2010-2011学年高中数学 第2章 基本初等函数Ⅰ §21　指数函数同步精品学案 新人教A版必修1

用心 爱心 专心 1 2 1 2 1 指数函数指数函数 2 2 1 11 1 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 1 根式的两条基本性质 1 性质 1 n a n 1 n N N 当n为奇数时 a R R n a 当n为偶数时 a 0 当n为奇数时 表示a的n次方根 由n次方根的定义 得 n a n a n a 当n为偶数时 表示正数a的正的n次方根或 0 的n次方根 由n次方根的定义 n a 得 n a n a 若a1 n N N n an 当n为奇数时 an an a是an的n次方根 即a n an 当n为偶数时 a n an 0 a 是an的n次方根 即 a Error n an 如 2 4 2 4 2 整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用 即对任意实数r s 均有 1 aras ar s a 0 r s R R 指数相加律 2 ar s ars a 0 r s R R 指数相乘律 3 ab r arbr a 0 b 0 r R R 指数分配律 要注意上述运算性质中 底数大于 0 的要求 题型一 有理指数幂的混合运算 计算下列各式 1 0 2 2 0 01 0 5 2 3 5 2 1 4 1 2 2 0 002 10 2 1 0 3 3 8 2 3 1 2523 分析 负化正 大化小 根式化为分数指数幂 小数化分数 是简化运算的常用技 巧 解 1 原式 1 1 4 4 9 1 2 1 100 1 2 1 1 6 1 10 16 15 2 原式 1 1 2 3 3 3 8 2 3 1 500 1 2 10 5 2 500 10 2 1 27 8 2 3 1 25 10 10 20 1 4 955 167 9 用心 爱心 专心 2 点评 一般地 进行指数幂运算时 化负指数为正指数 化根式为分数指数幂 化小 数为分数进行运算 便于进行乘除 乘方 开方运算 以达到化繁为简的目的 题型二 有理数指数幂的化简 求值问题 化简 1 a b a1 2 b 1 2 a b 2a1 2 b 1 2 a1 2 b 1 2 2 a 0 a2 a 3a2 解 1 原式 a f 1 2 b f 1 2 a f 1 2 b f 1 2 a1 2 b 1 2 a f 1 2 b f 1 2 2 a1 2 b 1 2 a b a b 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2 原式 a2 a a2 a1 2 a 2 3 1 2 2 3 5 6 6 a5 点评 一般地 进行指数幂运算时 化负指数为正指数 化根式为分数指数幂 化小 数为分数进行运算 便于进行乘 除 乘方 开方运算 可以达到化繁为简的目的 利用 乘法公式解决分数指数幂的化简求值问题 是简化运算的常用方法 熟练掌握a a 2 1 2 a 0 a a 3以及ab a b a a a a 等变形 1 3 b 2 b 2 b 2 b 2 题型三 灵活应用 整体代入法 已知x y 12 xy 9 且x y 求的值 x1 2 y 1 2 x1 2 y 1 2 分析 一般不宜采用直接求值的方法 要考虑把x y及xy整体代入求值 解 x1 2 y 1 2 x1 2 y 1 2 x f 1 2 y f 1 2 2 x f 1 2 y f 1 2 x f 1 2 y f 1 2 x y 2 xy 1 2 x y x y 12 xy 9 x y 2 x y 2 4xy 122 4 9 108 x y x y 6 3 将式 代入式 得 用心 爱心 专心 3 x1 2 y 1 2 x1 2 y 1 2 12 2 91 2 6 3 3 3 点评 整体代入 方法在条件求值中非常重要 也是高中数学的一种重要的解题思 想 解题方法 它反映了我们 把握全局 的能力 解题过程中不宜求出x y后再代入 而应考虑把x