且长得一样快 第一公顷 草地上的草一样厚 而且长得一样快 第一 块草地可供块草地可供 10 头牛吃头牛吃 30 天 第二块草地可供天 第二块草地可供 28 头牛吃头牛吃 45 天 问 第三块草地可供多少头天 问 第三块草地可供多少头 牛吃牛吃 80 天 天 把一头牛吃一天的草量 看成 1 份 第一块 5 公顷 30 天的总量 10 30 300 第二块 15 公顷 45 天的总量 28 45 1260 提示 先 归一 都变成 1 公顷 1 公顷 30 天的总量 300 5 60 1 公顷 45 天的总量 1260 15 84 1 公顷每天增长的量 84 60 45 30 1 6 1 公顷原有的量 60 1 6 30 12 应用 归一 的结果 用到中第三块 24 公顷 80 天 24 公顷每天增长的量 1 6 24 38 4 24 公顷原有的量 12 24 288 288 80 38 4 42 头 10 有三片草地 面积分别为有三片草地 面积分别为 4 公顷 公顷 8 公顷和公顷和 10 公顷 草地上的草一样厚 而且长得一样快 第一片草地公顷 草地上的草一样厚 而且长得一样快 第一片草地 上的草可供上的草可供 24 头牛吃头牛吃 6 周 第二片草地上的草可供周 第二片草地上的草可供 36 头牛吃头牛吃 12 周 问 第三片草地上的草可供周 问 第三片草地上的草可供 50 头牛头牛 吃几天 吃几天 11 有一片匀速生长的牧草 可供有一片匀速生长的牧草 可供 17 头牛吃头牛吃 30 天 或可供天 或可供 19 头牛吃头牛吃 24 天 原来有若干头牛在草地上吃天 原来有若干头牛在草地上吃 草 吃草 吃 6 天