初一数学上册完全辅导——第一章有理数精讲

1 初一数学上册重点知识学习参考初一数学上册重点知识学习参考 第一章第一章 有理数有理数 一 知识结构一 知识结构 正数和负数 有理数 数轴 绝对值 有理数 的大小 比较 减法 乘法 除法 乘方 加减混合运算 乘法法则 运算律 除法法则 乘除混合运算 乘方运算 混合运 算 科学记数法 相反数 加法 加法运算律 加法法则 减法法则 近似数与有效数字 有理数有理数 按定义分 按符号分 正整数 正整数 正有理数 0 整数 有 正分数 含正有限小数 负整数 理 0 和循环小数 有限小数 正分数 数 负整数 分数 负有理数 无限循环 小数 负分数 负分数 含负有限小数 和循环小数 注意 常见的 不是有理数的数有 和有规律的但不循环的小数 如 0 二 掌握要点二 掌握要点 1 了解有理数的概念 什么是有理数 有理数包含的范围有哪些 有理数之间的大小比较 2 1 大于 0 的数叫做正数 如 3 1 8 5 等 2 在正数前面加上负号 的数叫负数 即小于 0 的数 如 3 2 5 5 等 3 数 0 既不是正数 也不是负数 0 除了表示一个也没有以外 是正数和负数的分界 是基准 4 在同一个问题中 分别用正数与负数表示的量具有相反的意义 强调 用正数 负数表示实际 问题中具有相反意义的量 而相反意义的量包含两个要素 一是他们的意义相反 如向东与向西 收入与支出 二是他们都是数量 而且是同类的量 5 正整数 0 负整数统称整数 整数可以看作分母为 1 的分数 6 正整数 0 负整数 正分数 负分数都可以写成分数的形式 这样的数称为有理数 7 把一些数放在一起 就组成了一个数的集合 简称 数集 所有有理数组成的数集叫 有理 数集 所有整数组成的数集叫 整数集 所有负数组成的数集叫 负数集 数集一般用圆圈 或大括号表示 因为集合中的数是无限的 8 有理数可以按不同的标准进行分类 标准不同 分类结果也不同 问 有理数可分为正数和负 数两大类 对吗 为什么 有理数可分为整数和分数两大类 对吗 为什么 2 有理数与数轴上的点一一对应 数轴的三要素 怎样看数轴 掌握应用数轴来进行去绝对值符号 的简单运算 1 通常用一条直线上的点表示数 这条直线叫数轴 数轴三要素 原点 正方向 单位长度 原点 在直线上任取一点表示数 0 这个点叫原点 正方向 通常规定直线上从原点向右 或上 为正方向 从原点向左 或下 为负方向 单位长度 选取适当的长度为单位长度 2 一般地 设 a 是一个正数 则数轴上表示数 a 的点在原点右边 与原点的距离是 a 个单位长度 表示数 a 的点在原点的左边 与原点的距离是 a 个单位长度 从左到右的顺序是从小到大的顺序 3 原点右边是正数 左边是负数 在原点两侧都有意义相反的数 数轴上右边的数大于左边的数 左边的点到原点距离越大 表示的数越小 3 相反数 一般地 数 a 的相反数可以表示为 a 这两个特殊数在数量上具有相同的绝对值 他们 的和为 0 在数轴上表示时 离开原点的距离相等 注意 0 的相反数仍是 0 思考 任何数都不等于它的相反数 对吗 为什么 4 绝对值 一般地 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值 absolute value 记作 a 1 一个正数的绝对值是它本身 一个负数的绝对值是它的相反数 0 的绝对值上 0 即 当 a 是 正数时 a a 当 a 是负数时 a a 当 a 0 时 a 0 2 正数大于 0 0 大于负数 正数大于负数 3 两个负数 绝对值大的反而小 5 有理数加法法则 1 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 思考 两个数都是负数 它们的和一定是负数吗 为什么 2 绝对值不相等的异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号 并用较大的绝对值减去较小的绝 对值 互为相反数的两个数相加得 0 思考 两个数的和是负数 这两个数一定都是负数吗 为什么 两个有理数相加 和一定大于每一个加数对吗 为什么 两个数的和是 0 这两个数都是 0 对吗 为什么 若 a 0 b 0 且 a b 则 a b a b 对吗 3 一个数同 0 相加 仍得这个数 4 加法交换律 有理数的加法中 两个数相加 交换加数的位置 和不变 a b b a 5 加法结合律 有理数的加法中 三个数相加 先把前两个数相加 或者先把后两个数相加 和 3 不变 a b c a b c 6 有理数减法法则 1 有理数的减法可以转化为加法来进行 2 减去一个数 等于加这个数的相反数 即 a b a b 3 引入相反数后 加减混合运算可以统一为加法运算 7 有理数乘法法则 1 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 2 任何数同 0 相乘 都得 0 3 有理数中仍然有 乘积是 1 的两个数互为倒数 思考 如果 a 大于 b 那么 a 的倒数小于 b 的倒数 对吗 为什么 4 几个不是 0 的数相乘 负因数的个数为偶数时 积为正数 负因数的个数为奇数时 积是负数 几个不等于 0 的有理数相乘 要先确定积的符号 再确定积的绝对值 5 乘法交换律 有理数乘法中 两个数相乘 交换因数的位置 积相等 ab ba a b 也可以 写成 a b 或 ab 