y及xy整体代入求值 化简 1 a a 1 2 a 1 2 1 2 错解 1 a a 1 2 a 1 2 1 2 1 a a 1 1 a a 1 4 1 4 错因分析 错解的原因在于忽略了题中有 a 即相当于告知 a 0 故a 0 这 1 2 样 a 1 2 a 1 1 1 2 正解 由 a 知 a 0 故a 11 b 0 且ab a b 2 则ab a b的值为 2 A B 2 或 2 6 C 2 D 2 解析 ab a b 2 8 a2b a 2b 6 ab a b 2 a2b a 2b 2 4 又ab a b a 1 b 0 ab a b 2 答案 D 2 全国高考 如果a3 3 a10 384 a3 n 3 a10 a3 1 7 解析 原式 3 n 3 3 128 n 3 3 2n 3 384 3 1 7 1 7 答案 3 2n 3 1 当a 0 时 下列式子中正确的是 用心 爱心 专心 4 A a a 0 B a a a 2 3 2 3 3 2 2 3 C a a a2 D a 2 2 3 1 3 1 2 1 a 答案 D 2 若 2x 6 x2 5x 6 1 则下列结果正确的是 A x 2 B x 3 C x 2 或x D 非上述答案 7 2 答案 C 解析 由x2 5x 6 0 得 x 2 x 3 0 x 2 或x 3 但x 3 时 00无意义 由 2x 6 1 得x 故x 2 或x 7 2 7 2 3 若a a 1 3 则a2 a 2的值为 A 9 B 6 C 7 D 11 答案 C 解析 a2 a 2 a a 1 2 2 32 2 7 4 根据n次方根的意义 下列各式 n a 不一定等于a n是奇数时 n a n an a n为偶数时 a 其中正确的有 n an n an A B C D 答案 A 解析 按分数指数幂规定 全正确 5 化简 a 0 b 0 的结果是 a3b23ab2 a f 1 4 b f 1 2 43 b a A B ab b a C a2b D a b 答案 D 解析 原式 a3 b2 a f 1 3 b f 2 3 1 2 a b2 a 1 3 b 1 3 a 1 b1 2 3 2 1 6 1 3 1 3 1 3 a b 6 计算 2 0 27 1 4 1 6 2 1 3 答案 14 解析 原式 2 2 2 1 33 24 1 3 14 1 3 7 1 计算 0 027 2 2560 75 0 3 1 1 3 1 6 1 3 1 2 若 2x 2 x 3 求 8x 8 x的值 解 1 原式 0 33 28 1 1 3 1 1 6 2 3 4 1 3 用心 爱心 专心 5 0 3 1 36 64 1 1 3 36 64 1 32 10 3 1 3 2 8x 8 x 2x 3 2 x 3 2x 2 x 2x 2 2x 2 x 2 x 2 3 2x 2 x 2 3 2x 2 x 3 32 3 18 学习目标 1 了解指数函数模型的实际背景 体会引入有理数指数幂的必要性 2 理解有理数指数幂的含义 知道实数指数幂的意义 掌握幂的运算 自学导引 1 如果一个数的n次方等于a n 1 且n N N 那么这个数叫做a的n次方根 2 式子叫做根式 这里n叫做根指数 a叫做被开方数 n a 3 1 n N N 时 n a n a 2 n为正奇数时 a n为正偶数时 a n an n an 4 分数指数幂的定义 1 规定正数的正分数指数幂的意义是 a a 0 n m N N 且n 1 m n n am 2 规定正数的负分数指数幂的意义是 a a 0 n m N N 且n 1 m n 1 am n 3 0 的正分数指数幂为 0 0 的负分数指数幂没有意义 5 有理数指数幂的运算性质 1 aras ar s a 0 r s Q Q 2 ar s ars a 0 r s Q Q 3 ab r arbr a 0 b 0 r Q Q 一 根式的化简与求值 例 1 求下列各式的值 1 2 5 3 5 4 9 2 3 a b 2 解 1 3 5 3 5 2 3 4 9 2 4 81 4 34 3 Error a b 2 点评 