2013届高三数学暑假作业 应用题的解法（2）

1 20132013 届高三数学暑假作业届高三数学暑假作业 一一 基础再现基础再现 1 有一根长为 6cm 底面半径为 0 5cm 的圆柱型铁管 用一段铁丝在铁管上缠绕 4 圈 并使 铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端 则铁丝的长度最少为 cm 2 如图 一份印刷品的排版面积 矩形 为 A 它的两边都留有宽为的空白 顶部和底部a 都留有宽为的空白 如何选择纸张的尺寸 才能使纸的用量最少 b 3 要设计一容积为V的下端为圆柱形 上端为半球形的密闭储油罐 已知圆柱侧面的单位 面积造价是下底面的单位面积造价的一半 而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面 的单位面积的造价的一半 问储油罐的下部圆柱的底面半径R为何值时造价最低 二二 感悟解答感悟解答 1 答 2 2 94 2 解 设排版矩形的长和宽分别是 x y b b a aa x y 2 则纸张的面积为 xyA 2 2 2 2242 44 2 Sxa xbxybxayabxyabxyabAab 当且仅当 即时 S 有最小值 22bxay AaAb xy ba 2 2 Aab 此时纸张的长和宽分别为 2 2 AaAb ab ba 答当纸张的长和宽分别为时 纸张的用量最少 22 AaAb ab ba 和 3 解 设圆柱的高为h 下底面单位面积的造价为a 则V R2h R3 所以h R 2 3 V R 2 2 3 因为h 0 所以 0 R 设总造价为y 则y R2 a 2 Rh 2 R2 a R2 Rh a R2 R2 a R2 a 2 a 4 3 2 3 2 V R 2 3 5 6 V R y a R 令y 0 得R 5 3 V R2 5 aR3 3a V 3R2 当R 0 时 y 0 y为减函数 当R 时 y 0 y为增函数 所以当R 时 y有最小值 答 当储油罐的下部圆柱的底面半径R 时 造价最低 三三 范例剖析范例剖析 例例 1 1 某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床 并立即投入生产使用 计划第一年维 修 保养费用 12 万元 从第二年开始 每年所需维修 保养费用比上一年增加 4 万元 该 机床使用后 每年的总收入为 50 万元 设使用x年后数控机床的盈利额为y万元 1 写出y与x之间的函数关系式 2 从第几年开始 该机床开始盈利 盈利额为正值 3 使用若干年后 对机床的处理方案有两种 当年平均盈利额达到最大值时 以 30 万元价格处理该机床 当盈利额达到最大值时 以 12 万元价格处理该机床 请你研究一下哪种方案处理较为合理 请说明理由 3 例例 2 2 某商店经销一种奥运会纪念品 每件产品的成本为 30 元 并且每卖出一件产品需向 税务部门上交元 为常数 2 a 5 的税收 设每件产品的售价为x元 35 x 41 根aa 据市场调查 日销售量与 e 为自然对数的底数 成反比例 已知每件产品的日售价为 40 元时 x e 日销售量为 10 件 求该商店的日利润 L x 元与每件产品的日售价x元的函数关系式 当每件产品的日售价为多少元时 该商品的日利润 L x 最大 并求出 L x 的最 大值 来源 高 考 资 源 网 wxc 例 3 甲 乙两大超市同时开业 第一年的全年销售额为 a 万元 由于经营方式不同 甲超 市前 n 年的总销售额为万元 乙超市第年的销售额比前一年销售额多 2 2 2 nn a n 万元 a a 1 3 2 求甲 乙两超市第年销售额的表达式 n 若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 50 则该超市将被另一 超市收购 判断哪一超市有可能被收购 如果有这种情况 将会出现在第几年 4 四四 巩固训练巩固训练 1 工艺品厂某车间统计资料显示 产品报废率与日产量 件 的关系px 18 xNx 如下表 又知每生产一件正品赢利元 每报废一件亏损元 a 2 a 0 a x 12345678 p 2 9 1 4 2 7 1 3 2 5 1 2 2 3 1 1 从表中求出报废率关于日产量 件 的函数关系式 px 2 将该车间日赢利额 元 表示为日产量 件 的函数 Tx 3 为获得最大利润 该车间的日产量应定为多少件 参考数据 305 48 2 某集团为了获得更大的收益 每年要投入一定的资金用于广告促销 经调查投入广告费 t 百万元 可增加销售额约为 t2 5t 百万元 0 t 5 1 若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内 则应投入多少广告费 才能使该公司 由此获得的收益最大 2 现该公司准备共投入 3 百万元