当用字母表示乘数时 号可以写成 或省略 6 乘法结合律 三个数相乘 先把前两个数相乘 或者先把后两个数相乘 积相等 ab c a bc 7 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘 等于把这个数分别同这两个数相乘 再把积相加 a b c ab ac 8 有理数除法法则 1 除以一个不等于 0 的数 等于乘以这个数的倒数 a b a 2 两数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 0 除以任何一个不等于 0 的数 都得 0 9 有理数乘方 1 求 n 个相同因数的积的运算 叫乘方 乘方的结果叫做幂 power 在 an中 a 叫做底数 n 叫做指数 当 an看作 a 的 n 次方的结果时 也可读作 a 的 n 次幂 2 根据有理数乘法法则可以得出 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂 都是正数 0 的任何正整数次幂都是 0 思考 互为相反数的两个数的同一偶数次方相等 对吗 为什么 3 有理数混合运算 先乘方 再乘除 最后加减 同级运算 从左到右进行 如有括号 先做括 号内的运算 按小括号 中括号 大括号依次进行 10 科学记数法 近似数和有效数字 1 一般地 10 的 n 次幂等于 10 0 在 1 的后面有 n 个 0 2 把一个大于 10 的数表示成 a 10n的形式 其中 a 是整数数位只有一位的数 n 是正整数 使 用的是科学记数法 3 只是接近实际数 但与实际数还有差别的数 是近似数 在许多情况下 很难取得准确数 或 者不必使用准确数 就可以用近似数表示 近似数与准确数的接近程度 可以用精确度来表示 如 3 精确到个位 3 1 精确到十分位 或叫精确到 0 1 3 14 精确到百分位 或叫精确到 0 01 思考 1 8 和 1 80 的精确度相同吗 表示近似数时 能简单地把 1 80 后面的 0 去掉吗 为什么 a 是小于 1 的正数 看看 a a a 有哪些规律 b 是大于 1 的负数 看看 b b b 有哪些规律 三三 练习题练习题 1 正数和负数是表示两种具有 的量 2 有理数按定义分类有哪两类 和 按照符号分类有 3 数轴三要素是 数轴是 线 4 数轴上的两点之间的距离就是表示这两个点的数的差的绝对值 表示数a的点A与表示数b的点B之间 的距离AB a b 或AB b a 与表示数m的点的距离为a a 0 的点有两个 它们表示的数是 m m a a 1 b 4 5 数轴上居 两侧且到 的距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数 几何定义 0 的相 反数是 a 的相反数是 求一个数的相反数就是在这个数前添 号后再化简 6 数轴上表示一个数的点到原点的 叫这个数的绝对值 绝对值具有非负性 即 a 0 互为相反数的两个数的绝对值 若表示两个非负数的式子和为 0 或这两个式子互为相 反数 则这两个式子都等于 即非负条件式 如 若 x 3 2 x y 7 0 求 yx的值 7 互为倒数的两个数的乘积等于 互为倒数的两个数符号 互为负倒数的两个数的 乘积等于 互为相反数的两个数的商等于 8 有理数的绝对值的取法 a 0 a 0 a 0 a a 0 或 a 或 a a 0 a 0 a 0 9 有理数的大小比较 异号两数 大 两个负数 大的反而小 0 大于 而小于 数轴上原点 边的数大于 边的数 10 有理数的加法法则有 同号两数相加 取 的符号 并把 相加 绝对值不同的异号 两数相加 取 的符号 并用 减去 互为 的两个数相加得 0 一个数与 0 相加 注意 做有理数的加法要经过两个步骤 定 定 11 有理数加法运算律 用式子表示为 用式子表示为 运算律可使计算简便 12 有理数减法法则 用式子表示为 13 有理数加减法可以互化主要表现为省略加号的写法 20 3 5 7 8 可写成 的形 式 它读作 的 和或 14 有理数的乘 或除 法法则是 两数相乘 或除 几个非 0 因数相乘除 0 乘以 或除以 任何数都得 若几个因数相乘 其中一个因数为 0 则结果等于 注意 有理数的乘除法仍与加减法类似应先定 再定 会灵活应用乘法运算律简 便运算 分配律 结合律 交换律 15 乘方是求几个 因数的积的运算 其结果叫 如 a a a a a a an n 个 a 其中 a 叫 n 叫 an叫 当 n 1 时 省略不写 16 乘方法则 负数的 幂是负数 幂是正数 正数的任何次幂都是 数 0 的任 何正整数次幂都是 一切有理数的偶数次幂都是 数 注 当 a 0 时 a2n 1或 a2n 1 0 当 a 0 时 a2n 1或 a2n 1 0 当 a 为一切有理数时 a2n 0 即 a2n 是 数 其中 n 是正整数 17 有理数的除法法则 除以一个数等于 用式子表示为 18 特殊数字知识点 相反数是本身的数是 绝对值是本身的数是 绝对值是相反数的数 是 倒数是本身的数是 平方等于本身的数是 立方等于本身的数是 平 方等于相反数的数是 立方等于相反数的数是 奇数次幂等于本身的数是 偶 数次幂等于本身的数是 任何次幂都等于本身的数是 注意 非负条件式 19 x 4 2 5 有最 值是 此时 x x 4 2 3 有最 值是 此时 x 20 用科学记数法表示一个 n 位整数的基本形式是 a 10