解决根式的化简问题 首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式 然后运用根 式的性质进行解答 变式迁移 1 计算下列各式的值 用心 爱心 专心 6 1 3 8 3 2 10 2 3 3 3 3 解 1 8 3 8 3 2 10 10 10 2 3 3 3 3 3 二 根式与分数指数幂的互化 例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式 式中a 0 1 a2 2 a3 3 a 3 a2a a 分析 先将根式写成分数指数幂的形式 再利用幂的运算性质化简即可 解 1 a2 a2 a a2 a a 1 2 1 2 5 2 2 a3 a3 a a3 a 3 a2 2 3 2 3 11 3 3 a a a a a a 1 2 1 2 3 2 1 2 3 4 点评 此类问题应熟练应用a a 0 m n N N 且n 1 当所求根式含有多重 m n n am 根号时 要搞清被开方数 由里向外用分数指数幂写出 然后再用性质进行化简 变式迁移 2 将下列根式化成分数指数幂的形式 1 1 3 x r 5 x2 2 2 b 0 4 b 2 3 2 3 解 1 原式 1 3 x x f 2 5 2 1 3 x x4 5 1 3 x9 5 x 1 x f 9 5 1 3 1 x3 5 3 5 2 原式 b b b 2 3 1 4 2 3 2 3 1 4 2 3 1 9 三 利用幂的运算性质化简 求值 例 3 计算下列各式 1 0 064 0 2 3 16 0 75 0 01 1 3 7 8 4 3 1 2 2 a 0 3 a9 2 a 3 3 a 7 3a13 解 1 原式 0 4 3 1 2 4 2 3 0 1 2 1 3 1 2 0 4 1 1 0 1 1 16 1 8 143 80 用心 爱心 专心 7 2 原式 a a a a 9 2 3 2 1 3 7 3 13 3 1 2 a 3 2 a0 1 1 3 1 2 点评 1 在进行幂和根式的化简时 一般是先将根式化成幂的形式 并化小数指数幂 为分数指数幂 并尽可能地统一成分数指数幂的形式 再利用幂的运算性质进行化简 求 值 计算 以便于运算 达到化繁为简的目的 2 对于根式计算结果 不强求统一的表示形式 一般地用分数指数幂的形式来表 示 如果有特殊要求 则按要求给出结果 但结果中不能同时含有根号和分数指数 也不 能既含有分母又含有负指数 即结果必须化为最简形式 变式迁移 3 化简 1 5 0 80 25 6 1 3 7 6 4 2 3 23 2 3 2 3 解 原式 1 2 2 22 33 1 3 2 1 3 3 4 1 4 2 3 2 3 1 2 2 108 110 2 3 1 3 2 3 1 3 1 理解好方根的概念 是进行根式的计算和化简的关键 2 将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键 3 正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用 只是底数的范围缩小为 a 0 想一想 为什么 一 选择题 1 下列运算中 正确的是 A a2 a3 a6 B a2 5 a5 2 C 1 0 0 D a2 5 a10 a 答案 D 2 化简 得 x 3 2 3 x 3 3 A 6 B 2x C 6 或 2x D 2x或 6 或 2x 答案 C 解析 原式 x 3 x 3 Error Error 3 2 2等于 3 4 a6 4 3 a6 A a B a2 C a3 D a4 答案 B 4 把根式 2改写成分数指数幂的形式为 5 a b 2 A 2 a b B 2 a b 2 5 5 2 C 2 a b D 2 a b 2 5 2 5 5 2 5 2 答案 A 用心 爱心 专心 8 5 化简 a b 2的结果是 4 3 1 2 1 3a 1 6b 1 4 A 6a B a C 9a D 9a 答案 D 二 填空题 6 计算 64 的值是 2 3 答案 1 