初三-几何证明之中位线题型

1 学员编号 学员编号 年年 级 初三级 初三 课课 时时 数 数 3 学员姓名 学员姓名 辅导科目 数学辅导科目 数学 学科教师 学科教师 授课类型授课类型T T 同步讲解同步讲解C C 专题专题T T 能力提升能力提升 星星 级级 教学目标教学目标 1 巩固复习三角形 梯形之中位线相关知识 2 学会添恰当的辅助线解决中位线题型 3 掌握中位线题型的综合应用 授课时间授课时间 教学内容教学内容 几何证明之中位线题型几何证明之中位线题型 1 巩固复习三角形 梯形之中位线相关知识 2 学会添恰当的辅助线解决中位线题型 3 掌握中位线题型的综合应用 知知识识结结构构知知识识结结构构 1 三角形中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半 梯形中位线平行于两底 并且等于两底和的一半 2 中位线性质定理的结论 兼有位置和大小关系 可以用它判定平行 计算线段的长度 确定线段的和 差 倍 关系 3 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点 找到三角形或梯形 包括作出辅助线 4 中位线性质定理 常与它的逆定理结合起来用 它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论 一组平行线在一直线上截得相等线段 在其他直线上截得的线段也相等 经过三角形一边中点而平行于另一边的直线 必平分第三边 经过梯形一腰中点而平行于两底的直线 必平分另一腰 5 有关线段中点的其他定理还有 2 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 等腰三角形底边中线和底上的高 顶角平分线互相重合 对角线互相平分的四边形是平行四边形 线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑 例题例题 1 1 例例 1 已知 中 分别以 为斜边作等腰直角三角形和 是的中点 求证 ABC ABACABMCANPBC PMPN M A C B N P A B C M N P E F 证明 作 垂足 MEAB NFAC EF 是等腰直角三角形 ABM CAN AEEBME AFFCNF 根据三角形中位线性质 1 2 PEACNF 1 2 PFABME PEAC PFAB PEBBACPFC 即 PEMPFN PEMPFN PMPN 3 例题例题 2 2 例例 2 已知中 是角平分线 于 且是的中点 求的长 ABC 10AB 7AC ADCMAD MNBCMN 分析 是的中点 若是另一边中点 NBCM 则可运用中位线的性质求的长 MN 根据轴称性质作出的全等三角形即可 AMC 辅助线是 延长交于 证明略 CMABE 例题例题 3 3 例例 3 求证梯形对角线的中点连线平行于两底 且等于两底差的一半 已知 梯形中 分别是 的中点ABCDABCD MNACBD 求证 MNABCD 1 2 MNABCD 分析一 因为是中点 构造一个三角形 使为另一边中点 以便运用中位线的性质 所以连结MACN 并延长交于 如图 1 证可得是的中点 证明略 CNABEBNEDNC NCE 分析二 图 2 与图 1 思路一样 分析三 直接选择 取中点连结和 证明 三点在同一直线上 方法也是运ABC BCPMPNPMNP 用中位线的性质 1 已知 是四边形各边的中点 EFGHABCD 则 四边形是 形 EFGH 当时 四边形是 形 ACBD EFGH 710 1 2 A B C D M N 3 21 N A B CD E A B C D E A B CD M N M M N E 4 当时 四边形是 形 ACBD EFGH 当和满足 时 四边形是正方形形 ACBDEFGH 答案 平行四边形 菱形 矩形 相等且互相垂直 2 求证 梯形两底中点连线小于两边和的一半 提示 取一条对角线的中点 利用三角形两边差小于第三边 3 已知是锐角三角形的高 点 分别是边 的中点 证明顺次连结 ADABCEFGBCCAABE 所成的四边形是等腰梯形 FGH 提示 1 2 DGEFAB 4 已知 经过顶点任作一直线 过 两点作直线 的垂线段和 设是的中点 求证 ABC AlBCl BB CCMBC MBMC 提示 过点作 的垂线 必平分 Ml BC 5 5 如图已知中 求证 ABC ADBE DMENBC BCDMEN 提示 的中位线也是梯形中位线 ABC BCD D A B C DM EN 6 如图 已知 从平行四边形的各顶点向形外任一直线作垂线段 求证 ABCDaAEBFCGDH AECGBFDH 提示 同上 有公共中位线 A o B C D a G H E D1 F 7 如图 已知是的中点 是的中点 求证 DABFDE2BCCE 提示 取中点 连结 BCGDG 6 F A B E D C 8 平行四边形中 分别是 的中点 求证 平分ABCDMNBCCDACMN 提示 连结交于 易证四边形是平行四边形 BDACOMCNO 8 O D A B C M N 9 已知中 是边上的任一点 分别是 的中点 求证 直线ABC DBCMNPQBCADACMN 平分 PQBD 提示 证四边形是平行四边形 MPNS S 9 A BCD M N P R 10 等腰梯形中 点是和的交点 分别是ABCDABCD ADBC OACBD60AOB PQR 7 的中点 求证 是等边三角形 AOBCDOPQR 提示 是等边三角形 COD CRDO 1 2 RQBC R 60 O AB C D P Q 例题例题 4 4 例例 4 如图 已知 中 是角平分线 分别是和的中点 求证 ABC ADBECF MNBCEF MNAD A B C D E F N M 证明一 连结 取的中点 连结 ECECPPMPN MPAB 1 2 MPAB NPAC 1 2 NPAC BECF MPNP 180 3 4 2 MPN 两边分平行的两个角相等或互补 180MPNBAC 180 12 2 MPN 23 NPAC MNAD 4 3 21 A B C D E F M N P 8 证明二 连结并延长到 使 MG ME 连结 EMGCGFG 则 MNFG MCGMBE CGBECF BBCG ABCG 180BACFCG 1 180 2 CADFCG 1 180 2 CFGFCGCAD MNAD 例题例题 5 5 例例 5 已知 中 是高 是角平分线 于 ABC ABAC ADCEEFBC F 交的延长线于 求证 GECE CBG 1 4 FDCG A B C G E FD O 2 1 A B C G D E F H M 证明 要点是 延长交于 可证是的中点 GEACHEGH 过点作交于 设交于点 如图示 EEMGC HCMEMADO 则是的中点 MHCEMGC 1 2 EMGC 由矩形可得EFDO 11 24 FDEOEMGC M j A B C G D E F N 9 11 已知 中 是高 是中线 且 三等分 ABC ADAEADAEBAC 求证 是直角三角形 ABC 提示 作 EFAC 1 2 EFEDEC 30C ED A B C 12 已知 在锐角三角形中 高和中线相交于 ABCADBEO60BOD 求证 ADBE 提示 作于 都等于EFBC FADBE2EF O E D A B C 13 如图 已知 四边形中 点 分别是 的中点 求证 ABCDADB