16 解析 64 26 2 4 2 3 2 3 1 16 7 化简的结果是 x3 x 答案 x 解析 由题意知x0 且a 1 叫做指数函数 用心 爱心 专心 9 理解指数函数的定义 需注意的几个问题 1 因为a 0 x是任意一个实数时 ax是一个确定的实数 所以函数的定义域为实数 集 R R 2 规定底数a大于零且不等于 1 的理由 如果a 0 Error 如果a0 且a 1 3 指数函数解析式的特征 ax的系数是 1 a为常量 x为自变量 有些函数貌似指 数函数 实际上却不是 例如y ax 1 a 0 a 1 有些函数看起来不像指数函数 实际 上却是 例如y a x a 0 a 1 因为这可等价化归为y x 1 a 其中 1 a 0且1 a 1 2 y ax a 0 a 1 的图象 0 a1 图象 定义域 值域 0 过定点a 0 且a 1 无论a取何值恒过点 0 1 各区间取值当x 0 时 0 y 1 当x1 当x 0 时 y 1 当x 0 时 0 yag x a 0 a 1 不等式中变量x的取值范 围 即比较指数大小 其基本思路是由指数函数的单调性得出不等式f x g x 或f x g x 然后解不等式得到x的取值范围 题型一 函数的定义域 值域 1 函数y 的定义域是 1 3x 2 求函数y 的定义域和值域 1 3 x 2 1 解析 由 1 3x 0 得 3x 1 30 因为函数y 3x在实数集上是增函数 所以x 0 故函数y 的定义域为 0 1 3x 答案 0 2 解 由x 2 0 得x 2 所以此函数的定义域为 2 用心 爱心 专心 10 当x 2 时 0 又 0 0 1 3 x 2 1 3 故此函数的值域为 0 1 点评 本题中的函数都不是指数函数 但都与指数函数有关 根据指数函数的定义域 为 R R 值域为 0 结合前一章求函数定义域和值域的方法 可以求解一些简单函数 的定义域和值域 在求解中要注意正确运用指数函数的单调性 在求值域问题时 既要考 虑指数函数的单调性 还应注意指数函数的值域为 0 题型二 指数函数的图象 如图是指数函数 y ax y bx y cx y dx 的图象 则 a b c d 与 1 的大 小关系为 A a b 1 c d B b a 1 d c C 1 a b c d D a b 1 d c 解析 由图象可知 的底数必大于 1 的底数必小于 1 过点 1 0 作直线 x 1 在第一象限内分别与各曲线相交 可知 1 d c b a 1 从而知a b c d与 1 的大 小关系为b a 1 d0 且a 1 5 3 1 2 1 3 1 2 解 1 y x在 上是减函数 7 4 又 0 1 0 2 故 0 1 即 4 3 1 6 4 3 1 5 3 4 1 6 4 3 1 5 用心 爱心 专心 11 3 由 0 8 2 1 而 5 3 1 2 5 3 1 2 4 当a 1 时 a a 当 0 aa 1 3 1 2 1 3 1 2 点评 当两个幂函数底数相同时 要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应 的指数函数 借助函数的单调性来比较大小 此题中第 3 小题的两个数不能看成某个指数 函数的两个函数值 此时可以借助一些特殊数如 0 或 1 来搭桥间接比较两个数的大小 而 第 2 小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂 可构造指数函数来比较大小 因此 在利用指数函数的性质比较大小时 要注意以下几点 1 同底数幂比较大小 可直接根据指数函数的单调性比较 2 同指数幂比较大小 可利用作商和指数函数的性质判定商大于 1 还是小于 1 从而 得出结论 3 既不同底也不同指数幂比较大小 可找中间媒介 通常是 1 或 0 或用作差法 作 商法来比较大小 题型四 综合应用 已知函数f x x3 1 2x 1 1 2 1 求f x 的定义域 2 讨论f x 的奇偶性 3 求证 f x 0 1 解 由 2x 1 0 得x 0 所以函数的定义域为 0 0 2 解 f x x 3 1 2 x 1 1 2 x3 x3 f x 2x 1 2x 1 2 1 2x 1 1 2 又因为函数f x 的定义域关于坐标原点对称 所以f x 为偶函数 3 证明 当x 0 时 2x 1 即 2x 1 0 又 0 x3 0 1 2 所以f x x3 0 1 2x 1 1 2 由于f x 为偶函数 其图象关于y轴对称 知当x 0 时 f x 0 也成立 故对于x 0 0 都有f x 0 点评 指数函数是一种具体的初等函数 常与第一章学习的函数单调性 奇偶性等知 识点融合在一起 此时按照原有的单调性 奇偶性的解决办法分析 解决问题即可 本例 在第 3 问中 巧妙地应用了偶函数的性质而使问题巧妙地求解 求函数y 9x 2 3x 2 的值域 错解 设 3x t 则 9x t2 y t2 2t 2 t 1 2 3 ymin 3 从而y 9x 2 3x 2 的值域为 3 错因分析 若y 3 则 9x 2 3x 1 显然不成立 错因在于没有注意t 3x 0 这一隐含条件 在利用换元法时 一定要注意换元后新变量的取值范围 用心 爱心 专心 12 正解 设 3x t t 0 则y t2 2t 2 t 1 2 3 当t 0 时 y 2 y 9x 2 3x 2 的值域为 2 1 指数函数的图象和性质是高考的重要考点之一 常在与其他知识的交汇处考查 2 本节内容在高考中几乎每年都涉及 多以选择题或填空题的形式出现 1 山东高考 已知集合M 1 1 N 则M N等于 x 1 2 2x 1 4 x Z Z A 1 1 B 1 C 0 D 1 0 解析 N x 1 x 1 2 x Z Z x 2 x 1 且 x 1 2 2x 1 4 x Z Z x Z Z 1 0 M N 1 答案 B 2 江苏高考 设函数f x 定义在实数集上 它的图象关于直线x 1 对称 且当x 1 时 f x 3x 1 则有 A f f f 1 3 3 2 2 3 B f f f 2 3 3 2 1 3 C f f f 2 3 1 3 3 2 D f f f 3 2 2 3 1 3 解析 当x 1 时 函数递增 且以x 1 为对称轴 所以自变量与 1 的差值的绝对值越大 函数值越大 答案 B 1 函数f x 2 x 的值域是 A 0 1 B 0 1 C 0 D R R 答案 A 解析 x 0 02 B a 2 C 0 a 1 D 1 a 2 答案 D 解析 由题意知 0 a 1 1 解得 1 ay1 y2 B y2 y1 y3 C y1 y2 y3 D y1 y3 y2 答案 D 解析 y1 40 9 21 8 y2 80 48 21 44 y3 1 5 21 5 1 2 因为函数y 2x在实数集上是增函数 且 1 8 1 5 1 44 所以y1 y3 y2 6 已知 1 n m 0 则指数函数 y mx y nx的图象为 答案 C 解析 由 0 m n 1 可知 应为两条递减曲线 故只可能是选项 C 或 D 进而再判断 与n和m的对应关系 判断方法很多 不妨选择特殊点 令x 1 则 对应的函数 值分别为m和n 由m n知选 C 7 函数y 的定义域是 0 则a的取值范围是 ax 1 答案 0 1 解析 由ax 1 0 得ax 1 根据指数函数的性质知a 0 1 8 解不等式ax 50 且a 1 解 当a 1 时 原不等式可变为x 52 当 0 a4x 1 解得x1 时 原不等式的解集为 2 当 0 a0 函数f x 是定义域为实数集 R R 的偶函数 3x a a 3x 1 求实数a的值 2 证明 f x 在 0 上是增函数 1 解 f x 是 R R 上的偶函数 f x f x 即 3x a a 3x 3 x a a 3 x 用心 爱心 专心 14 即 3x 0 1 a a 1 3x a 1 a 0 又根据题意 3x 1 3x 1 a a 可得 a 0 又a 0 所以a 1 1 a 2 证明 由 1 知f x 3x 1 3x 设任意的x1 x2 0 且x1 x2 则f x1 f x2 3x1 3x2 1 3x1 1 3x2 3x1 3x2 1 1 3x1 x2 因为 0 x1 x2 所以 3x10 所以 3x1 x2 1 则 1 0 1 3x1 x2 3x1 x2 1 3x1 x2 所以f x1 f x2 0 即f x1 0 且a 1 叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域 是 R R 2 指数函数的图象和性质 a 10 a0 时 y 1 当x 0 时 0 y 1 当x 0 时 0 y 1 当x1 性质 单调性是 R R 上的增函数是 R R 上的减函数 用心 爱心 专心 15 一 指数函数定义的应用 例 1 函数y a2 3a 3 ax是指数函数 求a的值 分析 由题目可获取以下主要信息 函数解析式中ax的系数为a2 3a 3 此函 数为指数函数 解答本题只需紧扣指数函数的定义 解 由y a2 3a 3 ax是指数函数 可得Error 解得Error a 2 点评 判断一个函数是否为指数函数 1 切入点 利用指数函数的定义来判断 2 关键点 一个函数是指数函数要求系数为 1 底数是大于 0 且不等于 1 的常数 指 数必须是自变量x 变式迁移 1 指出下列函数哪些是指数函数 1 y 4x 2 y x4 3 y 4x 4 y 4 x 5 y x 6 y 4x2 7 y xx 8 y 2a 1 x a 且a 1 9 y 4 x 10 y 42x 1 2 解 1 5 8 9 10 为指数函数 其中 9 y 4 x x 10 y 42x 42 1 4 x 16x符合指数函数的定义 而 2 中底数x不是常数 而 4 不是变数 3 是 1 与指数函 数 4x的乘积 4 中底数 40 且y 1 1 x 4 2 定义域为 R R x 0 y x 的值域为 y y 1 2 3 点评 求定义域要根据函数自身的要求 找出关于x的不等式 解不等式或不等式组 可得定义域 求值域要根据定义域 根据函数的单调性 解答本题可利用换元思想化成指 数函数 变式迁移 2 求下列函数的定义域和值域 用心 爱心 专心 16 1 y 3 x 2 2 y 1 1 2 x 解 1 定义域为 2 0 y 3 1 值域为 1 x 2x 2 2 1 x 0 x 1 即x 0 1 2 1 2 函数y 的定义域为 0 1 1 2 x 令t x 0 t 1 1 2 0 1 t 1 0 1 所以指数函数y 1 7x在 上是增函数 2 5 3 1 72 5 1 73 2 1 250 2 0 8 0 2 0 0 8 1 指数函数y 0 8x在 上为减函数 0 8 0 11 70 1 0 93 10 93 1 4 利用指数函数的单调性知 4 54 1 4 53 6 又 4 53 6 0 3 73 6 0 3 6 4 53 6 3 73 6 4 5 3 7 1 3 6 1 3 6 1 4 5 3 7 4 5 3 7 从而 4 53 6 3 73 6 4 54 1 3 73 6 点评 两数比较大小问题 一般方法是将其转化为同一函数的两个函数值的大小比较 问题 对于 1 70 3与 0 93 1 不能直接看成某一个指数函数的两个值 所以 3 题无法用 1 2 两题的方法来进行比较 可在这两个数值之间找到中间量 1 使这两个数值分别与数值 1 进行比较 进而比较出 1 70 3与 0 93 1的大小 4 题直接比较有困难 可找中间变量 4 53 6 变式迁移 3 比较 2 3 的大小 4 3 1 3 2 3 2 3 3 4 1 2 解 将 2 3 分成如下三类 4 3 1 3 2 3 2 3 3 4 1 2 用心 爱心 专心 17 1 负数 3 2 3 2 大于 0 小于 1 的数 3 4 1 2 3 大于 1 的数 2 4 3 1 3 2 3 4 而 4 2 4 3 1 3 1 3 1 3 2 3 3 0 a 1 在区间 1 2 上的最大值比最小值大 求a的值 a 2 分析 解答本题可结合函数单调性 对a进行分类讨论求值 解 1 若a 1 则f x 在 1 2 上递增 最大值为a2 最小值为a a2 a 即a 或a 0 舍去 a 2 3 2 2 若 0 a0 a 1 在区间 1 2 上的最大值与最小值之和为 6